第五章 应力状态和应变状态

第五章应力状态和应变状态分析

受力构件不同截面处的内力、应力不同，同一截面的不同点上的应力一般不相同。即使对同一点，若所取截面的方位不同，其应力也不相同。构件内一点处材料的破坏不仅与构件横截面上的应力有关，还与过该点不同方位截面上的应力有关。

laFABFbFBAxyCx+++-第一节应力状态概念一、单元体应力状态及其表示法构件受力后，构件内过某一点的各个截面上的应力情况的集合称为一点处的应力状态，简称一点的应力状态。单元体。假定：单元体各个面上的应力都是均匀分布的，且两个平行面上的应力大小相等。KFFKττTRTγdxdydzzyττxBACl/2l/2FABττCDEττDττEC二、主平面与主应力

单元体上切应力为零的平面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。单元体最多有三对主平面及三个主应力。主应力按代数值由大到小的顺序排列，用σ1、σ2、σ3表示，则有σ1≥σ2≥σ3。

三、应力状态的分类

把只有一个主应力不为零的应力状态称为单向应力状态。两个主应力不为零时，称为二向应力状态，也称为平面应力状态。当三个主应力都不为零时，则称为三向应力状态。A第二节二向应力状态分析的解析法

一、截面上的应力

dxdydzzyxyxnn由切应力互等定理可知τx=τy，又利用该公式可由已知应力σx、σy和τx计算任一方位截面上的应力σα和τα。二、应力极值由此式可求出相差90°的两个角度α0，它们确定两个相互垂直的平面，其中一个是最大正应力所在平面，另一个是最小正应力所在平面斜截面上的正应力σα和切应力τα随截面方位角α的改变而变化，即σα和τα都是α的函数。将式(5-1)对α求一阶导数，得令其等于零，满足上式的角恰好使切应力等于零。也就是说，在切应力等于零的平面上，正应力为最大值或最小值，且它们就是主应力。此即二向应力状态求主应力的公式。最大及最小正应力为令σx为两个主应力中代数值较大的一个，即σx>

σy，则绝对值较小α0的所确定的平面对应最大正应力σmax，较大的对应最小正应力σmin。α0从x轴正向量起逆时针为正。由式可求出两个角度α1，它们相差90°，从而可以确定两个互相垂直的平面，分别作用最大和最小切应力。

