第十三章 二推理与证明

推理与证明山东省临沂一中高三数学组推理推理与证明合情推理证明演绎推理类比推理归纳推理三段论数学归纳法分析法反证法综合法直接证明间接证明由因导果猜想大前提、小前提、结论验初值、证递推、结论反设、归谬、定论执果索因1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．一、合情推理与演绎推理二、直接证明与间接证明三、数学归纳法1.了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．2.了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

推理与证明是新课标增加的内容，旨在培养学生的观察、猜测和创新的能力,自2007年新课改第一次高考以来,推理与证明一直是高考关注的对象,归纳推理和类比推理的题目时常出现,且类比推理的题目占多数,考查形式为填空题.主要以三种方式出现:1.以填空题形式考查合情推理(归纳与类比)．2.以选择题形式考查信息给予题．3.与数列等大题相结合，考查推理证明能力,难度不大，但相当有新意，而且常考常新,能达到考查能力的目的，应该引起我们的重视.4.从近几年的考题分析，可以发现，使用分析法、综合法证明的题目稍多一些，虽然反证法证题体现的较少，但反证法是数学证明的重要方法．从具体问题出发观察、分析、比较、联想归纳、类比提出猜想归纳推理类比推理1.合情推理主要包括_________和___________.合情推理的过程(1)归纳推理：由某类事物的________具有某些特征,推出该类事物的__________都具有这些特征的推理,或者由__________概括出__________的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由____到____、由个别到_____的推理.归纳推理的基本模式:___________________________,部分对象全部对象个别事实一般结论部分整体一般结论:_______________________.∀d∈M，d也具有某属性a,b,c∈M且a,b,c具有某属性两类对象一类对象另一类对象特殊到特殊(2)类比推理：由________具有某些类似特征和其中_______的某些已知特征，推出___________也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比),简言之，类比推理是由___________的推理.(a,b,c,d与a′,b′,c′,d′相似或相同)类比推理的基本模式:A:具有属性a,b,c,d；B:_________________;具有属性a′,b′,c′结论:B具有属性d′.从_______的原理出发,推出某个__________的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由_____到_______的推理.一般性一般特殊特殊情况下2.演绎推理：(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.(2)“三段论”可以表示为①大前提：M是P；②小前提：S是M；③结论：S是P.(3)数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.3.直接证明(1)综合法

①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的___________，最后推导出所要证明的结论______，这种证明方法叫做综合法.

②框图表示:(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论).推理论证成立3.直接征证明(2刊)分析院法①定义：从__锦__散__险__够__点__毁__出发秀，逐搞步寻非求使千它成比立的__耳__其__特__刊_，直何至最裙后，膀把要途证明疑的结效论归境结为槽判定净一个别明显肆成立楚的条轻件(已知铲条件虹、定薪理、她定义慨、公具理等)为止府．这最种证网明方粗法叫脑做分秋析法景．②框图蓬表示:要证颂明的膀结论充分它条件得到冷一个还明显朗成立城的条详件内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的___________,最后推导出所要证明的结论______.从要____________出发,逐步寻求使它成立___________,直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件实质由因导果执果索因框图表示文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证…即证…推理贯论证成立证明去的结尼论充分傍条件4.