江苏省海安市2022-2023学年高三上学期期末考试、数学、含答案

2022〜2023学年高三年级模拟试卷

数学

(满分：150分考试时间：120分钟)

2023.1

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中只有一

个选项符合要求.

1.己知全集U={x|-2<x<3},集合4={x[-贝"°A=()

A.(-1,1]B.(-2,-1]U(1,3)

C.[-1,1)D.(-2,-1)U[1,3)

2.若复数z在复平面内对应的点在直线y=l上，且2=12,则z=()

A.1—iB.1+iC.-1+iD.—1—i

3.(5一1)6的二项展开式中的常数项是()

A.-20B.-15C.15D.20

4.经验表明，树高y与胸径x具有线性关系，为了解回归方程的拟合效果，利用下列数

据计算残差，用来绘制残差图.

胸径x/cm18.219.122.324.526.2

树高的观测值)，/m18.919.420.822.824.8

树高的预测值jWm18.619.321.523.024.4

则残差的最大值和最小值分别是（）

A.0.4,-1.8B.1.8,-0.4C.0.4,-0.7D.0.7,一0.4

5.为测量河对岸的直塔A8的高度，选取与塔底8在同一水平面内的两个测量基点C,

D,测得/BCQ的大小为60°,点C,。的距离为200m,在点C处测得塔顶A的仰角为45°,

在点。处测得塔顶4的仰角为30。，则直塔AB的高为()

A.100mB.100^3m0.(200^3-200)mD.200m

6.已知圆心均在X轴上的两圆外切，半径分别为八，-2(为〈「2)，若两圆的一条公切线的

方程为丫=乎(x+3),则：=()

45

A.B.2CWD.3

7.设G为△A8C的重心，则&+2GB+3GC=()

A.0B.ACC.BCD.AB

]ii3

8.设〃=而3，b=e,c=2\n5,则()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<a<c

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.在正方体中，AE=,A4”&=§CC\,则()

A.EF1.BD

B.EG〃平面48斤

C.EF_L平面BiCDi

D,直线EF与直线BOi异面

10.已知抛物线C：产=》的焦点为F,点M,N均在C上，若△FMN是以F为直角顶

点的等腰三角形，则MN=()

A.*2]B.^2—1

1

C.D.V2+1

11.已知等差数列｛斯｝中，当且仅当，?=7时，S”取得最大值.记数歹U｛卷｝的前k项和为

Tk,则下列结论正确的是()

A.若&=S8，则当且仅当k=13时，，取得最大值

B.若S6<S8，则当且仅当&=14时，。取得最大值

C.若S6>&，则当且仅当上=15时，/取得最大值

D.若力“6N*,S„,=0,则当％=13或14时，A取得最大值

12.将样本空间。视为一个单位正方形，任一事件均可用其中的区域表示，事件发生的

概率为对应区域的面积.在如图所示的单位正方形中，区域I表示事件A8,区域n表示事件

A~B,区域I和HI表示事件B,则区域IV的面积为()

III

IIIw

A.P(AB)

B.P(A+B)

c.PCAI-B)PCB)

D.PCA)P(~B)

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.己知sin(n—x)=；,xG(0,4),则tanx=.

14.已知椭圆C的左、右焦点分别为尸2,点P在椭圆C上，若△PF/2是以Q为顶

点的等腰三角形，且COSNBPF2=W，则C的离心率6=.

15.设过直线x=2上一点A作曲线y=r—3x的切线有且只有两条，则满足题设的一个

点A的纵坐标为._

16.已知球。的表面积为100兀cn?,p是球。内的定点，OP=y[]0cm,过P的动直

线交球面于A，B两点,AB=4y[5cm,则球心。到AB的距离为cm；若点A,B

的轨迹分别为圆台01。2的上、下底面的圆周，则圆台OQ的体积为cm3.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演

算步骤.

17.(本小题满分10分)

已知数列｛斯｝中，a\,。2，。3，…，。6成等差数列，。5，。6，。7，…成等比数列，02——

10,〃6=2.

(1)求数列｛“"｝的通项公式；

(2)记数列｛斯｝的前〃项和为S”，若a>0，求〃的最小值.

2

18.(本小题满分12分)

己知四边形ABC。内接于圆。，AB=3,AD=5,ZBAD=\20°,AC平分NB4D

(1)求圆O的半径；

(2)求AC的长.

3

19.(本小题满分12分)

如图，已知菱形A8CD的边长为2,N4BC=60。，E为AC的中点，将△AC。沿AC翻

折使点D至点D'.

(1)求证：平面BDE上平面4BC；

(2)若三棱锥。718c的体积为平，求二面角OABC的余弦值.

