届高考数学考点回归总复习《第七讲 函数的奇偶性与周期性》课件

第七讲函数的奇偶性与周期性回归课本1.函数的奇偶性(1)函数的奇偶性的定义奇偶性定义图象特点偶函数如果函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数.关于y轴对称奇函数如果函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数.关于原点对称(2)对函数奇偶性的理解①函数奇偶性的判断a.首先看函数的定义域,若函数的定义域不关于原点对称,则函数既不是奇函数,也不是偶函数.b.若函数的定义域关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系.若f(-x)=-f(x),则函数是奇函数;若f(-x)=f(x),则函数是偶函数;若f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x),则f(x)既是奇函数又是偶函数;若f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x),则f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.②在公共定义域内a.两奇函数的积与商(分母不为零时)为偶函数,两奇函数的和是奇函数.b.两偶函数的和､积与商(分母不为零)为偶函数.③奇函数在对称区间上单调性一致,偶函数在对称区间上单调性相反.2.函数的周期性(1)对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)叫做周期函数,非零常数T叫f(x)的周期.如果所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫f(x)的最小正周期.(2)周期函数不一定有最小正周期,若T≠0是f(x)的周期,则kT(k∈Z)(k≠0)也一定是f(x)的周期,周期函数的定义域无上､下界.考点陪练答案:B2.(2010·新课标全国)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=()A.{x|x<-2或x>4} B.{x|x<0或x>4}C.{x|x<0或x>6} D.{x|x<-2或x>2}解析:已知函数f(x)是偶函数,所以当x<0时,解析式为f(x)=2-x-4(x<0),所以当x-2<0时,f(x-2)=2-(x-2)-4,要使f(x-2)>0,解得x<0;当x-2≥0时,f(x-2)=2x-2-4,要使f(x-2)=2x-2-4>0,解得x>4,综上{x|f(x-2)>0}={x|x<0或x>4},故选B.答案:B3.屠(2螺01积0·山东)设f(柔x)为定艺义在R上的追奇函导数.当x≥淡0时,f(页x)=毁2x+2爬x+降b(坑b为常乱数),则f(私-1丙)=紫()A.敢-3纠B.仁-1C.凶1崭D死.3解析:因为f(葱x)为定枕义在R上的膏奇函肌数,所以滔有f(扮0)恒=20+2谁×0绸+b菠=0预,解得b=制-1崇,所以粉当x≥杨0时,f(签x)=葬2x+2垮x-坏1,所以f(套-1拾)=之-f怎(1姨)=阶-(跳21+2虚×1隔-1砖)=膜-3摧,故选A.答案:A4.厦(2反01程0·广东)若函路数f(傅x)=鲜3x+3-x与g(痒x)=快3x-3-x的定卡义域幕均为R,则()A.划f(掏x)与g(捉x)均为梅偶函分数B.泳f(钩x)为偶谣函数,g(傻x)为奇型函数C.愉f(误x)与g(彼x)均为容奇函开数D.辽f(坏x)为奇输函数,g(孟x)为偶符函数解析:由f(蚂-x)=产3-x+3x=f(火x)可知f(锁x)为偶雨函数,由g(护-x)=更3-x-3x=-畅(3x-3-x)=腹-g(伸x)可知g(目x)为奇席函数.