第6章微分中值定理与导数应用

第6章微分中值定理与导数的应用y

=

f

(

x)yOABb

xaCx1x2D2因为导数是函数随自变量变化的瞬时变化率,

所以可借助导数来研究函数.

但每一点的导数仅仅是与局部有关的一点的变化性态,要用导数来研究函数的全部性态,

还需架起新的“桥梁”.3罗尔定理柯西中值定理6.1

微分中值定理mean

valuetheorem第6章微分中值定理与导数的应用推广小结

思考题

作业拉格朗日中值定理泰勒公式(第三节)连续的曲线弧、除端点外处处有不垂直于x轴的切线.本节的几个定理都来源于下面的明显的几何事实:在一条光滑的平面曲线段⌒上,至少有AB一点处的切线与连接此曲线两端点的弦AB平行.ABxyOx2x1ABabf

(a)=f

(b)有水平的切线

C

f

(x)

=

0y

=

f

(

x)4罗尔定理在闭区间[a,b]上连续;在开区间(a,b)内可导;f

(a)

=

f

(b),则在开区间(a,b)内至少存在一点x,使得f

(x)

=

0.如,

f

(

x)

=

x

2

-

2

x

-

3

=

(

x

-

3)(

x

+

1).在[-1,3]上连续,在(-1,3)内可导,且f

(-1)=f

(3)=0,罗尔Rolle,(法)1652-17195f

(x)=2(x

-1),取x

=1,(1˛

(-1,3))f

(x)

=

0.一、罗尔(Rolle)定理若函数f

(x)满足:费马引理费马Fermat,(法)1601-1665设函数f

(x)在点x0某邻域U(x0)内有定义,

且f

(

x0

)存在,

如果对"

x

˛

U

(

x0

),

有f

(

x)

£

f

(

x0

)那么

f

(

x0

)

=

0.(或f

(x)‡f

(x0

)),证对于x0

+Dx

˛

U

(x0

),有f

(

x0

+

Dx)

£

f

(

x0

)

f

(

x0

+

Dx)

-

f

(

x0

)

£

0若Dx

>0,Dxf

(

x0

+

Dx)

-

f

(

x0

)

£

0;若Dx

<0,f

(

x0

+

Dx)

-

f

(

x0

)

‡

0;Dx6f

(x)£

f

(x0

)

(或f

(x)‡f

(x0

)),那么

f

(

x0

)

=

0.Dxfi

0+f-

(

x0

)

=

f+

(

x0

)费马引理设函数f

(x)在点x0的某邻域U

(x0

)内有定义,

且f

(

x0

)存在,

如果对"

x

˛

U

(

x0

),有

f

(

x0

)

=

0.函数的驻点(Stationarypoint),

稳定点,临界点(Critical

point).由极限的保号性若Dx

>

0,

f+

(

x0

)

=

lim

f

(

x0

+

Dx)

-

f

(

x0

)

£

0,‡

0.DxDxf

(

x0

+

Dx)

-

f

(

x0

)-

0-若Dx

<

0,

f

(

x

)

=

limDxfi

07(3)

f

(a)=f

(b),则在开区间(a,b)内至少存在一点x,使得

f

(x)

=

0."

x

˛

(a,b),都有

f

(x)

=

0.(b)若M

„m.所以最值不可能同时在端点取得.设M

„f

(a),则在(a,b)内至少存在一点x

,使f

(x)=M

."x

˛

[a,b],有f

(x)£

f

(x),罗尔定理若函数f

(x)满足:(1)

在闭区间[a,b]上连续;(2)

在开区间(a,b)内可导;(或f

(x)‡f

(x0

)),8f

(

x)

£

f

(

x0

)那么

f

(

x0

)

=

0.由费马引理,

f

(x)

=

0.证f

(x)在[a,b]有最大值M和最小值m.(a)

若

M

=

m.

则

f

(

x)

=

M

.