用完全相似的方法，可以确定最大和最小切应力以及它们所在的平面。切应力的最大和最小值为即最倘大主哄应力干平面次逆时罗针转45傻°为最将大切叛应力舞平面溪。三、植两相燥互垂镰直面繁上应纯力的偷关系若以β=纺α+丑90答°代换境公式(5况-1寄)中的α，化简劫后得σα+σβ=σx+σy=σma胖x+σmi脑n=常量通过咽受力备物体曲内一滔点，类任意好两相广互垂尚直平籍面上杰的正忽应力浮之和饮为一巴常量芦。以上格对二灵向应贿力状弓态进腰行应木力分体析的弱方法--观-解析猾法单元挥体各剂面上俩的应翻力如粥图所形示（潜应力镇单位许为MP粥a）。试求缘瑞：(1故)ab斜截启面上扒的正饼应力烧和切新应力晴；(2壮)主应染力的宏大小下及其四所在勒截面返的方貌位，蔑并在搏单元甩体上昨画出份。yxn606010040yx606010040解：(1冈)求ab斜截蛋面上园的正夜应力元和切副应力外。取略水平昂轴为x轴，丈则根宽据正杯负号讨规定珠可知占：例5-星1(2阁)求主罪应力迎大小鄙及方桑位单元那体各案面上家的应接力如穴图所贝示（抱应力志单位仍为MP浮a）。试求造：(1概)α=40°斜截档面上近的正狼应力梦和切侨应力烟；(2改)主应旧力的友大小僚及其戒所在孕截面耻的方岔位，号并在娘单元芬体上忌画出仔。yxn60408040解：(1锡)求斜取截面星上的仁正应奔力和侵切应版力。晒取水全平轴虎为x轴，随则根情据正础负号挎规定歉可知狐：练习yx40408060(2姨)求主淡应力皆大小鞠及方追位第三吐节光应力黎圆及焦其应坛用一、咽应力嚼圆及纹其绘夏制可以艺看出堆，在模以σ为横套坐标芦轴、τ为纵糕坐标途轴的群平面鸭内，腔上式诉是一捞个以σα和τα为变群量的野圆周绞方程尺，其勺圆心C的坐洲标和破半径R为,而圆斤周上饲任一悔点的族横坐乏标和榜纵坐军标分针别代校表所鹅研究亮单元表体内伙某一星截面彩上的叉正应高力和庆切应压力。克此圆缎称为应力袋圆，也无称为莫尔飞圆。将以任上两钓式各挤自平拔方后培相加密，得圆心半径应力掉圆的尊绘制σOτσ1σ2CDD’σyσxσατατxG1G2AB1EBA1FD1τy(σx+σy)/2σOτCσαταERE点的恩横坐暖标和荐纵坐倒标分巧别等于α面上婆的正密应力据和切宋应力魄。1.利用俭应力社圆可甲以求肺出α面上掩的正悄应力叨和切巩应力:等于届应力贷圆上滋一点(从D点逆贷时针折方向欧量2α角)的横而坐标钉和纵刷坐标;2.利用蜓应力奴圆可星以求步出主蔑应力催的数峡值，迅确定金主应氏力的邀方位;3.利用孔应力拍圆还各可以椅求出数最大议最小搏切应售力的粗数值先及方这位.应力哭圆在照应力限分析友中的五应用yxn60408040单元忆体各贪面上猜的应度力如变图所疗示（驳应力酱单位客为MP估a）。用图送解法睡求：(1校)α=40°斜截拘面上链的正拢应力腿和切昼应力蛙；(2昆)主应潮力的郑大小特及其闲所在藏截面洲的方慌位，复并在盏单元跑体上处画出卫。σD’(-40,60)τB1A1E(89.5,48.7)CO105-65yx40408060练习单元轨体各咳面应栽力如宫图所阻示（猜应力辟单位村为MP哨a）。试用朴图解镇法求渡：(1屋)ab斜截车面上鲜的应猜力；(2报)主应鼻力大贵小及培其所挖在截付面的阔方位恳；并掀在单翅元体拢上画均出。yxn10040yx10040σσ1D(-100,40)D’(0,-40)τB1A1D1E解僚：(1裕)作应店力圆;(2肾)求ab斜截蓄面上筛的应漂力;(3损)求主到应力填大小碍及方副位。FO例5-脑22α0=1术41筑°2权0ˊ故α0=7观0°恼40糟ˊ三、馆特殊络应力史状态晶的应缝力圆1.单向顷应力摸状态朱的应容力圆στO-σστOσσσσσττστOτ-τττσσσσσσσσσOτ-σσOσ2.纯剪邮切应傅力状屯态的画应力授圆3.二向拨等拉酸、等愤压应坦力状奴态的宜应力现圆第四位节变三向协应力辫状态被简介zyxσOτA1σ1GA2A3σ2σ3例5-就3试用影解析谎法和拐图解得法求服图所叶示单吩元体俭的主眨应力损和最圆大切冠应力即（应蛮力单宜位为MP谊a）,并作咱三向娇应力杰图。解：单元寒体z面为洪主平寇面，-3手0M拌Pa为主酬应力东之一甘。故箩只需暴求与x、y面应贵力有功关的芒另两接个主勿应力罚。(1茂)解析县法。zyx120304030(2糖)图解跃法。病按选垃定的妥比例场尺，因量得的主应糠力和颠最大羽切应傲力（哨大圆持半径羞）为淹：最大牲切应表力为然：στAG3BC3OC(-30,0)D(120,-30)D’(40,30)C1第五锐节碎广义算虎克马定律只有σ1的作赶用时牧，在σ1、σ2、σ3三个批方向剥产生繁的应技变为只有σ2的作跃用时亚，在σ1、σ2、σ3三个绕方向氏产生克的应跨变为只有σ3的作漫用时瓶，在σ1、σ2、σ3三个泪方向照产生但的应翁变为其中商，E为材等料的走拉压溜弹性贺模量邀，ν为材贿料的拥泊松溜比。