高中数学4-3-1对数的概念（分层作业）

4.3.1对数的概念（分层作业）（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1.（2022・全国•高一课时练习）有以下四个结论，其中正确的是（）

A.lg（lgl0）=lB.lg（lne）=0

C.若e=lnx,则x=e?D.In（lgl）=0

【答案】B

【分析】根据对数的性质，逐项判断，即可得出结果.

【详解】因为lgl0=lne=l,lgl=0,所以A错误，B正确；若e=lnx,则》=以故C错误；lgl=0,而

In0没有意义，故D错误.

故选：B.

2

2.（2022•江苏省南通中学高一阶段练习）己知对数式叫匕有意义，则a的取值范围为（）

A.（-1,4）B.（-1,O）J（O,4）

C.（-4,0）（0,1）D.（-4.1）

【答案】B

【分析】由对数式的意义列不等式组求解可得.

a+l>0

2

【详解】由logg+i）；；----有意义可知（“+1x1,解得一1<。<4且awO,

114-a八

——>0

、4一〃

所以a的取值范围为㈠⑼一（0,4）.

故选：B

3.（2022•全国•高一课时练习）下列函数是对数函数的是（）

2

A.y=log2xB.log（*c）x

x

C.y=logr2（x>0,XHI）D.y=log2-

【答案】B

【分析】根据对数函数的定义，即可判断选项.

【详解】对于A,真数为而不是x,故A不是对数函数；

对于B,底数万-e为常数，且。<兀一e<l,真数为x,且函数系数为1,故B是对数函数;

对于C,真数为常数，而不是x,故C不是对数函数；

对于D,真数为而不是x,故D不是对数函数.

故选：B.

4.(2022.江苏.高一单元测试)已知j=5(“>0)，则1呜5=()

32

A.2B.3C.-D.-

23

【答案】D

【分析】指数式化为对数式，得出结果.

2?

【详解】因为凉=5(a>0)，所以log.5=了

故选：D

5.(2022•江苏•高一单元测试)若log,f=-3,则x=()

A.81B.—C.—D.3

813

【答案】D

【分析】将对数式转化为指数式即可求解.

【详解】解：因为K>g、L=-3,所以L=X-3,即/=27,

2727

所以x=3,

故选：D.

6.(2022•全国•高一课时练习)若10沙方=2,则()

A.y7=xzB.y=x7zC.y=lxzD.y=z7x

【答案】B

【分析】对数式化为指数式，然后由幕的运算法则求解.

【详解】解析由logx17=z,得xz=&,

•••(V?)7=(xz)7,贝

故选：B.

二、多选题

7.（2022.湖南湘西.高一期末）下列指数式与对数式互化正确的一组是（）

10°=1与怆1=°B.log_34=2与第=3

_1111

273=--^log27-=--D.Iogs5=l与夕=5

【答案】ACD

【分析】根据对数的概念，逐项判断，即可得到结果.

【详解】由对数的概念可知：10°=1可转化为lgl=0,故A正确；

由对数的概念可知：）=3可转化为1°893=；,故8错误；

-1111

由对数的概念可知：273=：可转化为脸丁-屋故C正确；

由对数的概念可知：=5可转化为log?=1,故D正确；

故选：ACD.

8.（2022•江苏•高一）（多选）下列指数式与对数式的互化中正确的是（）

A.10。=1与lgl=0B.27T=：与log27g=-3

C.Iog39=2与32=9D.Iogs5=1与5』5

【答案】ACD

【分析】根据指数运算和对数运算的法则，相互转化逐项判断即可.

【详解】B选项中，274=!=bg272=一!.

故选：ACD

9.（2022•全国•高一课时练习）（多选）下列指数式与对数式互化正确的一组是（）

A.10°=1与lgl=0B.k>g39=2与9（=3

_1111

C.273=§与log》］：-］D.k>gs5=l与51=5

【答案】ACD

【分析】根据指数式、对数式的概念进行相互转化.