间接捎证明(1扒)反证讯法：假设班原命需题__书__痛__毁__针,经过雁正确堡的推叛理,最后蹦得出__辣__巴__绕,因此有说明平假设悠错误,从而探证明腥了原仔命题读成立瞒，这清样的贞证明翅方法落叫做渡反证根法．不成加立矛盾(2)适宜昨使用针反证轨法的裁情况:①结论吧以否汉定形尝式出毒现；②结昆论以社“缘瑞至多…,”馆,爪“至少…”形式伴出现宝；③唯喜一性道、存尚在性垮问题;④结论遥的反台面比撕原结昂论更魄具体醒更容老易研隔究的店命题.用反蛮证法当在归全谬中就所导恋出的盾矛盾默可以籍是与禁题设阅矛盾,与假类设矛蝴盾,与已造知定捉义、衬公理晚、定离理矛祥盾，率自相锻矛盾仿等.反证衡法证涂题步深骤:①反设杀②归钉谬③扎存真.(1假)归纳明法由一真系列秒有限立的特浇殊事卵例得他出__罪__表__滚__的推男理方脾法叫夹归纳必法.根据挪推理非过程型中考吃查的折对象膊是涉四及事御物的全体亩或部椅分可分巨为__主__缺__进_归纳下法和__杂__珠__舟__秃_归纳天法.一般貌结论完全不完稼全5．数娇学归牌纳法(2烘)数学烟归纳兽法对某葬些与某正整暖数有仇关的得数学罩命题潮常采魄用下蔽面的墙方法够来证迷明它貌们的换正确液性：亡先证粱明当n取第1个值n0时,命题明成立庄；然云后假下设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时，载命题踪蝶成立椒；证穴明当n＝k＋1时，沉命题纸也成澡立，壳这种箭证明榆方法予叫做__购__眉__匠__苍__溉__骆__聋.数学酷归纳贩法(3身)用数南学归事纳法巨证明卧一个慨与正吊整数n有关灾的命焰题时,其步绣骤为吴：①__剪__堪__房诚__粪__：证阅明当n取第悟一个忙值n0(n0∈N*)时命枯题成昏立；②__苗__叉__割__呆__：假愤设n＝k(k∈N*,k≥n0)时命迫题成它立，婶证明较当n＝k＋1时命异题成思立．③归纳事结论:由①②得出单结论映．归纳爱奠基归纳己递推先归女纳推诵理(依据些特殊梨情形)猜想咸出一雅般结撕论,再用凑数学刊归纳价法证梨明猜勉想结僻论的散正确势性.一般没地,数学探研究便与发弓现往息往包尽括两凳个要尊素--手-发现挥结论正与证减明结俊论(两者是通常偷交织傲在一粗起),发现增结论源往往旧通过均合情肆推理,结论禽的正漠确性沙需要正通过迹逻辑隶证明药来确辨认.④“归纳——猜想——证明”问题文的证网法⑤数学提归纳绪法的阵应用俊：对于扫由归邮纳法碗得到珍的某详些与幼自然斯数有盾关的砌数陆学伶命浪题,我们缴常采夜用数学村归纳赵法来证筒明它慌们的堂正确固性:1)恒等奶式2)整除财性3)不等脊式计江算、舌猜想哀、证项明4)不等借式5)几何绿方面6)三角胳方面合情欣推理柔是地厕球上最美途丽的毯思维挖花朵健之一月!【例1】(2多01醉0·山东)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(co勤sx)′＝－si云nx，由怠归纳惭推理犁可得垫：若宽定义涉在R上的课函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导贫函数亦，则g(－x)＝()A．f(x)英B．－f(x)昨C．g(x)禾D．－g(x)解:由所骑给函址数及醉其导茧数知,偶函步数的部导函瞎数为复奇函始数.因此胁当f(x)是偶规函数令时，存其导怨函数汪应为妨奇函厨数，故g(－x)＝－g(x)．D题型租一归纳着推理【题后高拓展】归纳元推理震的一怜般步偿骤是虫：(1桐)通过化观察拉个别锯事物尖发现崖某些窝相同酬的性劣质；(2逮)从已所知的动相同对性质以中推杨出一麻个明境确表仙述的滑一般寸性命拳题．一般灿情况耐下，近归纳踩的个从别事迹物越如多，骑越具翼有代技表性绸，推拌广的贪一般捉性结识论也群就越吊可靠谦．【思维腥点拨】归纳紫总结碧时，般看等铃号左兄边式婆子的蜜变化剥规律柜，右立边结围果的武特点栏，根圣据以运上规法律写挨出第型五个稻等式偏，注班意行殃数、字项数漠及其姿变化考规律纳是解茎答本职题的姜关键康．【2茅】(20旷12休·江西)观察稠下列稼各式梁：a＋b＝1,a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11晴,吐…，则a10＋b10＝()A．28响B．76油C．12弟3圣D．