得

f

(

x)

=

0.费马引理设函数f

(x)在点x0的某邻域U

(x0

)内有定义,

且f

(

x0

)存在,

如果对"

x

˛

U

(

x0

),有

0,

x

=

1f

(

x)

=

x

, 0

£

x

<

1注定理条件不全具备,结论不一定成立.(3)

f

(a)=f

(b),则在开区间(a,b)内至少存在一点x,使得

f

(x)

=

0.1xyO条件(1)不满足.f

(

x)

=|x

|,

x

˛

[-1,1]条件(2)不满足.罗尔定理若函数f

(x)满足:(1)

在闭区间[a,b]上连续;(2)

在开区间(a,b)内可导;f

(

x)

=

x

,

x

˛

[0,1]条件(3)不满足.定理条件只是充分的.yxO1-

19yxO1定理条件只是充分的.本定理可推广为:xfi

a+0设y=f

(x)在(a,b)内可导,且lim

f

(

x)

=

lim

f

(

x)xfi

b-0使则在(a

,b

)内至少存在一点提示设F

(

x)

=

f

(

x),

f

(b

-

0),

x

=

b

f

(a

+

0),

x

=

aa

<x<b

证F(x)在[a,b]上满足罗尔定理.罗尔定理若函数f

(x)满足:(1)

在闭区间[a,b]上连续;(2)

在开区间(a,b)内可导;(3)

f

(a)=f

(b),则在开区间(a,b)内至少存在一点x,使得

f

(x)

=

0.注10例对函数f

(x)=x3

+4

x2

-7

x

-10,在[-1,2]上验证罗尔定理的正确性.证(1)

定理的假设条件满足f

(x)在[-1,2]上连续,在(-1,2)内可导,f

(-1)

=

0

=

f

(2)(2)

结论正确方程f

(

x)

=

0,

即3

x

2

+

8

x

-

7

=

0有实根3

31

2x

=

1

(-4

-

37),

x

=

1

(-4

+

37)其中x2

˛

(-1,2),符合要求.罗尔定理肯定了x

的存在性,一般没必要知道究竟等于什么数,只要知道x存在即可.11例证明方程x5

-5

x

+1

=0

有且仅有一个小于1的正实根.证

(1)

存在性设f

(x)=x

5

-5

x

+1,则f

(x)在[0,1]连续,零点定理12且f

(0)=1,f

(1)=-3.$

x0

˛

(0,1),使f

(x0

)=0.即为方程的小于1的正实根.13证明方程x5

-5

x

+1

=0

有且仅有一个小于1的正实根.(2)

唯一性设另有

x1

˛

(0,1),

x1

„

x0

,使

f

(

x1

)

=

0.因为f

(x)在x0,x1之间满足罗尔定理的条件.所以至少存在一个x(在x0

,x1之间),使得f

(x)

=

0.但

f

(

x)

=

5(

x

4

-

1)

<

0,(

x

˛

(0,1))

矛盾,

故假设不真!所以为唯一实根.例设常数c0

,c1

,,cn满足条件210n

+

1c

+c

cn+

+

=0.

试证方程c

+

c x

+

+

c

xn

=

00

1

n在(0,1)内存在一个实根.分析

注意到:11402

n

+

1c

cn(c x

+x

2

+

+xn+1

)¢f

(

x)=

c

+

c x

+

+

c

xn

.0

1

n证设21xn+1

,2

n

+

10f

(

x)

=

c x

+cncx

+

+f

(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f

(0)=0

=f

(1)

罗尔定理在(0,1)内至少存在一个实根x,

使得f

(x)

=

0,即

c

+

c

x

+

+

c

xn

=

00

1

n即x

=x为所求实根.设常数c0

,c1

,,cn满足条件11502

n

+

1c

+c

cn+

+=0.

试证方程0

1nc

+c x

+

+c

xn

=0在(0,1)内存在一个实根.结论亦可写成注拉格朗日Lagrange(法)1736-1813拉格朗日中值定理

f

(b)

-

f

(a)

=

f

¢(x).b

-

a二、拉格朗日(Lagrange)中值定理若函数f

(x)满足:16在闭区间[a,b]上连续;在开区间(a,b)内可导,则在开区间(a,b)内至少存在一点x,使得f

(b)

-

f

(a)

=

f

(x)(b

-

a)几何解释:在曲线弧AB上至少有一点C,在该点处的切线将f

(b)

-

f

(a)

=

f

(x)(b

-

a)式变为分析利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件b

-

af

¢(x)-f

(b)-f

(a)=0,

定理的结论就转化为函数g(x)=f

(x)-f

(b)-f

(a)x在区间(a,b)内有点x,b

-

a使g

(x)=0的问题,化为罗尔定理.平行于弦AB.的函数.b

-

af

(b)

-

f

(a)

=

f

¢(x)y

=

f

(

x)yOABb

xaCx1

2xD17b

-

a证作辅助函数g(x)=f

(x)-f

(b)-f

(a)x,故在开区间(a,b)内至少存在一点x,使得g¢(x)

