高中数学-两角差的余弦值教学设计学情分析教材分析课后反思

环节教学设计设计说明一小朋友乘坐摩天轮（半径10m），由B点旋转到A点逆时针转过30°，OA与水平方向的夹角为45°，问：从B点到A点他的水平位移是多少？激发学生的求知欲，为本节课的学习做有利的准备创设情景，导入新课【问题1】：如xyxyOAB【问题2】：如何求解cos15°？试问：考虑到15°=45°－30°，结合之前学过的三角诱导公式，猜想cos15°与哪些三角函数值有关系？【猜想】：与cos45°、cos30°、sin45°、sin30°有关。【问题3】：如何寻找这些量之间的等量关系呢？引起学生的好奇,激发学习和探究知识的兴趣。体会猜想、辩证的数学思维，引导学生探究新知。师生互动，探究新知探究1：为了求得引例中的水平位移，我们联系已学过的三角函数相关知识，同学们分组交流求解方法？展示交流成果:利用单位圆构造三角函数线，求解cos15°，进而引导学生猜想对于任意角α，β，得到两角差余弦公式。并再次引导学生利用三角函数线进行一般性的证明，并引导学生评价，并发现这种证法的局限性。引导学生优化证明方法。探究2：仔细观察公式的结构特征，通过联想发现，两角差的余弦公式。如图，在直角坐标系中作单位圆O，以为始边作角，它们的终边分别交单位圆于点xyOAB，，xyOAB点坐标为，）从引例出发，带着问题探究，目标明确，针对性强，引导学生发现正确的结论，符合“学生为主体，老师为主导”的现代教育观点，也符合学生的认知规律。教师点拨，学生板书，学生评价，培养学生的口头表达能力，推理论证能力，评价能力，培养学生养成严谨思维习惯。环节教学设计设计说明师生互动，探究新知，，设两向量夹角为由向量数量积公式变形，有cos=。。（以上推导是否有不严谨之处？应如何补充？）由向量数量积的概念，向量夹角；由于都是任意角，也是任意角，但是由诱导公式，结合终边相同角的表示法，发现两点不严谨：（1）=？（2）cos=cos（）?（分组交流后得出解决方案）分类讨论=2kπ+或2kπ-（k∈Z），结合诱导公式因此总有cos=cos（）培养学生思考的严谨性，学会解决探究过程中遇到的困难。发现结论得出公式总结（两角差的余弦公式）：对于任意角，都有可以简记为回到引例：若要求，只要已知；或中各一三角函数值.强调了角的任意性。从引例发现问题，探究结论，进而解决引例中的角度问题，前后呼应。知识应用例1：求值.(公式正用)举一反三：=1\*GB2⑴你还有其他拆角方法吗？⑵求⑶求cos75°=（公式活用）(4)cos48°cos18°+sin48°sin18°=(公式逆用)本题由学生回答环节教学设计设计说明知识应用对公式中的任意角进行赋值，请完成下面的式子：（口答）例2：已知，，，是第三象限角，求.（公式正用）【变式】如果去掉条件，结果会如何？（公式活用）学生练习，培养思维的有序性和表述的条理性，这是三角变换的基本要求记忆公式，从结构特征入手，注意公式的应用应该从公式的“正用，逆用，变用”着手。通过变式训练目的引导学生能从观察角度入手，寻找解题思路，培养学生的整体意识注意：求三角函数值时，应该注意角的取值范围。课堂小结小结：通过本节课的学习，同学们应注意：运用两角差的余弦公式解决问题时要做好角的文章，包括角的范围的确定，角的分解或合并等问题；化简问题（一般指公式的逆用），根据被化简式子的结构，选择三角公式进行化简.感悟收获作业布置：A.书面作业：P137练习1.（1）（3），2，4.B.课外探究作业：预习§3.1.2由公式出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？作业布置突出本节课知识点,适量,达到复习巩固的目的《两角差的余弦值》学情分析1.学生认知基础分析学生已经学习了同角三角函数的基本关系、诱导公式、平面向量，这为探究两角差的余弦公式建立了良好的基础.同时，学生对猜想、归纳、三角函数线、向量法都有一定的认识，但还远未达到灵活并综合运用这些知识独立探究两角差的余弦公式的水平.