黑龙江省哈尔滨市华复中学2022年高二数学理模拟试卷含解析

黑龙江省哈尔滨市华复中学2022年高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若＜＜0，则下列不等式，①a＜b；②a+b＜ab；③|a|＞|b|；④＞2中，正确的不等式为（）A．①、③B．①、④C．②、③D．②、④参考答案：D2.有一排7只发光二极管，每只二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3只二极管点亮，但相邻的两只二极管不能同时点亮，根据这三只点亮的二极管的不同位置或不同颜色来表示不同的信息，则这排二极管能表示的不同信息种数是（

）A．80

B．48

C．60

D．56参考答案：A略3.设，且，若能被13整除，则（

）A

0

B

1

C

11

D

12参考答案：D4.已知函数f（x）=|x|?ex（x≠0），其中e为自然对数的底数，关于x的方程有四个相异实根，则实数λ的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】写出分段函数，利用导数研究单调性和极值，画出图形的大致形状，结合关于x的方程有四个相异实根列式求得实数λ的取值范围．【解答】解：f（x）=|x|?ex=．当x＞0时，由f（x）=x?ex，得f′（x）=ex+x?ex=ex（x+1）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上为增函数；当x＜0时，由f（x）=﹣x?ex，得f′（x）=﹣ex﹣x?ex=﹣ex（x+1）．当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0，∴当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值为f（﹣1）=．作出函数f（x）=|x|?ex（x≠0）的图象的大致形状：令f（x）=t，则方程化为，即t2﹣λt+2=0，要使关于x的方程有四个相异实根，则方程t2﹣λt+2=0的两根一个在（0，），一个在（）之间．则，解得λ＞2e+．∴实数λ的取值范围是（2e+，+∞）．故选：D．【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查利用导数求极值，考查数学转化思想方法及数形结合的解题思想方法，是中档题．5.正方体的全面积为a,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是：（

）A.;

B.;

C.;

D..参考答案：A略6.已知正四棱柱中,,为的中点，则点到平面的距离为（▲）

A.1

B.

C.

D.2参考答案：A略7.执行如图所示的程序框图，如果输入，那么输出的a值为（

）A.

B.

C.

D. 参考答案：C8.设z是复数，则下列命题中的假命题是（）A．若z2≥0，则z是实数 B．若z2＜0，则z是虚数C．若z是虚数，则z2≥0 D．若z是纯虚数，则z2＜0参考答案：C【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】设出复数z，求出z2，利用a，b的值，判断四个选项的正误即可．【解答】解：设z=a+bi，a，b∈R，z2=a2﹣b2+2abi，对于A，z2≥0，则b=0，所以z是实数，真命题；对于B，z2＜0，则a=0，且b≠0，?z是虚数；所以B为真命题；对于C，z是虚数，则b≠0，所以z2≥0是假命题．对于D，z是纯虚数，则a=0，b≠0，所以z2＜0是真命题；故选C．【点评】本题考查复数真假命题的判断，复数的基本运算．9.若函数在定义域上恰有三个单调区间，则的取值范围是

A．

B．

C．

D．参考答案：A略10.已知正方体，点，，分别是线段，和上的动点，观察直线与，与．给出下列结论：①对于任意给定的点，存在点，使得；②对于任意给定的点，存在点，使得；③对于任意给定的点，存在点，使得；④对于任意给定的点，存在点，使得．其中正确结论的个数是（

）．A．个 B．个 C．个 D．个参考答案：C①只有平面，即平面时，才能满足对于任意，给定的点，存在点，使得，∵过点与平面垂直的直线只有一条，而，故①错误．

②当点与重合时，且，∴平面，∵对于任意给定的点，存在点，使得，故②正确．③只有垂直于在平面中的射影时，，故③正确．④只有平面时，④才正确，因为过点的平面的垂线与无交点，故④错误．综上，正确的结论是②③，故选．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.二面角为，是棱上的两点，分别在半平面内，，则长为

