2012年考研数学二试题及答案

..精选实用文档..精选2021年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:18小题，每题4分，共32分.以下每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)曲线渐近线的条数()(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】C【考点】函数图形的渐近线【难易度】★★【详解】此题涉及到的主要知识点：〔i〕当曲线上一点M沿曲线无限远离原点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。〔ii〕渐近线分为水平渐近线〔，为常数〕、垂直渐近线〔〕和斜渐近线〔，为常数〕。〔iii〕注意：如果〔1〕不存在；〔2〕，但不存在，可断定不存在斜渐近线。在此题中，函数的间断点只有.由于，故是垂直渐近线.〔而，故不是渐近线〕.又，故是水平渐近线.〔无斜渐近线〕综上可知，渐近线的条数是2.应选C.(2)设函数,其中为正整数,那么()..精选实用文档..精选(A)(B)(C)(D)【答案】A【考点】导数的概念【难易度】★★【详解一】此题涉及到的主要知识点：.在此题中，按定义.应选A.【详解二】此题涉及到的主要知识点：.项在应选〔A〕.(3)设，，那么数列有界是数列收敛的()〔A〕充分必要条件〔B〕充分非必要条件〔C〕必要非充分条件〔D〕既非充分也非必要条件【答案】B【考点】数列极限【难易度】★★★【详解】因，所以单调上升.假设数列有界，那么存在，于是反之，假设数列收敛，那么数列不一定有界.例如，取，那么是无界的...精选实用文档..精选因此，数列有界是数列收敛的充分非必要条件.应选〔B〕.(4)设那么有()(A)(B)(C)(D)【答案】D【考点】定积分的根本性质【难易度】★★★【详解】此题涉及到的主要知识点：设，那么.在此题中，，，，，因此.应选D.〔5〕设函数可微，且对任意的都有，，那么使不等式成立的一个充分条件是()〔A〕，〔B〕，〔C〕，〔D〕，【答案】D【考点】多元函数的偏导数；函数单调性的判别【难易度】★★★【详解】此题涉及到的主要知识点：函数单调性的判定法设函数在上连续，在内可导...精选实用文档..精选①如果在内，那么函数在上单调增加；②如果在内，那么函数在上单调减少.在此题中，因，当固定时对单调上升，故当时又因，当固定时对单调下降，故当时因此，当，时应选D.〔6〕设区域由曲线，，围成，那么()〔A〕 〔B〕2 〔C〕-2 〔D〕【答案】D【考点】二重积分的计算【难易度】★★★【详解】此题涉及到的主要知识点：在此题中，其中，均为奇函数，所以，应选〔D〕..精选实用文档..精选(7)设,,,,其中为任意常数，那么以下向量组线性相关的为()(A)(B)(C)(D)【答案】C【考点】向量组的线性相关与线性无关【难易度】★★【详解】此题涉及到的主要知识点：个维向量相关在此题中，显然，所以必线性相关.应选C.(8)设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且.假设P=〔〕，，那么()(A)(B)(C)(D)【答案】B【考点】矩阵的初等变换；初等矩阵【难易度】★★★【详解】此题涉及到的主要知识点：设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.在此题中，由于经列变换为，有..精选实用文档..精选，那么应选B.二、填空题：914小题,每题4分,共24答题纸指定位置上.〔9〕设是由方程所确定的隐函数，那么.【答案】1【考点】隐函数的微分【难易度】★★【详解】此题涉及到的主要知识点：隐函数求导的常用方法有：利用复合函数求导法，将每个方程两边对指定的自变量求偏导数〔或导数〕，此时一定要注意谁是自变量，谁是因变量，对中间变量的求导不要漏项。然后求解相应的线性方程式或方程组，求得所要的隐函数的偏导数或导数。利用一阶全微分形式的不变性，对每个方程两边求全微分，此时各变量的地位是平等的，然后求解相应的线性方程组或者方程式，球的相应的隐函数的全微分。对于多元隐函数来说，假设题目中求的是全部偏导数或全微分，往往是用方法2比拟简单些，假设只求某个偏导数，那么方法1和方法2的繁简程度差不多。在此题中，令，得.等式两边同时对求导，得〔*〕令，得，于是.再将〔*〕是对求导得..精选实用文档..精选令，，得于是〔10〕.【答案】【考点】定积分的概念【难易度】★★★【详解】此题涉及到的主要知识点：利用定积分定义求某些和式的极限〔先将和式表成某函数在某区间上的一个积分和，它的极限就是一个定积分〕.特别是对于项和数列的极限，应该注意到：在此题中，由积分定义，〔11〕设，其中函数可微，那么【答案】0【考点】多元复合函数的求导法【难易度】★★【详解】此题涉及到的主要知识点：二元函数〔是一元函数与二元函数的复合函数〕，在变量替换..精选实用文档..精选下，得到对，的偏导数为，.在此题中，根据题中条件可知，，，所以〔12〕微分方程满足条件的解为【答案】〔或〕【考点】一阶线性微分方程【难易度】★★★【详解】此题涉及到的主要知识点：方程叫做一阶线性微分方程，其通解为.在此题中，方程可整理为，将看作因变量，一阶线性非齐次微分方程的通解为.又，得，故〔或〕为所求解.〔13〕曲线上曲率为的点的坐标为.