19兆9等式卧右面竿的数揉构成补一个嘉数列1,英3愧,交4,字7萄,胀11画,醒…,即an＋an＋1＝an＋2,a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝12灶3，故槽选C.C【3稀】（20耍09团·湖北型）古希辈腊人昼常用币小石艰子在缴沙滩衡上摆疯成各致种形状来溉研究的数，抹例如：他们碗研究书过图1中的1，3，6，10，…，由出于这宴些数雄能够怒表示档成三秧角形米，将东其称幻玉为三音角形楚数;类似模地,称图2中的1，4，9，16…这样童的数帽成为央正方默形数.下列殊数中此既是盛三角屑形数目又是夫正方玻形数施的是(明)A.肉28伍9B.膀10惩24C.宝12火25D.捉13冰78C三角刻形数逗构成煎的数蜡列通知项正方定形数责构成路的数开列通优项bn=n2.【4扇】考察森下列赏一组聪不等棒式：23+53>22·5豆+2默·52,24+54>23·5坝+2匆·53,25+55>23·52+22·53,……横.将上闹述不玩等式遥在左痰右两塘端仍岭为两定项和遭的情挤况下尸加以章推广,使以胸上的净不等至式成莲为推侮广不俘等式胁的特烧例,则推课广的验不等迎式可怜以是__穿__俗__优__掀__尊__蒙__耻__冈__陷__农__望__液__事__虫__起_.所以灶命题宫成立副．AA.M(4唯5,遭14古)B.M(4响5,风24痒)C.M(4开6,形14文)D.M(4矿6,音15枝)【7则】把偶料数数莫列{2n}的各粘项从啦小到腹大依摔次排评成如怎图所飘示的啊三角侍形数汁表,记M(r,t)表示僵该表乔中第r行的芒第t个数,则表缠中的具数20泉08对应池于(填)由1+堪2+喜3+…+n=1缎00驳4，得因为44环×4冈5=蛾19且80胸,45沟×4次6=腹20别70柏.所以20齿08为第45行的衣数,又10滤04－99首0=趟14由.即20屑08为第14个数.【8】(2埋01塌0·浙江)设n≥2，n∈N，(2x＋)n－(3x＋)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，将|ak|(安0≤k≤n)的最麦小值坡记为Tn，则T2＝0，T3＝，T4＝0，T5＝,…,Tn，其中Tn＝题型捏二类比太推理1．类绞比可揪以是疑形式脏上的馅类比闹，用怒于发殊现新号的结串论；乔也可项以是索方法巧上的株类比屑，用匆于寻愧找求对解途研径．2．常括见的运类比妹有平败面↔唉空间荷；等退差数冲列↔举等比言数列梦；实取数↔充复数捧；向织量数欠量积绝↔实克数积眉等．偶类比废是一里种合馒情推闭理，权结论导不一酱定为献真，风需验霞证或百证明雷．3．类查比推兆理能高有效问地考酿查考盏生分栽析问搂题和蜻解决府问题迟的能翠力，吨是高秩考中布常考魂题型旬．因删此，柏在平替时学抗习中争要加显强训拉练．【1柱】(2垂00淘9·浙江)设等贼差数搬列{an}的前n项和斑为Sn,则S4,S8－S4,S12－S8,S16－S12成等袋差数慕列.类比隔以上喉结论,有：恳设等聪比数僵列{bn}的前n项积例为Tn,则此题贸是一吼个数外列与压类比般推理说结合光的问壶题,既考谋查了等数列盼中等唐差数盏列和旬等比旨数列削的知名识,也考辞查了混通过捕已知殃条件杏进行仰类比悲推理苦的方让法和俊能力.成等核比数驾列.∵f(x)=掀si淹nx在区楚间(0皆,π询)上是炎凸蚊函数,且A,B,C∈(啦0,颗π)克,题型【7盏】BCCAC①合情谨推理层包括成归纳辰推理朝与类察比推从理：两归急纳推垄理是背由特家殊到黎一般信，类蛋比推汤理是蹈由特番殊到过特殊.②证明剖包括忧直接明证明酷和间捞接证涝明：窗直勇接证驾明主鲁要有贿综合彩法、英分析纤法等去；间砖接证闹明主僚要是卷反证茂法.③数学控归纳杯法是巩一种获完全搜归纳株的证监明方轰法,它适累用于侍与正越整数栗有关员的数短学命柄题的朗证明.本节暖要注芳重三耽维空录间与缠二维妨平面孝的类戴比(如三跟角形罚与三举棱锥录、四程边形沃与四撕棱柱阶、长负度与校面积样、表隐面积愚与体占积等)、代魂数运隐算与样向量捐的类招比、湖等差患数列秧与等腾比数洪列的裙类比傲、椭喂圆与明双曲勿线的核类比也等．垫学好裹这一崭节,不仅拳可以懒培养蛙学生毫运用鼓合情巴推理亏去猜托测和泄发现望一些翠新的傅结论醋的能描力，锣还可谦以帮院我们童在日少常的劈燕学习型中达鸣到事枪半功抄倍的顾效果狭！预祝连各位灾同学带，20议13高考毛取得诉好成嫂绩!善于煤观察吐勤于症思考呆敢于恼猜想葱的人常常回会冒蹲出创商造的渴灵感收火花例1.求证:证明必：不等犹式显窝然成岸立.若ac+bd≤0津,故要镇证只需敲证故只毛需证即证亦即掘证而上康述不铲等式唐显然劳成立.所以导原不狸等式席成立.证明:假设椒直线ME与BN共面湾，则AB⊂平面MB马EN，且扰平面MB集EN∩DC委EF=EN，由已鸭知，葡两正货方形倡不共珍面，园故AB⊄平面DC袜EF.又AB∥CD，所第以AB∥平面DC凉EF，所以AB∥EN.又AB∥CD∥EF，所以EN∥EF．这与思已知EN∩EF蝇=E矛盾聋，所以ME与BN不共育面,它们暖是异趋面直警线.【例3】(2标00斥9·辽宁)如