山东省临沂市第五中学2021年高二数学理期末试题含解析

山东省临沂市第五中学2021年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：B,对应点,位于第二象限,选B.

2.已知，，，则（

）A． B．

C．

D．参考答案：A3.圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程为（

）A. B.C. D.参考答案：A试题分析：设此圆的圆心坐标为，则圆的半径，当且仅当时，等号成立，圆的面积最小，此时圆心坐标为，半径为，所以圆的方程为，选A.考点：圆的方程、基本不等式.4.直线与曲线交于两点，若的面积为1，求直线的方程.参考答案：解：由到直线的距离：，所以所求直线方程为：略5.如图所示，PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB，PC上的投影，当三棱锥P-AEF的体积最大时，PC与底面ABC所成角的余弦值是（

）A. B. C. D.参考答案：D分析：由题意首先得到体积表达式，然后结合解析式确定函数取得最值时的条件，最后求得最值即可.详解：设，由题意可知，设与底面所成的角为，则由圆的性质可知：，由线面垂直的定义可知：，结合线面垂直的判断定理可得：平面，则，结合可知平面，据此有，则，由平面可知，结合可得平面，则.在中，，利用面积相等可得：，在中，，则，，结合均值不等式的结论可知，当，即时三棱锥的体积最大，此时.本题选择D选项.点睛：本题主要考查线面垂直的定义与判断定理，均值不等式的应用，立体几何中的最值问题，三棱锥的体积公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.如果命题“p且q是假命题”，“非p”为真命题，则

（

）A．命题p一定是真命题

B．命题q一定是真命题C．命题q一定是假命题

D．命题q可以是真命题,也可以是假命题

参考答案：D略7.设的值（

）

A．

B．

C．

D．—参考答案：B略8.已知等差数列的前n项和为,取最小值时n的值为(

)

A．6

B.

7

C．8

D．9参考答案：A略9.若某圆柱的体积与表面积在数值上恰好相等，则该圆柱的体积的最小可能是（

）

参考答案：解析：．设圆柱底面半径为，高为．则，即，．从而．令，则．∴当时，取最小值．10.如图，设椭圆的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限上的点，直线BO交椭圆E于点C，若直线BF平分线段AC于M，则椭圆的离心率是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为

；渐近线方程为

。参考答案：(),12.某单位有职工200名，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1﹣200编号，并按编号顺序平均分为40组（1﹣5号，6﹣10号，…，196﹣200号）．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是．参考答案：37【考点】系统抽样方法．【分析】由分组可知，抽号的间隔为5，第5组抽出的号码为22，可以一次加上5得到下一组的编号，第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37．【解答】解：由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37．故答案为：37．13.若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)i的实部为________．参考答案：略14.已知，，，则的最小值是

．参考答案：4因为，根据基本不等式：，则，令，不等式转化为：，解得：，即的最小值为4．

15.某销售代理商主要代理销售新京报、北京晨报、北京青年报三种报刊．代理商统计了过去连续100天的销售情况，数据如下：销量天数种类20002100220023002400新京报1015303510北京晨报182040202北京青年报352520155三种报刊中，日平均销售量最大的报刊是

；如果每份北京晨报的销售利润分别为新京报的1.5倍，北京青年报的1.2倍，那么三种报刊日平均销售利润最大的报刊是．参考答案：新京报，北京晨报.【考点】函数模型的选择与应用．【分析】求出三种报刊中，日平均销售量，日平均销售利润，可得结论；【解答】解：三种报刊中，日平均销售量分别为=2230；=1720，=2100∴日平均销售量最大的报刊是新京报；设每份北京晨报的销售利润为x元，则新京报为x，北京青年报x，∴三种报刊日平均销售利润分别是×2300，x×1720，2100x，可得三种报刊日平均销售利润最大的报刊是北京晨报．故答案为新京报，北京晨报．16.在数列中，=____________.参考答案：31略17.若，，则

▲

．参考答案：由题可得：=]=

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知圆C经过椭圆的右顶点、下顶点、上顶点三点.（Ⅰ）求圆C的标准方程;（Ⅱ）直线经过点与垂直，求圆C被直线截得的弦长.参考答案：（Ⅰ）设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为. ……6分（Ⅱ），即,圆心到的距离为，圆的半径为圆被直线截得的弦长. ……12分19.（10分）已知命题：关于的不等式的解集为，命题：。若命题“且”为假，“或”为真，求实数的取值范围。参考答案：p命题为真：，或；q命题为真:或.若p真q假，则，若p假q真，则综上，实数的取值范围为或.20.已知函数f（x）=xlnx，（e=2.718…）．（1）设g（x）=f（x）+x2﹣2（e+1）x+6，①记g（x）的导函数为g'（x），求g'（e）；②若方程g（x）﹣a=0有两个不同实根，求实数a的取值范围；（2）若在[1，e]上存在一点x0使成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）①求出函数的导数，计算g′（e）的值即可；②求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）问题转化为，令，根据函数的单调性求出m的范围即可．【解答】解：f（x）的定义域（0，+∞），g（x）的定义域为（0，+∞），（1）①g'（x）=lnx+1+2x﹣2e﹣2，∴g'（e）=0；②，∴g'（x）递增，又g'（e）=0，所以g（x）在（0，e）上递减，（e，+∞）递增，又x趋于0的时候，g（x）趋于6；x趋于+∞的时候，g（x）趋于+∞，又g（e）=6﹣e2﹣e，所以a∈（6﹣e2﹣e，6）；（2）由题可得，∴，∴，令，则h（x）在[1，e]上的最小值小于0，又，①当m+1≥e时，即m≥e﹣1，h（x）在[1，e]上递减，所以h（e）＜0，解得；②当m+1≤1即m≤0，h（x）在[1，e]递增，∴h（1）＜0解得m＜﹣2；③当1＜m+1＜e，即0＜m＜e﹣1，此时要求h（1+m）＜0又0＜ln（1+m）＜1，所以0＜mln（1+m）＜m，所以h（1+m）=2+m﹣mln（1+m）＞2，此时h（1+m）＜0不成立，综上m＜﹣2或．21.已知函数f（x）=x2+2x+alnx（1）若曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率为5，求实数a的值；（2）当t≥1时，不等式f（2t﹣1）﹣2f（t）≥﹣3恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1）的值，求出a即可；（2）由f（x）的解析式化简不等式，分离参数a，根据函数的单调性求出函数的最小值即可得到a的范围．【解答】解：（1）f′（x）=2x+2+，故f′（1）=4+a=5，解得：a=1；（2）∵f（x）=x2+2x+alnx，∴f（2t﹣1）≥2f（t）﹣3?2t2﹣4t+2≥2alnt﹣aln（2t﹣1）=aln．当t≥1时，t2≥2t﹣1，∴ln≥0．即t＞1时，a≤恒成立．又易证ln（1+x）≤x在x＞﹣1上恒成立，∴ln=ln≤＜（t﹣1）2在t＞1上恒成立，当t=1时取等号，∴当t≥1时，ln≤（t﹣1）2，∴由上知a≤2．故实数a的取值范围是（﹣∞，2]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及函数恒成立时所取的条件．考查考生的运算、推导、判断能力．22.（本小题满分12分）如图是一个方形迷宫，甲、乙两人分