答案:B答案:2冲x+痒3类型哈一轮函数套奇偶幕性的池判断解题泥准备:判断肚函数羊奇偶诊性的同一般半方法(1景)首先亭确定伯函数坝的定衬义域,看是胃否是练关于吨原点煤对称宅的.否则,既不趟是奇肠函数炊也不就是偶槽函数.(2平)若定醋义域知关于像原点躺对称,则可选用下泛述方究法进粪行判碍断:①定义摇判断:f(吉-x)=f(蠢x)⇔f(症x)为偶刷函数,f(草-x)=磁-f(牧x)⇔f(盟x)为奇礼函数.②等价根形式夏判断:f(兼-x劝)-胞f(薯x)=兔0⇔f(浊x)为偶芝函数.f(提-x左)+咐f(尚x)=夏0⇔f(况x)为奇观函数.(3颗)对于南分段症函数俊的奇迈偶性朴的判辛断应始分段神进行.[分析]判断墙函数滋的奇滚偶性,首先愧要检妖验其共定义谣域是脚否关候于原壤点对烛称,若关皱于原捧点对符称,再严搜格按缩慧照奇券偶性刷的定恼义进逆行推筒理判淹断.的定拳义域难关于勿原点旨对称,∵当x>誉0时,-荒x<靠0,∴f(所-x)=肚(-被x)坝[1滨-(蹈-x颤)]恒=-改x(屈1+灭x)=-f(选x)质(x>0巷).当x<勤0时,-瞧x>判0,∴f(鉴-x)=壳(-是x)膏[1木+(悉-x前)]峰=-纪x(方1-拉x)=-f(利x)杆(x<0驳).∴f(氏-x)=磁-f(旺x)津,∴己f(移x)为奇趁函数.类型词二剖函数筝的单啄调性白与奇舒偶性般的综筋合问壮题解题纹准备:1裙.讨论顶函数矛的单岸调性检和奇洽偶性待时,应先密确定立函数竭的定吧义域.2.奇函吐数在应关于枣原点架对称蜂的单血调区并间内帖有相伶同的婶单调灿性,偶函非数在夏关于辅原点脱对称炒的单卫调区阿间内槽有相杯反的校单调某性.3.将函物数的渐奇偶辆性和话单调没性综宏合运照用是脏考查马函数鹅性质迫的重忆要题胶型.又(1裹-x1+x2-x1x2)-脾(1穴+x1-x2-x1x2)=2谎(x2-x1)>饱0,∵1扬-x2>0苦,1灿+x1>0帖,∴(婶1-冶x2)(邻1+震x1)=懒1+颤x1-x2-x1x2>0亦.类型败三芹函数范的周阔期性解题涨准备:三个僚结论:若a､喜b是非哄零常塘数,且a≠即b,则有结论2:询(对称缘瑞性与俯周期房诚关系克结论)(1搁)f甜(x察)关于x=灿a及x=赏b对称,则T=脑2|伯b-虫a|妹;(2档)f引(x条)关于x=行b及M(望a,场0)对称,则T=炮4|使b-敞a|爸;(3梳)f子(x发)关于M(雨a,财0)和N(雹b,润0)对称,则T=般2|辉b-睡a|保.结论3:爹(奇偶乒性与福周期未关系久结论)(1还)f碑(x选)是偶爹函数胃且关止于直术线x=平a对称,则T=唇2|妨a|而;(2威)f尾(x旋)是奇随函数涝且关港于直取线x=念a对称,则T=庭4|杏a|吼.(上述妄结论始中的T为函猫数的衰周期,但不描一定苏是最悦小正饺周期).类型笨四稻函数拘的奇浆偶性刮与周亡期性外的综邻合问棚题解题哗准备:奇偶辞性和镰周期泊性都梢是函要数的读整体舞性质.奇偶袖性是牧解决索函数必图象设的对泻称性授问题,周期善性是乱解决跪函数从图象夫的平懒移问书题.函数销的单堆调性衔揭示桐函数类的局恩部性拥质,灵活管运用烟函数杜性质楚可解童决与番函数惨相关坝的方捆程､不等欧式等朝综合慈问题.【典例4】已知辈函数f(卷x)是定料义在R上的沫奇函翅数,对任狗意的x,都有f(母x+军1)玩=-李f(责1-沙x)水,且方昂程f(危x)=奔0在[-坦1,驶1]上只殿有一交个根,则方煮程f(饱x+幼1)肆=0的第20季00个根轨是多闪少.(从x轴右绿半轴薪开始窝从左典到右左数起).[解]由f(葵x+板2)炒=-绝f[智1-役(x声+1击)]禽=-f(霸-x)=f(胃x)得:f(炊x)是周丙期函墓数,且周岔期为2.呢f(俊x+劫1)是把f(盆x)的图为象向汉左移1个单季位.由x∈如R,墙f(匆x)是奇续函数,且f(逢x)=决0在[-芒1,芦1]上只离有一增个根,知f(崇0)写=0桃,∴方程f(射x)=限0的第20蔽00个根柔是40打00蒜,∴筑f(臭x+摆1)废=0的第20电00个根却是39顶99毁.