=

f

¢(x)

-

f

(b)

-

f

(a)

=

0.b

-

af

(b)

-

f

(a)

=

f

(x)(b

-

a).由此得[bf

(a)

-

af

(b)]

=

g(b)1g(a)

=b

-

a拉格朗日中值公式对b

<a也成立.且易知g(x)在闭区间[a,b]上连续,开区间(a,b)内可导,微分中值定理f

(b)

-

f

(a)

=

f

¢(x)

b

-

a18f

(b)-f

(a)=f

(x)(b

-a)在微分学中占有极重要的地位.它表明了函数在两点处的函数值与导数间的关系.19今后要多次用到它.尤其可利用它研究函数的单调性及某些等式与不等式的证明.证记f

(x)=arctan

x,在[x1

,x2

]上,利用微分中值定理,得arctan

x2

-

arctan

x1

£

x2

-

x1

,

(

x1

<

x2

).12

1arctan

x2

-

arctan

x1

=

(

x

-

x

)1

+

x2£

1,\

arctan

x2

-

arctan

x1£

x2

-

x1

.如果f(x)在某区间上可导,要分析函数在该区间上任意两点的函数值有何关系,通常就想到微分中值定理.1

+

x2x

˛

(

x1

,

x2

),

1f

(b)

-

f

(a)

=

f

(x)(b

-

a)20x

˛

(a,

b)例证明不等式Lagrange公式可以写成下面的各种形式:(1)f

(b)-f

(a)=f

(x)(b

-a)当a

>b时也成立.(2)f

(x

+Dx)-f

(x)=f

(x)Dx,x在x和Dx

+x之间.(3)

Dy

=

f

(

x

+qDx)

Dx注21由(3)式看出,它表达了函数增量和某点的(0

<

q

<

1).增量Dy的精确表达式.导数之间的直接关系.这里x,q未定,但是增量、导数是个等式关系.这是十分方便的.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.拉格朗日中值定理又称有限增量定理.定理6.1由条件,则f

(x1

)=f

(x2

),即在区间I中任意两点的函数值都相等,

所以,

f

(

x)

”

C

.(

x1

<

x2

),证在区间I

上任取两点x1,x2由拉氏定理,有f

(

x2

)

-

f

(

x1

)

=

f

(x)(

x2

-

x1

)

(

x1

<

x

<

x2

)0拉格朗日中值定理如果函数f

(x)在区间I

上的导数恒为零,22那么f

(x)在区间I

上是一个常数.若函数f

(x)满足:(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导,则在开区间(a,b)内至少存在一点x,使得f

(b)

-

f

(a)

=

f

(x)(b

-

a)2例证明arcsin

x

+arccos

x

=π

(-1

£

x

£

1).x

˛

[-1,1])

=0.由定理6.11

1+

(-1

-

x2

1

-

x2证设f

(x0)=arcsin

x0+arccos

0x,因为f

¢(x)=所以

f

(

x)

”

C

,

x

˛

[-1,1]2又因为f

(0)=arcsin

0

+arccos

0

=0

+π

=π

,2自证arctan

x

+arc

cot

x

=π

,x

˛

(-¥

,+¥

).2

2说明欲证x

˛

I

,f

(x)=C0

,只需证在I上23即C

=

π

.

所以arcsin

x

+

arccos

x

=

π

.

2f

(x)”0,且$

x0

˛

I

,使f

(x0

)=C0

.例证明当x

>0时,<

ln(1

+

x)

<

x.1

+

xxf

(

x)

-

f

(0)

=

f

(x)(

x

-

0),,由上式得1

+

x1因为f

(0)=0,f

¢(x)=,1

+

xxln(1

+

x)

=1

<

1

+

x

<

1

+

x<

1,1<11

+

x

1

+

xxx<1

+

x

1

+

x<x,即<

ln(1

+

x)

<

x.1

+

xx(0

<

x

<

x)由0

<x

<x证

设

f

(

x)

=

ln(1

+

x),

[0,

x]

关键f

(x)在[0,

x]上满足拉氏定理的条件,24所以所以柯西Cauchy(法)1789-1859柯西中值定理F

¢(x)F

(b)

-

F

(a)三、柯西(Cauchy)中值定理广义微分中值定理25若函数f

(x)及F(x)满足:在闭区间[a,b]上连续;在开区间(a,b)内可导,且F

(x)„0,则在开区间(a,b)内至少存在一点x,使得

f

(b)

