第01讲空间向量及其线性运算（人教A版2019选择性）（原卷版）

第01讲空间向量及其线性运算【人教A版2019】·模块一空间向量的概念·模块二空间向量的线性运算·模块三共线向量与共面向量·模块四课后作业模块一模块一空间向量的概念1．空间向量的概念(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(4)几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量；(2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量.【考点1空间向量概念的理解】【例1.1】（2023春·高二课时练习）下列命题中为真命题的是（

）A．空间向量AB与BA的长度相等B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C．空间向量就是空间中的一条有向线段D．不相等的两个空间向量的模必不相等【例1.2】（2023春·高二课时练习）给出下列命题：①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量a， b满足a=③在正方体ABCD−A1④若空间向量a，b，c满足a=⑤空间中任意两个单位向量必相等；其中假命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式1.1】（2023春·高二课时练习）给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量a,b满足a=b，则a=b；③在正方体ABCD−A1B1C1DA．4 B．3 C．2 D．1【变式1.2】（2023·全国·高二专题练习）下列命题为真命题的是（

）A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B．若a=b，则a､C．若向量AB､CD满足AB>CD，且AB与CDD．若两个非零向量AB与CD满足AB+CD=模块二模块二空间向量的线性运算1．空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))减法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))数乘当λ>0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；当λ<0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.【注】(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并.(2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则.(3)空间向量加法的运算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量.【考点1空间向量的加减运算】【例1.1】（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）正方体ABCD−A1B1CA．C1B B．BC1 C．【例1.2】（2023春·安徽亳州·高二统考开学考试）在长方体ABCD−A1B1C1D1中，A．AD1 B．OB1 C．【变式1.1】（2023秋·江西吉安·高二校考期末）已知在长方体ABCD−A1B1C1DA．3 B．2 C．1 D．−2【变式1.2】（2023春·高二课时练习）在空间四边形ABCD中下列表达式化简结果与AB相等的是（

）A．AC+CD C．AC+CD−【考点2空间向量的线性运算】【例2.1】（2023·全国·高三对口高考）12a+2A．−52a−4c B．−5【例2.2】（2023秋·北京·高二校考期末）如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则AD+12A．AD B．FA C．AF D．EF【变式2.1】（2023秋·安徽黄山·高二统考期末）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，E、F分别是BC、CC1的中点，A．−13ABC．−23AB【变式2.2】（2023秋·广东广州·高二校考期末）如图，在平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，AC与BD的交点为O，点M在A．−12AB+76ADC．−12AB+56AD【考点3由空间向量的线性运算求参数】【例3.1】（2023秋·辽宁营口·高二统考期末）平行六面体ABCD−A1B1C1DA．1 B．2 C．3 D．－1【例3.2】（2023秋·山东泰安·高二校考期末）如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1DA．x=−12,y=C．x=−12,y=−【变式3.1】（2023春·湖南长沙·高二校考开学考试）如图所示，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M在OA上，且A．12,−2C．−23,【变式3.2】（2023春·高二课时练习）如图所示，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝13BB1，DF＝23DD1.若EF=xA．﹣1 B．0 C．13 模块三模块三共线向量与共面向量1．共线向量(1)空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)直线的方向向量在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a.(3)共线向量定理的用途：①判定两条直线平行；②证明三点共线.【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点.2．共面向量(1)共面向量如图，如果表示向量a的有向线段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．(2)向量共面的充要条件如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)共面向量定理的用途：①证明四点共面；②证明线面平行.【考点1向量共线的判定及应用】【例1.1】（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E在A1D1上，且A1E【例1.2】（2023·江苏·高二专题练习）已知O、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个点（如图所示），并且OE=kOA，OF=kOB，OH=kOD，【变式1.1】（2023春·高二课时练习）设e1,e2是空间两个不共线的非零向量，已知AB=2【变式1.2】（2023春·高二课时练习）如图，已知O,A,B,C,D,E,F,G,H为空间的9个点，且OE=kOA，OF=kOB，OH=kOD，求证：（1）AC//（2）OG=k【考点2向量共面的判定及应用】【例2.1】（2023春·高一课时练习）如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别为【例2.2】（2023春·高一课时练习）已知A,B,M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，判断在下列各条件下的点P与点A,B,M是否共面．(1)OB+(2)OP=4【变式2.1】（2023春·高二课时练习）已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)BD∥平面EFGH.【变式2.2】（2023春·高二课时练习）已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM=(1)判断MA,(2)判断点M是否在平面ABC内.模块四模块四课后作业1．（2023春·高二课时练习）在平行六面体ABCD−A1B1CA．1个 B．2个C．3个 D．4个2．（2023春·高二课时练习）下列命题中，正确的是（

）.A．若a≠b，则a≠b C．若a=b，则a=b 3．（2023春·甘肃金昌·高二校考期中）下列四个命题中为真命题的是（

）A．已知A，B，C，D，E是空间任意五点，则ABB．若两个非零向量AB与DC满足AB=DC，则四边形C．若分别表示两个空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量D．对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP=xOA+yOB+zOCx,y,z∈R，则P4．（2023秋·河北石家庄·高二校考期末）如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则AB+12A．AG B．CG C．BC D．15．（2023·上海·校考模拟预测）设A、B、C、D为空间中的四个点，则“AD=AB+A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件6．（2023春·江苏无锡·高一校考期中）已知空间向量a，b，且AB=a+2b，A．A、B、C B．B、C、D C．A、B、D D．A、C、D7．（2023秋·广西防城港·高二统考期末）如图，设O为平行四边形ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若OE=12OD+xA．−2 B．0 C．−1 D．38．（2023春·高一课时练习）下面关于空间向量的说法正确的是（

）A．若向量a,b平行，则B．若向量a,b所在直线是异面直线，则C．若A，B，C，D四点不共面，则向量AB，CD不共面D．若A，B，C，D四点不共面，则向量AB，AC，AD不共面9．（2023·全国·高二专题练习）若空间中任意四点O，A，B，P满足OP=mOA+nA．P∈AB B．P∉ABC．点P可能在直线AB上 D．以上都不对10．（2023春·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知向量e1，e2不共线，AB=e1+eA．AB与AC共线 B．AB与CD共线C．A，B，C，D四点不共面 D．A，B，C，D四点共面11．（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，已知ABCD−A（1）与BB1（2）与BC1（3）与BA12．（2023春·高二课时练习）如图所示，在三棱柱ABC−