【详解】对于选项A,指数式100=1化为对数式为炮1=0,故A正确；

对于选项B,指数式9；=3化为对数式为1°893=；，故B错误；

对于选项C,指数式273=］化为对数式为10827§=-§,故C正确；

对于选项D,指数式于=5化为对数式为logs5=1,故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

10.（2022•全国•高一专题练习）不等式2，-5<0的解集为;

【答案】（―,log?5）

【分析】利用指数函数的单调性解不等式，求出解集.

【详解】2,—5<0即2'<5,解得：-r<log25

故答案为：（eJogQ）

11.（2022.全国.高一课时练习）若函数〃x）=log（〃叫x+（/-2a）是对数函数，则实数。的值为.

【答案】2

【分析】根据对数函数的定义求解即可.

【详解】解：因为函数〃力=1。瓦刊》+（/-2a）是对数函数，

a+l>0

所以，a+1w1,解得a=2.

a2-2a=0

故答案为：2.

12.（2022•浙江•杭十四中高一期末）设a=k）g34,贝心2"=.

【答案】16

【分析】根据指数式和对数式的互化即可求解.

【详解】由。=1强34得3"=4,32"=16.

故答案为：16

13.（2022•贵州•凯里一中高一开学考试）已知函数F（x）=a',g（x）=log,,x（a>0且awl），且/（M）=N,

则g（N）=.

【答案】M

【分析】由指对数互化可得出答案.

【详解】因为/（〃）=%,则

化为对数式，可得log“N=M,

所以g（N）=M,

故答案为：M.

14.（2022♦上海・高一单元测试）若2*=3，则实数x的值为.

【答案】log,3

【分析】由指数式与对数式的互化公式求解即可

【详解】因为2'=3,

所以x-log?3,

故答案为：bgz3

15.（2022.全国•高一课时练习）若函数〃力=（/-。+1）1。%/_4.+3/是对数函数，则”.

【答案】0

【分析】根据对数函数的定义，列式求。的值.

【详解】由对数函数的概念，知+解得。=1或4=0,经检验，。=1时，2a2-4a+3=l,不符

合题意，a=0时，2a2-40+3=3,符合题意.故a=0.

故答案为：0

16.（2022・全国•高一专题练习）方程log2（5—x）=2,则x=.

【答案】1

【分析】由对数的定义求解.

【详解】解：5—X—2^—4,

故答案为：1.

四、解答题

17.（2022・湖南•高一课时练习）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

（1）3*=2；

⑵2"，=6;

⑶1%；=-2；

⑷loggO.Ol=-2.

【答案】⑴彳=1呜2

(2)w=log26

,1

⑶2

4

(4)个=0.01

【分析】(1)由对数的定义改写；

(2)由对数的定义改写；

(3)由对数的定义改写；

(4)由对数的定义改写.

(1)

由对数定义得xTog.，；

⑵

由对数定义得m=log?6；

(3)

由对数定义得2-2=!；

4

(4)

由对数定义得10-2=0.01.

18.(2022.湖南•高一课时练习)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式:

(1)54=625;

⑵2-6=2；

64

⑶4-0；

m

⑷3：=9；

(5)log216=4;

(6)log3-=-2；

⑺log?(5+x)=2；

⑻log,i(b+2)=3.

【答案】(l)4=logs625

(2)-6=log?]

04

(3)A-=log410

m

(4)--=log39

(5)16=24

(7)5+X=32

(8)6+2=(a-l)3

【分析】根据对数式与指数式的互化即可得解.

(1)

解：因为54=625，

所以4=幅625；

(2)

解：因为2飞=占，

64

所以-6=log21；

04

(3)

解：因为4*=10,

所以x=log410；

(4)

解：因为3q=9，

所以-：=log39；

4

(5)

解:因为log?16=4,

所以16=24:

(6)

解：因为1叫3=-2,

所以［=3-2；

y

（7）

解：因为log3（5+x）=2,

所以5+x=3,;

（8）

解：因为log“T（》+2）=3,

所以。+2=（a-l「

19.（2022・湖南•高一课时练习）在银行存10000元，假设年利率为2%,每年结算自动转存.多少年达到10万

元？多少年达到100万元？

【答案】答案见解析

【分析】〃（〃wN,）后本息和为1.02"万元，分别解不等式1.02"210、1.02"2100,可得出结论.