错源芦一现忽略芝定义披域出灯错[剖析]判断闹函数缠奇偶虎性,首先被要看沙函数涝的定炕义域,若定牛义域五是关浅于原笑点的促对称意区间,则函较数可袋能具记有奇燃偶性;否则,函数泳一定堂不具合有奇阁偶性.其次,要看f(咬x)与f(豆-x)之间附的关在系.[正解]函数任的定件义域怕为{x谣|x≠1}糟,定义闻域不屿关于哄原点镜对称,因此海该函缝数为枯非奇墙非偶警函数.错源习二票忽视伤对参亮数的呢讨论【典例2】判断姜函数f(笋x)=撇x2+|侨x-溉a|砖+1梦(a僚∈R简)的奇身偶性.[错解]显然润函数桌定义镰域为R.因为f(洗a)=拨a2+1共,f僚(-涌a)秘=a2+2背|a愤|+猎1,所以f(文-a横)≠乞f(造a),且f(撞-a苏)≠拌-f斤(a),所以f(饼x)既不坚是奇漠函数,也不润是偶先函数.[剖析]此解膏法错梦在于雕没有散对参别数进旅行讨府论,未考听虑到a=裤0这种钥特殊梅情形,以致拒解题清出错.[正解]当a=子0时,函数f(案-x)=事(-滤x)2+|龙-x色|+刚1=轰x2+|盛x|浊+1迟=f(甩x),此时f(余x)为偶饿函数;当a≠爬0时,f(韵a)=乔a2+1的,f的(-亮a)抓=a2+2旱|a姓|+印1,f(丑-a垫)≠角f(径a)盈,f菜(-榨a)遮≠-截f(恐a),此时f(涉x)既不恰是奇凉函数,也不越是偶惑函数.技法重一祸快速违解题(数形尸结合寸法)【典例1】已知漏定义阵在R上的乐函数f(否x)不恒模为零,且满喜足f(哗x+泛3)便=-匙f(医3-毒x)谊､f茎(x岗+4稳)=佣f(愚4-溜x)枣,则f(恐x)是()A.奇函槐数也什是周符期函眼数B.偶函及数也演是周晕期函那数C.奇函层数但饺非周热期函倡数D.偶函东数但销非周牺期函奖数[快解]由于勺本题青为选庆择题,故可孟用数谦形结多合法,画出烤符合粥题意忧的图破象即涝可选木对答蜡案.函数f(家x)以点(3魂,0墓)为对码称中事心,以直惰线x=羞4为对残称轴,如下敲图所提示,点(2块k-衬1,室0)都是汗对称宾中心,直线x=茂2k都是笛对称份轴,这里煤的k∈品Z,故选B.[另解切切入瞧点]因为f(我x+秩3)咱=-枪f(名3-本x)、f(绳x+乖4)忠=f务(4缓-x锹),所以席函数f(倘x)以点(3浆,0域)为对竭称中疫心,以直或线x=纯4为对虹称轴.[分析赴思维爸过程]要利岔用两义个条蜓件式,推证须出f(韵x)是奇袭函数最或偶冬函数,需找白到两虫式的牧联系.x谎+4瞒=(封x+碍1)秤+3仔,有3-资(x贡+1胳)=投2-幼x出现,如此少推演,有望京得到嘴结果.[解析]∵坑f(同x+由3)祸=-替f(拴3-定x)草①f(瓜x+扒4)食=f微(4旷-x超)②∴f变(x进+4省)=墙f[昂(x欧+1甚)+迈3]指=-们f[鼻-(块x+脱1)陶+3质]=缠-f绘(2棚-x高)=颤-f拿[4童-(职x+烦2)夜]=-城f[积4+雄(x溉+2极)]超=-功f[耳3+键(x蹄+3庭)]睬=f真[3煌-(拒x+貌3)沉]=f(衫-x).则f(盼4-裳x)悲=f轿[(愧-x亦)+悄4]扣=f(旨x).∴f(陶-x)=f(毁x),且f(养x+汉4)拣=f(芹x).故函全数f(橡x)是偶街函数,也是嚼周期酒函数,选B.[答案]B[方法宋与技沈巧]解是料由函宜数满跨足的拴关系值一步千一步泼推证,步骤拢较多,不易军掌握.而数煌形结漂合法迈简单､直观,好掌止握,易理址解,对于鼻解选肢择题及非常冠适宜.[得分冶主要闯步骤]运用技好已界知的匙两个蹄条件般式是百很重计要的.首先浇由②循式入真手,使之筐出现坛①式怒的形扶式,再由拾②到帽①,每步耽都需店认真听思考,是否专满足挖条件,是否含可以害得到射需要背的结以果.[易丢缝分原侦因]各步扶变换至时,注意猎符号,稍有揪不慎珍将会观出错.如由f(坐x+荐4)得到f(剪-x),故f(驼4-眼x)预=f叙[(瞧-x看)+猛4]物=f(浴x).技法霜二谎探寻窑判断钢奇偶袭性的意途径[解]解法喘一:对于寒比较扯复杂纠的函焰数解旱析式,除了惯用定乡丰义法轻进行泽判断隆外,还可盾以考染