-

f

(a)

=

f

(x)f

(b)

-

f

(a)

=

f

(x)(b

-

a),x

˛

(a

,

b)F

(b)

-

F

(a)

=

F

(x)(b

-

a),x

˛

(a

,

b)x

˛

(a

,

b)f

(b)

-

f

(a)

=

f

(x)

,F

¢(x)F

(b)

-

F

(a)错!这两个x不一定相同F

¢(x)F

(b)

-

F

(a)柯西中值定理若函数f

(x)及F(x)满足:在闭区间[a,b]上连续;在开区间(a,b)内可导,且F

(x)„0,则在开区间(a,b)内至少存在一点x,使得

f

(b)

-

f

(a)

=

f

(x)26柯西定理的下述证法对吗?

因为所以前面对拉格朗日中值定理的证明,构造了b

-

a现在对两个给定的函数f

(x)、F(x),构造辅助函数g(x)=f

(x)-

f

(b)-f

(a)

x即可证明柯西定理.辅助函数j

(x)=f

(x)-f

(b)-f

(a)F

(x)F

(b)

-

F

(a)F

¢(x)F

(b)

-

F

(a)

f

(b)

-

f

(a)

=

f

(x)x

˛

(a,b)分析上式写成

f

(b)

-

f

(a)

=

f

(x)

[F

(b)

-

F

(a)]F

(

x)

=

xF

¢(x)f

(b)

-

f

(a)

=

(b

-

a)

f

(x),

x

˛

(a,b)用类比法27Y

=

f

(

x),

X

=

F

(

x),(a£

x

£

b)dY

f

(

x)注意

dX

=

F

¢(

x)F

¢(x)F

(b)

-

F

(a)柯西定理的几何意义YF

(b)

XO

F

(a)

F

(x)f

(b)f

(a)柯西中值定理若函数f

(x)及F(x)满足:在闭区间[a,b]上连续;在开区间(a,b)内可导,且F

(x)„0,则在开区间(a,

b)内至少存在一点x,使得弦的斜率

f

(b)

-

f

(a)

=

f

(x)

切线斜率28例设函数f

(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,证明:至少存在一点x

˛

(0,1),使

f

(x)

=

2x[

f

(1)

-

f

(0)].分析 结论可变形为f

(1)

-

f

(0)

=

f

(x)

=

f

(

x)1

-

0.292x

(

x

2

)¢

x

=x2设

F

(

x)

=

x

,1

-

0f

(x)

=

2x[

f

(1)

-

f

(0)].证f

(x),F(x)在[0,1]上满足柯西中值定理条件,所以在(0,1)内至少存在一点x,有

f

(1)

-

f

(0)

=

f

(x)2x即罗尔定理拉格朗日中值定理柯西

中值定理f

(a)

=

f

(b)

F

(

x)

=

x罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理之间的关系:推广

推广这三个定理的条件都是充分条件,而不是必要条件.换句话说,满足条件,定理成立;

不满足条件,

定理可能成立,

也可能不成立.30应用三个中值定理常解决下列问题验证定理的正确性;证明方程根的存在性;引入辅助函数证明等式;证明不等式;(5)综合运用中值定理(几次运用).关键逆向思维,找辅助函数31例若f

(x)与g(x)在[a,b]可导,且g

(x)„0.f

(a)

-

f

(x)

=

f

(x)g(x)

-

g(b)

g¢(x)32分析将结论交叉相乘得f

(a)g

(x)

-

f

(x)g

(x)

=

f

(x)g(x)

-

f

(x)g(b)f

(a)g

(x)

-

f

(x)g

(x)

-

f

(x)g(x)

+

f

(x)g(b)

=

0[

f

(a)g

(

x)

-

f

(

x)g

(

x)

-

f

(

x)g(

x)

+

f

(

x)g(b)]x=x

=

0[

f

(a)g(

x)

+

f

(

x)g(b)

-

f

(

x)g(

x)

]x

=x

=

0辅助函数F(x)试证明:$x

˛

(a,b),使得33证设辅助函数F

(

x)

=

f

(a)g(

x)

+

f

(

x)g(b)

-

f

(

x)g(

x)F

(x)满足:在[a,b]上连续;在(a,b)内可导,F

(

x)

=

f

(a)g

(

x)

+

f

(

x)g(b)