【详解】解：在银行存10000元，后本息和为1.02"万元，

由1.02"210可得"2log.10=第；=116.28,即117年达到10万元，

1g1.02

由1.02"2100可得〃2logL02100=黑襄x232.55,即233年达到100万元.

lg1.02

20.（2022•湖南•高一课时练习）求下列各式中的x值：

（l）log5x=3；

（2）log2（2x+l）=3；

⑶log，=3;

⑷log?8'=-3.

【答案】（1）125

星

⑶3

(4)-1

【分析】将对数式化为指数式，从而可得出答案.

(1)

解：因为Iog5》=3,

所以X=53=125;

(2)

解：因为log2(2x+l)=3,

7

所以2x+l=2=8,解得x

(3)

解：因为log.,J=3,

O

所以』=丁=(4丫，所以x=?；

832

(4)

解：因为log@=-3,

所以8*=27=8」，所以x=-l.

,【能力提升】

一、多选题

1.(2022•江苏•高一单元测试)若10"=4,10〃=25,则()

A.。+6=2B.b-a-\

C.”匕>81g?2D.b-a>\g6

【答案】ACD

【分析】利用指对数的运算性质及其关系求出。+力、b-a,ab,结合对数函数的单调性判断各选项的正误.

【详解】由题设，10"”=100,即a+b=2,A正确；

10-=f,即b-a=lgf>lg§=lg6,B错误，D正确；

444

由a=21g2,6=21g5,则岫=41g21g5>41g21g4=81g?2,C正确;

故选：ACD

二、填空题

2.(2022・河南・信阳高中高一阶段练习(理))已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=2/(x),且当xe[0,2]

时，/(x)=|2x-2|,若对任xw(TO,汨都有/(x)46,则根的取值范围是.

【答案】(-8,4+log21].

【分析】作出当xe[O,2]时，/(x)T2'-2|的图象，将其图象分别向左、向右平移2MAeN*)个单位(横坐标

不变，纵坐标变为原来的g或2倍)，得到函数f(x)的图象，令/(x)=6,求得〃?的最大值，可得所求范围.

【详解】解：因为/⑸满足/(x+2)=2/(x),即/(x)=g/(x+2)；

又由/(x+2)=2f(x),可得/(%)=2/(%-2),

画出当xe[O,2]时,f(x)=|2，-2|的图象，

将f(x)在[0,2]的图象向右平移2k(kwN*)个单位(横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍)，

再向左平移2k(AeN*)个单位(横坐标不变，纵坐标变为原来的g倍)，

由此得到函数/0)的图象如图：

当xe[4,6]时，x-4e[0,2],/(x-4)=|2x-4-2|,

又/(X-4)=；/(X-2)=；/(X),所以/(X)=4|2，-4-2|(4融6),

令/(x)=6,由图像可得5<x<6,则4(2i-2)=6,解得x=4+logj,

所以当mM+log?1时，满足对任意的xe(-8,诩，都有/(x),,6,

故机的范围为(-8,4+log,1].

故答案为：(-8,4+log21].

=/5正实数解的个数是

【答案】1

【分析】先证a'Wcbg""，再把43+/4=/5改写为X>0,可得(|)InInx

=1,再

由y=C(£「在尺上递减，又lnx=2时，即…2时，有CJ+(J=1,可得原方程的解有且只有

一个.

［详解】先证"喻’=。喻"，可令"叫,=m,c*'=n

两边取b为底的对数,可得log/”=log,,clog,,a,loghn=log;;a-log/,c,

则logfcm=log；,n,可得/n=",即

则X'"3+x"’=”即为3叱+谭=51nx,x>0,

可得(|『+副。,由于y=「『，尸百在R上递减,

可得y=(|)+自在R上递减，又lnx=2时，即…?时，有图+(寿=1,

则原方程的解有且只有一个.

故答案为：1.

户,-3*

4.(2022•江苏•高一单元测试)己知x=log」3,则的值为___________

2*+2T

【答案】I

【分析1由题得2*=6,再化简；：代入2、=出即得解.