需要教师适时发挥主导作用，思维的引导和语言的过渡都显得尤为重要，组织学生合作探究、积极思考，方能顺利完成本节课目标.2.教学问题诊断分析①余弦公式的猜想与推导是本节课的重点和难点，为了贴近学生最近思维发展区，本课设计了由特殊角入手进行猜想，逐步深入进而推导证明.②在利用单位圆中三角函数线进行构造特殊角的三角函数值这一过程中，做辅助线是难点，通过学案上设置复习三角函数定义和特殊角的三角函数线，难度大大降低，顺利突破难点.③利用向量法构造夹角进行证明公式，也是本节课又一难点，通过学案复习向量数量积坐标公式，和教师过渡语暗示由公式“结构特征和形式特点”进行引导学生联想、类比，想到向量法变得很自然.④三角函数线的方法证明的局限性不易发现，向量法证明的夹角如何转化，这些证明过程中容易被学生忽视的地方如何突破，也是本节课处理的难点，教师必须引导到位，让学生养成严谨的思维习惯.《两角差的余弦值》效果分析知识与技能目标效果分析：通过课堂教学环节看，学生大都能在课堂上积极思考，踊跃交流，并能熟练记忆公式，并准确地进行简单的公式应用，达到了预期效果.过程与方法目标效果分析：通过课堂上设置的两个探究环节，都有一定的难度，但在课前学案复习之前的内容，使得问题有梯度，难点较易突破，比预想中顺利，说明对预习学案的设计一定要科学、紧扣课堂需求、贴近学生最近思维发展区，才能有效降低难度，提高课堂效率。课堂评价环节也锻炼了学生表达和归纳能力，规范书写良好习惯，彰显课堂师生融洽互动，较好地完成了过程目标.情感态度价值观目标效果分析：通过整个课堂由猜想到探究到证明再到应用，让学生体会到了数形结合、分类讨论等数学思想的魅力，感受到类比、猜想、赋值等思维的趣味性，享受到了自主探究的成果，此外，在感悟数学文化博大精深的同时，对深刻地进行自主探究充满了信心，为今后的可持续性发展奠定了坚实的基础.《两角差的余弦值》教材分析1.教学内容“两角差的余弦公式”是人教A版普通高中课程标准实验教科书必修四第三章第一节的内容，教学安排为一课时。三角恒等变换是三角函数与数学变换的结合点和交汇处，是第一章学习三角函数内容的延续和深化，是培养学生推理能力和运算能力的重要素材，两角差的余弦公式更是今后推导两角和、差关系和倍角公式的基础，本节内容是整个《三角恒等变换》体系的核心，对三角函数求值、化简、证明等问题起到了关键作用。因此，两角差的余弦公式是教材中起到了承上启下的作用。本节通过实际情景引入，激发学生探究热情，用特殊的三角函数值求解非特殊角的余弦公式，采用了由特殊到一般的方式，符合学生认知，让学生充分感受数学是“自然而然”的！进而推广至一般锐角的情形，然后发现不足，引导学生完善证明过程的严谨性，利用联想思维过渡至向量法证明的简洁性和严谨性，既培养了学生严禁的思维习惯，也突出了向量的强大的功能，此过程更是提高了学生多角度思考问题的能力、提升了学生利用向量方法解决问题的能力。2.教学重点、难点重点：两角差余弦公式的推导过程及简单应用.难点：两角差余弦公式的猜想、推导与证明过程的引导以及优化.3.教材处理教材并没有直接给出两角差余弦公式的内容，而是设计了电视塔高度的情景模型，让学生感受生活中的数学模型，很好的数学建模素材，也更能激发学生探究新知的热情和求知欲，然后教材实施了猜想、反例验证、分别利用三角函数线和向量模型进行公式的推导与证明，教材的这样的设计让学生感觉真实、科学、严谨而有序，不仅大大提高了数学课堂学习的有效性，更是从思维上让学生体会数学定理生成的必经之路：提出问题-----猜想------归纳-------论证-------应用--------解决问题，这样的主线是足够清晰和完整的，遵循学生思维发展规律，符合新课程中接近学生最近思维发展区的要求。设计这堂课以遵循教材意图为原则，让学生充分感受“数学是自然的”、“数学是亲近的”、找到学生亲身体验过的摩天轮为背景，激发学生探究新知的热情，同时也很好的培养了学生数学建模的思想。