-

f

(

x)g(

x)-

f

(

x)g

(

x)F

(a)

=

f

(a)g(b)=

F

(b)因此F(x)满足Rolle定理的条件.得

f

(a)

-

f

(x)

=

f

(x)g(x)

-

g(b)

g¢(x)F

(

x

)

=

f

(a

)

g

(

x

)

+

f

(

x)g(b)-

f

(

x)g

(

x)

-

f

(

x)g(

x)则在(a,b)内至少存在一点x,使F

(x)=0.即

f

(a)g

(x)

-

f

(x)g

(x)

-

f

(x)g(x)+

f

(x)g(b)

=

0g

(x)[

f

(a)

-

f

(x)]

-

f

(x)[

g(x)

-

g(b)]

=

034证毕.f

(a)=f

(b)=0,f

(x)„0,x

˛

(a,b).证明:f

(x)对任意的实数k,存在点x(a

<

x

<

b),使

f

(x)

=

k.分析f

(x)35f

(x)

=

k,

即证

f

(x)

-

kf

(x)

=

0.e-kx

f

(x)

-

e-kx

kf

(x)

=

0[e-kx

f

(

x)

+

(e-kx

)

f

(

x)]

=

0x=x[e-kx

f

(

x)]

=

0.x=x要证设f

(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且证

设g(

x)

=

e-kx

f

(

x)>

0,

f

(x)

-

kf

(x)

=

0由于e-kx即

f

(x)

=

k.f

(x)f

(x)对任意的实数k,存在点x(a

<

x

<

b),使

f

(x)

=

k.设f

(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f

(a)=f

(b)=0,f

(x)„0,x

˛

(a,b).证明:x=x36[e-kx

f

(

x)]

=

0则(1)g(x)在[a,b]上连续;(2)g(x)在(a,b)内可导;(3)g(a)=g(b)=0.

由Rolle定理$x

˛

(a,b),使g

(x)=0.即e-kx

f

(x)

-

e-kx

kf

(x)

=

0考研数学(三),8分设函数f

(x)在[0,

3]上连续,在(0,

3)内可导,且f

(0)+f

(1)+f

(2)=3,f

(3)=1.试证必存在x

˛

(0,3),使f

(x)

=

0.证因为f

(x)在[0,

3]上连续,所以f

(x)在[0,

2]上连续,且在[0,

2]上必有最大值M和最小值m,于是m

£

f

(0)

£

M

,

m

£

f

(1)

£

M

,

m

£

f

(2)

£

M

.故

m

£

f

(0)

+

f

(1)

+

f

(2)

£

M

.3由介值定理知,至少存在一点c

˛

[0,2],使f

(c)

=

f

(0)

+

f

(1)

+

f

(2)

=

1.3因为f

(c)=1

=f

(3),且f

(x)在[c,3]上连续,在(c,3)内可导,所以由Rolle定理知,必存在37x

˛

(c,3)(0,3),

使f

(x)

=

0.6分38考研数学(一,二)11分f

(b)

=

g(b),试证:

存在x

˛

(a,b),使得f

(x)

=

g

(x).设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f

(a)=g(a),证令h(x)=f

(x)-g(x),则h(a)=h(b)=0.设f

(x),g(x)在(a,b)内最大值M分别在a

˛

(a,b),b

˛

(a,b)取得.当a

=

b时,取h

=

a

,

则h(h

)

=

0.

3分当a

„b时,h(a

)=f

(a

)-g(a

)=M

-g(a

)‡0,h(b

)

=

f

(b

)

-

g(b

)

=f

(b

)

-

M

£

0,由零点定理,至少介于a与b之间的点h

,使得h(h

)=0.2分综上,存在h

˛

(a,b),使得h(h

)=0.因此由罗尔定理,存在x1

˛

(a,h

),x2

˛

(h,b),使得h

(x1

)

=

h

(x2

)

=

0,9分再由罗尔定理,存在x

˛

(x1

,x2

)(a,b),使得h

(x)=0,11分即f

(x)

=

g

(x).(1)证明拉格朗日中值定理:若函数f

(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则存在x

˛

(a,b),考研数学(一、二、三)11分xfi

0+使得f

(b)

-

f

(a)

=

f

(x)(b

-

a).(2)证明:若函数f

(x)在x

=0处连续,在(0,d

)(d

>

0)内可导,

且

lim

f

(

x)

=

A,

则f+

(0)存在,且f+(0)=A.证(1)取