【答案】〔-1，0〕【考点】曲率【难易度】★★★【详解】此题涉及到的主要知识点：曲率公式.在此题中，，代入曲率公式，得，..精选实用文档..精选解得或.又，故.故坐标为.〔14〕设为3阶矩阵，，为的伴随矩阵，假设交换的第一行与第二行得到矩阵，那么_________【答案】-27.【考点】矩阵的初等变换；伴随矩阵【难易度】★★★【详解】此题涉及到的主要知识点：设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.在此题中，设那么，从而.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〔15〕函数记〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕当时，与是同阶无穷小，求常数的值.【考点】无穷小量的比拟【难易度】★★★【详解】此题涉及到的主要知识点：当时，，.〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕..精选实用文档..精选方法一：利用泰勒公式解得.方法二：利用等价无穷小量代换当时，，所以.〔16〕求函数的极值.【考点】函数的极值【难易度】★★★★【详解】此题涉及到的主要知识点：二元函数取得极值的充分条件：设在点的某邻域有连续的二阶偏导数，又，，令，，，那么〔1〕当时，在取极值，且当时取极小值，时取极大值；〔2〕当时，不是的极值点；〔3〕当时，仅此缺乏以判断是否是的极值点，还需另作讨论.在此题中，先求函数的驻点.令解得驻点为，又..精选实用文档..精选根据判断极值的第二充分条件，代入〔1，0〕，得，，，从而，，所以在〔1，0〕取得极大值，极大值为；代入〔-1，0〕，得，，，从而，，所以在〔-1，0〕取得极小值，极小值为.〔17〕过点〔0，1〕作曲线的切线，切点为，又与轴交于点，区域由与直线及轴围成，求区域的面积及绕轴旋转一周所得旋转体的体积.【考点】导数的几何意义、定积分的应用【难易度】★★★★【详解】此题涉及到的主要知识点：〔i〕函数在点处的导数是曲线在点处的切线的斜率.函数；〔ii〕函数，在连续，那么由曲线，及直线，所围区域的面积；〔iii〕曲线绕轴旋转一周所得旋转体的体积.在此题中，设切点坐标为，那么切线斜率为，切线方程为，代入〔0，1〕点，解得，从而切点坐标为，切线方程为，点..精选实用文档..精选坐标为，所以区域的面积.绕轴旋转一周所得旋转体的体积〔18〕计算二重积分，其中区域由曲线与极轴围成.【考点】二重积分的计算；定积分的换元积分法【难易度】★★★★【详解】此题涉及到的主要知识点：在此题中，作极坐标变换，，那么的极坐标表示是，，于是〔19〕函数满足方程及〔Ⅰ〕求的表达式；〔Ⅱ〕求曲线的拐点...精选实用文档..精选【考点】二阶常系数齐次线性微分方程；函数图形的拐点【难易度】★★★【详解】此题涉及到的主要知识点：〔i〕二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程有两个不同的实根，微分方程的通解形式为.〔ii〕拐点的充分判别定理：设在内二阶可导，，那么，假设在两侧附近异号，那么点为曲线的拐点.〔Ⅰ〕因满足①②由②得，代入①得，两边乘得积分得，即代入②式得，于是代入①〔Ⅱ〕曲线方程为为求拐点，先求出.，，由于因此是曲线的唯一拐点...精选实用文档..精选〔20〕证明：【考点】函数单调性的判别【难易度】★★★【详解】此题涉及到的主要知识点：函数单调性的判定法设函数在上连续，在内可导.①如果在内，那么函数在上单调增加；②如果在内，那么函数在上单调减少.证明：令，那么转化为证明〔〕因，即为偶函数，故只需考察的情形.用单调性方法.，，，其中，，因时，又在连续在，〔〕，同理在，在，.又因为偶函数，.即原不等式成立...精选实用文档..精选〔21〕〔Ⅰ〕证明：方程〔为大于1的整数〕在区间内有且仅有一个实根；〔Ⅱ〕记〔Ⅰ〕中的实根为，证明存在，并求此极限.【考点】闭区间上连续函数的性质【难易度】★★★★【证明】此题涉及到的主要知识点：零点定理：设函数在闭区间上连续，且与异号〔即〕，那么在开区间内至少有一点，使.〔Ⅰ〕转化为证明在有唯一零点.由于在连续，又，，由连续函数的零点存在性定理可知在，所以在，在的零点唯一，即在内只有一个根.〔Ⅱ〕记，它的唯一零点记为.现证.由于..精选实用文档..精选，显然，在有唯一零点，此零点必然是，且因此单调下降且有界，故必存在极限因，即，令即.〔22〕设〔I〕计算行列式；〔II〕当实数取何值时，方程组有无穷多解，并求其通解.【考点】行列式按行〔列〕展开定理；非齐次线性方程组有解的充分必要条件【难易度】★★★【详解】此题涉及到的主要知识点：〔i〕行列式按行〔列〕展开定理：行列式等于它的任一行〔列〕的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即，或.〔ii〕设是矩阵，方程组，那么方程组有无穷多解〔I〕按第一列展开，即得..精选实用文档..精选〔Ⅱ〕因为时，方程组有可能有无穷多解.由〔I〕知或当时，，由于，，故方程组无解.因此，当时不合题意，应舍去.当时，，由于，故方程组为自由变量，得方程组通解为：〔为任意常数〕.〔23〕，二次型的秩为2〔I〕求实数的值；〔II〕求正交变换将化为标准形.【考点】二次型的秩；实对称矩阵的特征值和特征向量；用正交变换