整个教学过程围绕着从特殊到一般，猜想、论证、应用的主线条，坚决执行教师主导、学生主体的教学理念，高效地完成了本节课的内容，让学生从中体会到多种数学思想的碰撞，感受数形结合、猜想归纳给我们带来的成就和收获，体会分类讨论思想带给我们的严谨与规范，体验转化化归思想带给我们的灵活有度，更是在华罗庚教授和高斯“数学王子”的良言金句中过了一把数学文化“瘾”！在每个环节的过渡中，设置问题串层层递进为了遵循教材“因材施教”的原则，设置了分层作业和探究作业环节，让各个层次的学生学有所得，得到不同层次的发展.《两角差的余弦值》评测练习1.等于()A.B.C.D.2.等于()A.B.C.D.3.等于()A.B.C.D.4.______________.5.已知求的值.【解】:《两角差的余弦值》课后反思本节课始终本着贯穿教师主导、学生主体的主线，让学生在教师有效的指导下进行高效的课堂活动与探究，并体验两角差的余弦公式的猜想、论证、应用过程，同时，体会各种数学思想的应用，感悟数学文化的博大精深。同时，以下几点值得思考：一，是“备教材”还是“备学生”教材中的实际情景距离学生的生活区较远，如果以此为背景，会不会让学生觉得兴趣一般般，从而削减了探究新知的热情，那么我们在备教材的前提下，是否应该充分地去了解学生，从他们最感兴趣的事物入手，情景更加贴近学生的生活区，这样引入更有亲近感，学生会更好的投入探究中，课堂的效率也会随之大大提升！此外，备课时是否要充分预测课堂的难点，并提前做好突破难点的各种措施，例如有的知识点学过去很久了，部分内容已经产生了遗忘，那可以课前做一些简单的复习，如果有条件的地区还可以给学生安排一些建模实验，亲身体验数学模型的产生与实践需要。一些抽象的符号能否事先进行具体化，总之，要想提高课堂效率，备学生必不可少，因材施教很有必要。二，是“推公式用”还是“给公式用”整节课多半时间是在猜想、探究、推导证明公式中度过，真正涉及到应用公式的时间只有十多分钟，可能有的老师会不解：这个公式很好记忆，直接记住了我来用它解决引例不就可以啦，还用推导吗，这么费时费力浪费做题时间。其实，我认为，我这么安排是有道理的，是磨刀不误砍柴工的做法。猜想、探究、推导相当于“磨刀”，只有思维这把刀“磨”快了，用它去解题才会游刃有余。而跳过推导快速通过记忆公式就急着解题的人，只会知其然而不会知其所以然，例如，错过了宝贵的猜想，你就错失了独立发现真理的机会，错过了论证中的纠葛，你便会与严谨失之交臂，长此以往，就如高斯所说，你会错过那些美丽的定理中隐藏得极深的奥妙！那些重要的数学思想的形成，正是依赖于我们大胆的猜想和创新!因此这节课为何花如此多的时间在“推公式用”，而没有“给公式用”，正是“授之以渔”而非“授之以鱼”。三，数学文化的渗透让学生对数学更感兴趣前面引用华罗庚先生的一句：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”这一句话道尽了数形结合的重要性，贴切地感受到数形结合思想的不可或缺，更加感受到数学伟人的才华横溢，体会数学不仅是抽象的，更是人文的，优雅的押韵的。最后利用牛顿的话：没有大胆的猜想，就不会有伟大的发现！这里更是激励学生要勇于大胆创新，敢于挑战极限！最后高斯的一段话，更是将数学的魅力展露无余，激励学生学习数学要始于感性，终于理性！总之，数学文化博大精深，如果可以，我愿意把它渗透在课堂的各个角落，来年遍地生花！四，本节课的一些不足由于本节课涉及思想方法过多，在43分钟内完成，有些细节处理稍显仓促。如：公式的正用、活用、变用都有涉及，唯有逆用还未涉及，此外，本想着在课堂中对学生探究的多个成果进行投影，因设备原因未达成所愿，最后，因时间关系，在完成公式的证明之后有一个几何画板的任意角动画演示，未能展示，稍有遗憾。这就暴露出课堂的一个重要的缺陷：课堂环节的把控还有待加强和完善，一个好的课堂，应该是“润物细无声”的舒展的活泼的课堂，潜移默化地感染力推动着每一个学生，最终，朝着同一个方向前行和进步！如果课堂能够更加从容淡定一些，