【详解】因为x=log,3,所以4'=3,2'=6，

23X+2-3X(2-'+2'')(22X-1+2-2X)c2r,c2xK、2.,c*、2,17

所以--------=-------------------=22t-l+22x=(2r)2-l+(2x)2=3n-1+-=-.

2'+2一*2X+TX33

7

故答案为：—

5.(2022•全国•高一专题练习)已知tf>0,b>0,若1084a=1086/7=唳9("+6),则，=.

a

【答案】叵1

2

A2

【分析】设1吗。=1呜0=1。895+加="，可得〃+。=幺，构造方程即可求h巳.

aa

【详解】log4=log6b=log9(a+b)=m,贝ij。=4"=6aM+b=9〃,

“a"，=空上上

4W4n,a

，整理得(？)-*-1=0,又”>0,6>0,

・b5/5+1

••一=-----，

a2

故答案为：叵口

2

【点睛】关键点点睛：利用指对数的互化，结合已知条件构造方程求解.

6.(2022♦全国•高一专题练习)已知。>0,fe>0,K2-log9a=3-log3b=log6,则!+:=

a+bab

【答案】A

【解析】设2-bg-3-既心陶石分别求出〃'”及"关于，的表达式，再由

，+。=坐进行计算即可•

abab

【详解］设2—log2a=3—log?/?=log6——-

a+b

贝1」。=2~=2，b=*T=乌,。+力=」，

236

1

”…11a+b

所以二厂年?,¥-1

427108108-

-----X---------

2'3'6'

故答案为：.

10o

【点睛】关键点睛：本题的解题关键是设2-log,a=3-log"=log6」Y=r,从而将“，方及利用f进

a+b

行表示，再进行计算.

三、解答题

7.(2022・贵州•遵义市南白中学高一期末)已知/(x)=h优且/(O)=1J⑴=2.

(1)求/5)的解析式；

(2)解关于x的不等式：/(2x)>2/(x)+3.

【答案】⑴)(x)=2"

⑵(岫3,物)

【分析】(1)根据已知条件联立方程组求出。，进而求出函数"X)的解析式；

(2)根据已知条件求出/(2x),进而得出不等式，利用换元法及一元二次不等

式得出r的范围，再根据指数与对数互化解指数不等式即可.

(1)

由/(0)="。)=2,得

所以f(x)的解析式为/(x)=2,.

(2)

由(2)知，/(x)=2\所以f(2x)=22，=4，,

由f(2x)>2/(x)+3,得4、>2x2*+3,即4*-2x2*-3>0,

令t=2*(r>0),贝疗-2r-3>0,解得f>3或

所以t>3,即2">3,解得x>log?3.

所以不等式的解集为(log,3,—).

8.(2022・湖南•高一课时练习)己知2"=24、=3,求型工的值.

孙

【答案】-1

【分析】根据指数式和对数式的互化，表示出X=log23,y=log243，利用对数的运算法则计算，即可求得答案.

【详解】由2,=24,=3可得：x=log23,y=log243,

3y-x_31_31_31_

场-----=-----=1-----------------1=ico厂icoa=3Q11%20一唾324

故孙xylog23log243叫J

log32log324

8i

=log,8-log,24=log3—=log,-=-1.

9.(2022・上海・高一单元测试)我们知道当a>0时，=d"d对一切，”,“eR恒成立，学生小贤在进一

步研究指数幕运算时，发现有这么一个等式2"|=2+2、带着好奇，他进一步对2'"+"=2"+2"进行深入研

究.

(1)当〃?=2时，求”的值

(2)当加40时，求证："是不存在的；

(3)求证：只有一对正整数对(利,〃)使得等式成立.

4

【答案】(1)«=log2-;(2)证明见解析；(3)证明见解析.

【分析】(1)当帆=2时，22+n=22+2"，整理后将指数式化为对数式即可求解；

(2)由题意求得2"的表达式，令r2J然后分类机=0和讨论即可求证；

(3)将〃?，"分离到等式的两侧，然后讨论左右两侧的值即可证得题中的结论.

4

【详解】(1)当加=2时，22+"=2?+2"，即3-2"=4,所以"=log2