20.(本小题满分12分)

甲、乙、丙三人进行乒乓球单打比赛，约定：随机选择两人打第一局，获胜者与第三人

进行下一局的比赛，先获胜两局者为优胜者，比赛结束.已知每局比赛均无平局，且甲赢乙

的概率为:，甲赢丙的概率为:，乙赢丙的概率为g.

(1)若甲、乙两人打第一局，求丙成为优胜者的概率；

(2)求恰好打完2局结束比赛的概率.

4

21.（本小题满分12分）

已知双曲线C过点（3,小）,且C的渐近线方程为），=*第

（1）求C的方程；

（2）设A为C的右顶点，过点P（—2小，0）的直线与圆0：/+^=3交于点M，M直

线AM,AN与C的另一交点分别为。，E,求证：直线OE过定点.

5

22.(本小题满分12分)

已知0＜。＜1,函数yU)=x+a[i,g(x)=x+1+\og(lx.

(1)若g(e)=e,求函数/U)的极小值；

(2)若函数y=7(x)—g(x)看在唯一的零点，求〃的取值范围.

6

2022〜2023学年高三年级模拟试卷（海安）

数学参考答案及评分标准

1.B2.D3.C4.C5.A6.B7.B8.D9.AB10.BD11.BD12.BC

13.坐14.115.2(答案不唯一，一6也正确)16.小65^10兀

17.解：（1）设等差数列。2,…，〃6的公差为d.

+d=-10,

因为。2=—10，熊=2,所以J,,一解得

lat+5d=2,

所以a"=-13+5—l)X3=3〃-16(lW〃W5,〃GN*).(3分)

设等比数列。5,恁，s，…的公比为q，则4=案=3=-2,

所以为=一(一2广5(〃26,/GN*).

[3〃-16,

综上，。尸_„-5”GN*.(5分)

⑵由⑴知，当"W5时，斯V0,要使S“>0,则心6,(6分)

5X42[]—(—2)W-51

此时S〃=(ai+a2H----F〃5)+(〃6H----F〃〃)=5X(-13)+--X3+1_(_0>.

乙1\L)

…2|1—(-2)

一35十\.(8分)

由&>0，得（一2）"一5〈一竽，

所以（〃一5）必为奇数，此时2"-5>竽，

所以n-5的最小值为1,所以n的最小值为12.（10分）

18.解：（1）设圆。的半径为R.在△ABD中，由余弦定理8>=AB2+A£）2—2A8AZ>COS

ZBAD,

得502=32+52-2x3x5X（一；）=49,所以8。=7.（3分）

在圆。的内接△ABQ中，由正弦定理，得27?=$山驾/）=目方，

故/?=¥，所以圆0的半径为芈.（6分）

（2）因为四边形ABC。内接于圆。，所以NBAQ+NBCO=180。.

又/54。=120。，故NBC£）=60。.因为AC平分NBA。，所以NBAC=60。.（8分）

（解法1）因为AC平分/BAO,所以及7^~CD,所以8C=CD

又因为NBC£>=60。，所以△BCD为正三角形，所以8c=80=7.（10分）

（解法2）在圆O的内接△ABC中，由正弦定理，得.与“=2R.

sinABAC

所以BC=2Rsin6（T=今后X坐=7.（10分）

在△ABC中，由余弦定理BC2=AB2+AC2-2ABACCOSABAC,

得72=32+AC2-2X3XACXCOS60。，即4c2-34C—40=0,解得4c=8或AC=-5,

因为AC>0,所以AC=8,所以AC的长为8.（12分）

19.（1）证明：由菱形ABCQ知，D'A=D'C,又E为AC的中点，所以。七L4C,

同理，可得8EL4c.（2分）

因为D'E,8Eu平面BD'E,D'EQBE=E,所以AC_L平面BD'E.

因为4Cu平面A8C,所以平面平面4BC.（4分）

（2）解：过点O作。77_LBE交BE于点H,由（1）知，平面平面48c.

7

又平面BDEC平面ABC=BE,OHu平面D'BE,所以Q77_L平面ABC.（6分）

因为三棱锥OABC的体积为平，所以士X坐X22XOH=平，解得。，”=平.（8

在RtaOEH中，D'E=yf3,所以Ef/二坐,于是BH=BE—EH=^.

（解法1）如图，以E为坐标原点，EA,EB分别为x轴、y轴，过点E与平面ABC垂直的

直线为z轴建立空间直角坐标系，则A（l,0,0）,8（0,小,0）,0（0,半，半），所以嬴

=(-1,小，0),BD'=(0.-).

心A

设平面D'AB的法向量”=(x,y,z),则n-AB=0,n-BD'=0,即一x+小y=0,

z=0,令x=#,得、=巾，z=l,

所以”=（观，A/2,l）.（10分）

又平面ABC的一个法向量m=（0,0,1）,

所以cos(n,m}—

也XI3

所以二面角0ABe的余弦值为].（12分）

（解法2）过点H作HFVAB交AB于点F,连接D'F.