卸与主商应力银方向粉一致舌的线锅应变ε1、ε2和ε3称为主冬应变。计筋算时亏，式拉中的σ1、σ2和σ3均应恰以代限数值暂代入亿，求忙出的ε1、ε2和ε3，正值料表示增伸长典，负亿值表钞示缩削短。在三身个主挽应力管共同殖作用亦下的铸主应恋变，末叠加骄上述脏结果:对于贫各向侦同性线材料投，在驳弹性读范围比内，毯切应演力对弓线应习变无哭影响交，所询以当嫂单元扰体的起各面束上既嘴有正鸭应力亲又有惊切应贺力时趋，沿σx、σy和σz方向讲的线买应变εx、εy和εz有相伸似的帅关系切应杜力与犯切应物变:上式滨称为广义蛙虎克程定律。对于拢平面电应力典状态智，由厕于σz=0，TTKττ:如图凶所示促圆轴废直径单为d，其戏两端境承受分外力档偶矩T作用卵。今黑由实底验测先得轴嫁表面诉与壳轴线快成45纺°方向弊的线绢应变ε45亦°,试求涨外殃力偶荐矩T之值闪。材禽料的敢弹性掠常数E、ν均为宋已知抓。例题5-节4解：在轴督的表嗓面某圾点取孩单元位体，街应力誉情况满如图束所示,可见膨为纯岁剪切析应力赶状态烂，其补三个衬主应标力为式中τ为横叹截面悼上圆遮周处戒的切今应力虑。ε45蛾°方向托为σ1方向狡，由雅广义曾虎克猪定律兄得从辛而得练习图示菊圆轴橡直径管为d，其两搞端承橡受外虹力偶怀矩T作用纵。今唇由实距验测投得轴倚表面聋与轴罩线成30掏°方向紫的线戒应变ε30泊°,试求乘外力片偶矩T之值陷。材缸料的呢弹性嫂常数E、ν均为姐已知脾。TTK解：在轴论的表兵面某先点取卸单元报体，慌其各边应力灰分量喘为式中τ为横运截面越上圆嘉周处券的切膝应力供。30尸°方向柱和与决之垂江直的60迹°方向旨的应慎力为ττ由胡球克定律FA如图所孕示圆形拉跳杆直径赌为d=2权0mm，已知轴表糕面与水平线成60估°方向忽的线安应变ε60戚°=4榨×1刷0-4,材料膜的弹甲性常翻数ν=0赤.3、E=2棋00盈×1教03MP习a。试求宋外力F之值脱。解：在杆的表面A点取单元体，其各应力分量为60°方向和-30°方向的应力为练习由胡锅克定律某方向杯应变盈→该纤方向匙应力要→特柳定方活向应乖力→贪截面开内力迅→外含力胡克献定律求任并意方锐向应晶力公出式求截达面上关应力艰公式矩形绳截面墓悬臂总梁,b×h,自由艘端受揉集中竖力F作用光，已知梁表萝面中江性轴勒上与轴线成45苏°方向哗的线龄应变ε45辱°，材李料的旱弹性灵常数ν、E。试伴求外疲力F之值纹。FABllC解：在C点取绝单元兵体45乔°方向颗和-4聋5°方向玩的应枕力为练习由胡颤克定律当单言元体无处在团复杂养应力打状态团时，鞠其体融积也扮将发蚊生变窗化设旗单元默体各红边原礼长分祝别为dx、dy、dz，则变欧形前驳体积苏为受主写应力σ1,σ2,σ3后边呜长则易为dx(1灰+ε1)，dy(1潜+ε2)，dz(1逐+ε3),其体杆积变呜为单位块体积咳的改滋变或供体积谣应变纷为体积戏应变σm称为稿体积洪应力汽；K称为体积蜘弹性顷模量。由帜式可醉知，自单元年体体步积的馒改变圈与三羊个主再应力旷之和公成正之比.以应力代应谷变图示巡寿钢模亿有一桑正方狼形孔艺穴，河每边例长为10mm。有一锄钢块苦恰好单放入鲁而不爬留间董隙。缎钢块致受铅提垂压掌力F=7缘瑞kN作用尾，钢冈块的惨弹性肉模量E=2旋00腔GP甘a，ν=0虚.3。试求旷钢块虾的三菠个主版应力亭、最铅大切喊应力茅及钢块的河体积镇改变剃量。花设钢检模不醋变形长。例5-桥5F解：钢块醋在铅和垂方够向受挤压时奥，将狡产生剖横向梨膨胀凝（x向和z向）与，但灭这种野变形驴受到厘刚性浴孔穴掀的限易制，责故在x、z向无框线应侦变而疏有压农应力词。即柏钢块牌各点婶均为稿三向朝受压肥应力陷状态朴，如圾图所释示，箭其三拥个互暑垂面添都是君主平猴面。F根据宗题意候，有εx=0及εz=0，由于产对称鼠关系致有σx=σz。根据圾广义器虎克汗定律联立众求解驼，得故三较个主劳应力按为：钢块敲的体误积应深变为善：钢块养的体伯积改肺变量离为：可见轨，钢狭块缩蹄小了0.临26膜mm3最大环切应铅力为诊：第六晶节搅平面泥应变巴状态鹿分析一、任意朗方向晋的线麻应变1.已知εx求εα2.已知εy求εαxyCORRBB’A’AdRdxxxyCORRBB’C’AdRdyy3.已知γx求εαxyCORRBB’A’AdRC’由某赚点处恒的两借个相泥互垂善直方笨向的迁线应辱变εx、εy和切赶应变γx，利用妇叠加锄原理饼，可挑求得类与x方向舰成α角方弯位的泽线应犹变利用斯三角疾变换葡关系客，上壮式可席写为和主面应力请计算俘相似猫，也润可得典到主堂应变向的计定算式式中α0为主庸应变ε1方向袜与x轴间液的夹缠角。二、由一填点处哈的三沾个方兄向的公线应眯变求爷主应惭力xyaObc第七合节备复杂凡应力胖状态缓下的舟应变服比能以弹喊性变躺形形羊式积哑蓄的炸能量抗称为弹性晃变形塞能。若外问力作罪用方择式是翅缓慢李加载拼，变尘形在抚弹性耻范围肥内，差则可嫩忽略怜动能足和其化他