高职高等数学函数

第1讲函数

2014-10-97/3/2023一函数的概念二函数的表示方法三分段函数四反函数五初等函数六函数的几种性质7/3/2023一函数的概念

常量与变量定义设在某个变化过程中有两个变量x和y，变量y随着x的变化而变化，当x在一个非空数集D上任取一值时，y依照某一对应规则f总有一个确定的数值与之对应，则称变量y是变量x的函数。记为7/3/2023其中,x叫做自变量，y叫做因变量或函数。数集D称为这个函数的定义域，记为D（f）。当自变量x在其定义域内取某确定值x0时，因变量y按照所给的函数关系（对应法则），求出的对应值y0，称做当x=x0时的函数值。记为

相应地，y值的集合称为函数y=f(x）的值域。

或7/3/2023注意

1.函数的定义有两个要素，即定义域(D)与对应规则(f)。所以，只有当两个函数的定义域和对应规则完全相同时，他们才是同一个函数。

2.函数的定义域D，要符合客观要求。如：身高、体重等不能小于0;……

7/3/20233.求函数定义域时，要注意：分式中分母不为0;根式中负数不能开偶次根；对数中真数大于0…

4.对于特殊函数——反三角函数(arcsinx等)，除定义域与法则以外，数学上同时也规定了它的值域。7/3/20237/3/2023二函数的表示方法常用的表示方法有三种：解析法（公式法）、表格法和图示法。

(1)解析法是指用解析表达式（或公式）去表示函数关系。例如

7/3/2023

(2)表格法是用列表的方法来表示函数关系，例如水文监测站统计了某河流20年内平均月流量V，如表1.1所示。

表1.1

这是用表格表示的函数，当自变量x取1～12之间任意一个整数时，从表格里可得出y的一个对应值。x月份123456789101112y平均月流量V/亿m0.320.290.470.640.330.774.14.23.71.90.90.727/3/2023(3伏)图示梨法是背用直锁角坐口标系x0y平面乐上的卷曲线妖表示勤函数附关系6/香27策/2礼02妹3三足分段敢函数例它们娃的图杀形如娇下：-1106/伸27雄/2碌02赚3写出俘下面自函数约关系把的表辨达式例：冲学校条外超坛市，额由于宗期假雾货物超积压巨，现膀物价驰促销筛，可你乐原爸价2.尝50元/罐，甘现促凳销如革下：10罐以曲上（态含）8折，20罐以菊上（桑含）7折。鱼请写茧出此同时可电乐的售销售戒量（Q）与愧销售互收入俩（R）之孔间的锐关系盲函数借。6/颠27乘/2孕02桃3四驱反函疫数定义设给骄定y是x的函夺数，另，条如果对其左值域R中的吓任一联值y，都可锄通过巡寿关系者式在其商定义妻域D中确必定唯敲一的而一个x与之步对应倒，则冒得到党一个丽定义捉在R上的进以y为自变斗量，x为因总变量泽的函息数，辞我们博称其拥为的反则函数舌。层记为6/亩27你/2膏02萍36/炸27唤/2雨02洲3Oxyxy=f(x)yOxy-xxy=f(x)y单调元函数彻的反纱函数煤是单弱值函蚂数什么燥样的顷函数讯存在陈单值货的反朋函数秧？6/姿27论/2辆02腾3Oxy-xxy=x2yy=x2的反复函数骗是多睁值函酸数：x=

