高三数学基础版-规划问题-教师版讲义

教师姓名学生姓名年级高三上课时间

学科数学课题名称规划问题

一、知识梳理

1.二元一次不等式表示平面区域

（1）一般地，二元一次不等式Ax+5y+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+3y+C=0某

一侧的所有点组成的平面区域（半平面）不含边界线.不等式Ax+5），+C20所表示的平面区域（半

平面）包括边界线;

（2）对于直线Ax+3y+C=0同一侧的所有点（乐力，使得Ac+By+C的值符号相同.因此，如

果直线Ax+By+C=O一侧的点使Ax+3），+C>0,另一侧的点就使Ax+gy+C<0。所以判定不

等式Ax+6），+C>0（或Ax+gy+C<0）所表示的平面区域时，只要在直线Ar+&y+C=O的一

高中数学冲刺培优

侧任意取一点（X0,y。），将它的的坐标代入不等式，如果该点的坐标满足不等式，不等式就表示该点所

在一侧的平面区域；如果不满足不等式，就表示这个点所在区域的另一侧平面区域；

（3）由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.

2.线性规划

（1）基本概念

名称意义

线性约束条件由X,y的一次不等式（或方程）组成的不等式组，是对的约束条件

目标函数关于X,y的解析式

线性目标函数关于X,y的一次解析式

可行解满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解

可行域所有可行解组成的集合叫做可行域

最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解

线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题

（2）用图解法解决线性规划问题的一般步骤：

①设出所求的未知数；

②列出约束条件（即不等式组）；

③建立目标函数；

④作出可行域；

⑤运用图解法求出最优解.

3、简单线性规划的图解法的拓展和迁移。

二、典型例题

题型1、基础题目

例1、（1）如图、三条直线2x-y=3,x-y+l=0,x+y=3将平面区域划分为六部分（不包括边界）,

试写出表示每部分的不等式组

2

2x-y<32x-y>3

(2x-y>3.

答案：I：'x-y>\；II：Ix-y>\

x-y<\'

x+y>3x+y>3I

2x-y<32x-y<3

：；

IV\x-y<\v：VI：,x-y>\；

[x+y<3

Ix+y>3x+y<3

2x—y<3

（2）设变量％,y满足约束条件1,则z=2x+3y的最小值为

%+y>3

解析：画出可行域，得在直线x+y=3与直线x—y=—l的交点C（l,2）处，目标函数z最大值为8

题型：可行域为封闭区域，目标函数为距离

解析：|2x+3y+4kg邑苧巴，邑号现表示点（兑丫）到直线2x+3y+4=0的距离，结合图形

，13“3

得答案为11.

高中数学冲刺培优

4

题型2、整点问题

x>0

例2、设不等式组，y>()(〃eN*)所表示的平面区域D"的整点(即横坐标和纵坐标均为整

数的点)个数为例,则—L_g+&+...+4)=___________。

2010242010

答案：3018

此题重难点在于读题，具体解答如下：

y<-nx+4n=(4-x)xn，所以X只能取1,2,3

x取1时候，1W蟀3n,即此列个数为3n

同理x取2时候,个数为2n

x取3时候,个数为n

.\an=3n+2n4-n=6n

则2010(■+@4+.....+a201O)

=2(710(12+24+36+......6x2010)=3018

题型3、综合题目

1<y<4

例3、已知变量I,y满足约束条件4一,一。若目标函数z=ox+y(其中。>0)仅在

-2<x-y<2

点(3,1)处取得最大值，则。的取值范围为。

答案：(l,+oo)

解析：作出可行域，由z=ac+yny=—£ZX+Z其表示为斜率为_a,纵截距为z的平行直线系,

要使目标函数z=ox+y(其中a>0)仅在点A(3,l)处取得最大值。则直线>=-3+z过A点且在

直线x+y=4,x=3(不含界线)之间。即—。<一1=>。>1.则。的取值范围为(l,+oo).

高中数学冲刺培优

试一试、

x+y>5

1、己知满足以下约束条件，X-y+5W0,使z=*+qy(a>0)取得最小值的最优解有无数个，

x<3

则“的值为()

A、-3B、3C、-1D、1

解析：如图，作出可行域，作直线/:x+ay=O,要使目标函数z=x+ay(“>0)取得最小值的最优解

方法1：y^±<_a<yzl

XXXX

6

方法2：最优解可能在A（l,0）,8（2,1）,C0-1

x-j+2<0

上里的值域

例5、若满足X>1，求2=

x+y

x+y-7<0

x-2y1—2〃

关键:---上,设上="e|,6,则z=-----

x+y1+)x1+M

X

z=匕&在“e9

函数如上单调递减，值域为.

1+w5

题型4、易错点、主观认为可行域必为封闭区域而出错

2x-y>Q

例6、（2014浦东三模文）若实数%,〉满足，y2X且z=2x+y的最小值为3,则实数b的值

y>-%+/?

为.

答案：-

4

b2b

解析：可行域如图，因此z=2x+y的最小值在y+x=〃与2x—y=0的交点处取得，即点

3'T

处，所以2><勺+至=3,解得，b=l

334

高中数学冲刺培优

8

目标函数为z=max{4x+yt3x-y}的形式

例8、定义max{a㈤={；：：：，设实数X,V满足约束条件<；jj，则

=max{4x+y,3x-y}的取

值范围是

答案：[-7,10]

关键：

,42

方法1：当4x+yN3x-y时，,»|«2,求z=4工+y的取值范围

x+2y>0

高中数学冲刺培优

10

y之1

例9、实数满足约束条件为x>],则y+5x-Y的最大值是一

x+y<4

答案：8

提不：设y+5x-x2=a,则y=x?-5x+a与x+y=4相切时，纵截距。取得最大值

题型5、可行域为圆、椭圆的规划

例10、已知点尸（％,y）在圆f+[=1上,

（1）求^^的取值范围

x+2

（2）求y—2x的取值范围

◎g「LLO

答案：（1）--—;（2）[-6，石]

解析：（1）令z=?h则z是一条过（一2,0）的直线的斜率

（2）方法一：数形结合；方法二：三角代换

、工、孑J-bUlA

诋-诋、y=-----------

2-cosx

高中数学冲刺培优

国课堂练习@

1、若点（X-）位于曲线y=|x|与y=l所围成的封闭区域（包括边界），则4x—y的最小值为

答案：-5

2x-y+220

如果点尸在平面区域卜一上，点Q在曲线（）