。参考答案：2a12.若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是_________（写出所有正确命题的编号）①；②；③；④；⑤.参考答案：①③⑤略13.已知在Rt△AOB中，AO=1，BO=2，如图，动点P是在以O点为圆心，OB为半径的扇形内运动（含边界）且∠BOC=90°；设，则x+y的取值范围．参考答案：[﹣2，1]【考点】9F：向量的线性运算性质及几何意义．【分析】以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，表示出点A、B的坐标，得出的坐标表示，从而求出x，y满足的约束条件，再利用线性规划的方法求出目标函数z=x+y的最值即可得出结果．【解答】解：以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示；则A（1，0），B（0，2），∴=x+y=（x，0）+（0，2y）=（x，2y），则x，y满足条件，作出可行域如图所示，令z=x+y，化目标函数为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过点（0，1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值1；当直线y=﹣x+z过点（﹣2，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值﹣2；则x+y的取值范围是[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．14.已知命题“?x∈R，sinx﹣2a≥0”是真命题，则a的取值范围是

．参考答案：【考点】2H：全称命题．【分析】命题“?x∈R，sinx﹣2a≥0”是真命题，可得a≤．【解答】解：命题“?x∈R，sinx﹣2a≥0”是真命题，∴a≤=﹣．则a的取值范围是．故答案为：．15.已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为

．参考答案：略16.如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若x,y分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对（x,y）是点M的“距离坐标”。已知常数p≥0,q≥0，给出下列三个命题：①若p=q=0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且只有1个；②若pq=0,且p+q≠0，则“距离坐标”为(p,q)的点有且只有2个；③若pq≠0则“距离坐标”为(p,q)的点有且只有4个.上述命题中，正确命题的是

．

（写出所有正确命题的序号）参考答案：①③略17.如图，P是⊙O的直径AB延长线上一点，PC与⊙O相切于点C。∠APC的角平分线交AC于点Q，则∠AQP的大小为

.参考答案：试题分析：连,则,所以；又因为平分,所以,在中,,即,也即,所以,应填.考点：圆中的有关定理及运用．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.i是虚数单位，且（）.（1）求a，b的值；（2）设复数，且满足复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，求.参考答案：（Ⅰ）∵

∴

（Ⅱ）

由题意可知：，解得∴

19.（12分）（1）已知，其中，求的最小值，及此时与的值．（2）关于的不等式，讨论的解．参考答案：20.已知点M到点F（3，0）的距离比点M到直线x+4=0的距离小1．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）若曲线C上存在两点A，B关于直线l：x﹣4y﹣12=0对称，求直线AB的方程．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）动点M（x，y）到点F（3，0）的距离比点M到直线x+4=0的距离小1，可知：动点M（x，y）到点F（3，0）的距离与到直线x+3=0的距离相等．根据抛物线的定义可知：点M的轨迹是以F（3，0）为焦点，x=﹣3为准线的抛物线，即可得出；（2）通过设A（x1，y1）、B（x2，y2）可知（y1+y2）（y1﹣y2）=12（x1﹣x2），利用直线AB的斜率为﹣4可知可知AB中点的坐标，计算即得结论．【解答】解：（1）∵动点M（x，y）到点F（3，0）的距离比点M到直线x+4=0的距离小1，∴动点M（x，y）到点F（3，0）的距离与到直线x+3=0的距离相等．根据抛物线的定义可知：点M的轨迹是以F（3，0）为焦点，x=﹣3为准线的抛物线，∴y2=4×3x，即y2=12x…．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则代入作差，可得（y1+y2）（y1﹣y2）=12（x1﹣x2），又∵直线AB的斜率为﹣4，∴﹣4（y1+y2）=12，∴AB中点的坐标为（，﹣），∴直线AB的方程为：y+=﹣4（x﹣），即4x+y﹣=0，经检验，此时直线AB与抛物线有两个不同的交点，满足题意．【点评】本题考查了抛物线的定义，考查点差法，考查运算求解能力，属于中档题．21.已知．（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若求函数的单调区间；参考答案：解：（Ⅰ）∵∴∴

………2分∴，

又，所以切点坐标为

∴所求切线方程为，即.

…………5分（Ⅱ）由得或

…………7分(1)

当时，由，得．由，得或

-------------------------9分此时的单调递减区间为，单调递增区间为和.……10分(2)

当时，由，得．由，得或

-------------------------------12分此时的单调递减区间为，单调递增区间为和.------13分综上：当时，的单调递减区间为，单调递增区间为和；当时，的单调递减区间为单调递增区间为和---14分

略22.已知函数.（1）