。把x限制在区间[0,)，则y=x2的反函数是单值的，即x=。它称为函数y=x2的反函数的一个单值分支。反函嘱数的榜单值骆分支眼：另一个单值分支为x=-

。6/紧27淡/2吴02宵3在数嫁学中谊，习陡惯上遵自变程量用x表示规，因凡变量仪用y表示馒。按润此习棕惯，研我们兔把函蔽数y=f(x)的海反函率数x=j(y)改红写成y=j(x)。乎例如y=x2的反赢函数日写为y=姿。反函狮数的败图形伸：反函误数的消图形单与直玻接函途数的累图形竹关于瓦直线y=x对称穴。Oxyy=xy=f(x)y=j(x)P(a,b)Q(b,a)关于摸反函叔数的插变量彻符号恳：6/掠27抱/2托02泳3五凯初键等函刑数1.5.料1基本洪初等四函数劝及其主图形下列链函数郊称为秋基本钳初等仗函数常量苦：y=览c（C为常搁数）(2爪)染幂冻函数饱：(3头)淘指管数函朴数：(4宵)劳对晕数函转数：(5富)盲三浆角函殊数：(6咱)诉反留三角伏函数被：6/甜27午/2郊02构31.5.船2复合慨函数定义，函数稍的成值域纽奉的全嫁部或汇一部浇分包厚含在智函数杰的定刚义域戚内，雅则对及的任定义慎域内椅的某亦些x，有此函未数称坝函数眉与函尽数咐复傍合而扇成的竞复合邮函数察，其亏中u称为户中间着变量资。重点丧掌握俗复合炼函数冈的分腊解6/汪27榴/2废02偷3注意不是遇任何汽两个以函数雕都可池以复绿合成洪一个停复合幻玉函数倚，例寨如，，粉就不表能复挤合成石一个洲复合朱函数吓，因乡丰为的定著义域印中栗的任继何值x所对烧应的u值都破大于死或等形于2应，即屡全部巴落在架的定枣义域锦之外治。6/伪27陶/2颠02甩3例已知叫求娘的表夹达式澡。解：押令拣解出将u换成x，得出例设断，辉求复晶合函秤数的定劣义域颤。解：凭已知社的定拨义域伞为浸，亲即[-聚3，宇3]；的定碧义域轧为榴。由得欣定义且域为[-漂4，茎2]。6/他27怕/2丛02招31.5.奸3初等权函数定义由基本庙初等猜函数梦经过敬有限望次的摆四则贡运算及鸡有限帆次复驱合过渐程所仗构成异的函包数，侧叫作初等垄函数命。例如等等添。6/遍27窃/2甲02供3六灾函数无的几盈种性别质1.6.疲1函数碎的单仿调性定义设函军数岭定义级在D上：6/保27盟/2仁02乐31.6.肝2函数撑的奇食偶性定义绘3设函炸数初在D上有抱定义径，（1）若蒸对于棒任意昆的恒有等则行称f(x)为偶眨函数喊。（2）对仙于任啦意的恒有苹，则慌称f(x)为奇谈函数肺。注意当函妇数具吹有奇筐偶性挺时，翼其定割义域挤必定陶是关鞋于原柴点对替称的果，即旨若万,割则原。偶函灭数的疯图象臣关于y轴对虾称，鬼奇函枝数的驻图象态关于误原点折对称股。6/密27聋/2互02校3Oxy-xxf(-x)=f(x)y=f(x)偶函禽数举视例：y=x2，y=co武sx都是脏偶函可数偶函清数的悼图形鸭关于y轴对鸡称。设函姨数f(x)的耀定义迟域D关于殿原点闭对称增。如抓果对炒于任凳意的xD，有f(-x)=f(x)，尘则称f(x)为蠢偶函苗数。6/吉27灵/2前02路3奇偶葵函数刷举例英：y=x3，y=si丈nx都是埋奇函沫数。101x-22y如果致对于烤任意算的xD，有f(-x)=-f(x)，器则称f(x)为婶奇函阅数。疯奇函笑数的荣图形喜关于职原点猪对称曾。6/盘27烫/2碗02批3例判定凝函数居的奇埋偶性6/艘27瘦/2掀02耽31.6.至3函数爷的周忽期性定义若存拦在常暑数照，栗对任陆意的x，恒有嚷，则蚊称兵为梅周期弟函数员。使得当上述侄等式瘦成立愤的最辰小正单数T，称为驰的最圣小正术周期井，简腰称函楼数脾的两周期龟。例，妹就是帆一个跪周期览函数捏，它仪的周粗期为兆。6/赞27披/2彩02哪31.6.将4函数僚的有扫界性定义设函碌数圆在袋区间斑（a，尘b）内有定数义，商若存茂在正难数去使得浊对于枣任意的初，营恒有勿，则驰称函比数在乡丰（a，魂b）内是医有界内的。懒否则马，称拨函数在（a，掌b）内是设无界驼的。例如函数斑在赢内职是有逢界的撒，因却为对场于任溪意油的恒尺有压。（指微函数侍值有炒界）6/赞27防/2携02眼3值得捷注意造的是盯：同踏一法窗则，旅在不沿同定遥义域疾里，睁或许左会有牛不同愈的性聪质！6/氧