因为。77,平面ABC,根据三垂线定理，得凡

所以NDFH是二面角。A8C的平面角.（10分）

在Rt/\BFH中，HF=BHsin30。=与.

在尸中，D'F=yjD'H2+HF2=小，

所以cos/。77/=券=；,所以二面角OA8C的余弦值为:.（12分）

20.解：（1）记“第i局甲胜、乙胜、丙胜”分别为事件A”Bi,Q,i=\,2,3,4,

记“丙成为优胜者”为事件。，则。=4C2c3+BC2C3,（2分）

所以「（£＞）=P（4C2C3+5C2C3）=P（A।C2c3）+P（&C2c3）

=P（Ai）P（C2lAi）P（C3lAlC2）+P（Bl）P（C2IBl）P（C3[BiC2）（4分）

=gX（1-3）x（1-2）+（lT）X（1-2）X（1-3）^9+93，

所以丙成为优胜者的概率是3.（6分）

（2）记“甲、乙打第一局“为事件4,“甲、丙打第一局”为事件B,“乙、丙打第一局”

为事件C,“恰打完2局比赛结束”为事件E,其中A,B,C两两互斥，且和为样本空间,

8

依题意，P(A)=P(B)=P(O=].

所以P(E|A)=P(A1A2+B1B2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2|A|)+P(B1)P(B2|B1)

」1,21=4

-3X3+3X2-9,

1121412122

同理可得，尸(E|B)=gX1+gX]=g,P(£|Q=2X]+5Xg=g.(9分)

根据全概率公式知，P(E)=P(AE)+P(BE)+P(CE)^P(E\A)P(A)+P(E\B)P(B)+P(E\QP(C)

414

-X-+-

=X1+21=£

9393十33-27，

所以恰好打完2局结束比赛的概率为1考4.（12分）

21.（1）解：当x=3时，代入y=*x,得>=小>啦，所以双曲线C的焦点在x轴

上.（2分）

不妨设双曲线C的方程为1-y2=A（2>0）,将点（3,y/2）代入，得4=1,

所以C的方程为与一户1.（4分）

（2）证明：设yi）,MM，及），0a3，"），Eg，y4），由⑴知4（小，0）.（5分）

=

因为P,M,N三点共线，所以入x+2^3（不妨记为吩

则但+25加一3+2小加=0,即加丁2一12），1=2小。1一”）.（6分）

设直线AM的方程为0=尤3）（x-小）.

（工一小）,

由消去y并整理，得（2%彳一小X]—3）f+3小y\x+3（6+

小x\—6)=0.

3(汨-(即+2小)事(xi+2小)

则小X3，故冗3=.(8分)

(xi—小)(2%i+*\/3)2%1+小，”2汨+市

1=1™?1TXH小（及+25）3y2

问理可得，X4-功+小，以=2起+小

~V3yiy[3y2

2x]+y[32及+小

所以直线DE的斜率

小5+2小)小(升+2小)

2xi+小2%2+小

2（%”—也了1）+小（/―11）

3小（X2~X\）

4小（）“一丁2）+小（竺一yi）

自=/0分）

3小(X2~xi)

所以直线OE的方程为y+舟=-g小黑浮],

小k（xi+2小）一Sy

即y=—kxA又因为yi=A（xi+2小）,所以y=-Ax

2x\+y[32xi+^3

所以直线QE过定点（0,0）.（12分）

22.解：⑴由g（e）=e,得e+l+1oga=e,即log«e=-1,所以分）

9

所以内:)=%+/一+则/(X)=l—eF令/(x)=0,得x=L(3分)

当xe(—8,])时，/(%)<(),故兀r)在(一8,1)上单调递减；

当x£(l,+8)时，/(x)>o,故/U)在(1,+8)上单调递增，

所以函数於)的极小值为11)=2.(5分)

(2)记pa)=y(x)—8(功=|一|一log”-1,因为OVaVl,所以InaVO,

e.11xcf।In%—1

则p'(x)=«rIna—~.=;.

八'xlnaxlna

记^(jr)=xaxlln2a—1,则q'(x)=(ax~1+xax~1Ina)ln2a=(l+xIna)avlln2a.

1_i

令/(x)=0,得工=一方^，记其为《>0)，此时a=e~y.

当x£(0,f)时,如)>0,故-x)在(0,。上单调递增;

当+8)时，/(x)V0,故虱0在(3+8)上单调递减，

I111

所以我幻在处取得极大值式/)=*匕一；)门(-7)2—1=7e7-1—1.(7分)

不难发现函数y=1e；「一1在，£(0,+8)上单调递减，且正数零点为1.

当f'l,即:时，有虱f)W0,故“(x)》0,所以p(x)单调递增.

又p(l)=0,所以函数p(x)有唯一的零点，所以/