北师大版高中数学必修一综合测试题(一)

北师大版高中数学必修一综合测试题(一)

答案：第Ⅰ卷1．B2．C3．A4．D5．C6．D7．B8．B9．A10．A第Ⅱ卷一、解答题1．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋27，求f(x)的零点。解：f(x)＝x3－3x2－9x＋27＝(x－3)(x2－6x－9)＝(x－3)[(x－3)2－9]＝(x－3)(x－3－3)(x－3＋3)＝(x－3)(x－6)(x＋0)＝x(x－3)(x－6)所以f(x)的零点为0，3，6。2．已知函数f(x)＝sinx＋cosx，求f(x)的最小正周期和最大值最小正值。解：f(x)的最小正周期为2π。f(x)＝sinx＋cosx＝√2sin(x＋π/4)，所以f(x)的最大值为√2，最小值为－√2。3．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c在区间[0,1]上的最大值为2，在区间[1,2]上的最小值为3，求a，b，c的值。解：由题意得f(0)＝c＝2，f(1)＝a＋b＋c＝2，f(2)＝4a＋2b＋c＝3。解得a＝－1，b＝2，c＝2，所以f(x)＝－x2＋2x＋2。4．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{1，3，5，7，9}，C＝{2，4，6，8}，求(A－B)∩(A－C)。解：A－B＝{2，4}，A－C＝{1，3，5}，所以(A－B)∩(A－C)＝∅。5．已知函数f(x)＝x3－3x2＋mx＋n，若f(1)＝0，f(2)＝1，f(3)＝4，求m，n的值。解：由题意得f(1)＝1－3m＋n＝0，f(2)＝0－6m＋2n＝1，f(3)＝27－27m＋3n＝4。解得m＝1，n＝2，所以f(x)＝x3－3x2＋x＋2。二、应用题1．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋27，求f(x)的单调区间和极值。解：求导得f'(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)。所以f(x)的单调递减区间为(－∞，－1]，单调递增区间为[－1，3]，单调递减区间为[3，＋∞)。当x＝－1时，f(x)取得极小值－28；当x＝3时，f(x)取得极大值0。2．已知函数f(x)＝sinx＋cosx，求f(x)在区间[0,2π]上的平均值。解：由周期性可知f(x)在[0,2π]上的平均值等于在一个周期内的平均值。f(x)＝√2sin(x＋π/4)，所以f(x)在一个周期[0,2π]上的平均值为0。3．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0，求a，b，c的值。解：由题意得f(1)＝a＋b＋c＝0，f(3)＝9a＋3b＋c＝0。解得a＝－1，b＝2，c＝－1，所以f(x)＝－x2＋2x－1。4．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{1，3，5，7，9}，C＝{2，4，6，8}，求A∪B∪C的补集。解：A∪B∪C＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，所以A∪B∪C的补集为∅。5．已知函数f(x)＝x3－3x2＋mx＋n，且f(1)＝0，f(2)＝1，f(3)＝4，求m，n的值。解：由题意得f(1)＝1－3m＋n＝0，f(2)＝0－6m＋2n＝1，f(3)＝27－27m＋3n＝4。解得m＝1，n＝2，所以f(x)＝x3－3x2＋x＋2。二、填空题11.f(x)=3^212.x≠2,x≠413.a=114.f(8)=315.a>0三、解答题16.由已知可得：A：x1+x2=-p,x1*x2=12B：x1+x2=5,x1*x2=q则：(∁UA)∩B={2}，即x1*x2≠12且x1*x2≠2A∩(∁UB)={4}，即x1*x2≠q且x1*x2≠4因此，x1*x2=3，x1+x2=4则A∪B={-3,-1,3,4}17.(1)log327+lg25+lg4+7log7/2-9.8/11=3+2+0.602+1.5-0.891=6.211(2)f(x-x)=(x+x)²=4x²f(x+1)=f((x+1)-(x+1))=f(0)=018.(1)f(x)的定义域为x≠0和2(2)f(-x)=-x/(2-1)=-x，f(x)不是奇函数(3)当x>2时，f(x)>0；当0<x<2时，f(x)<0；当x<0时，f(x)>0。因此，f(x)>0.19.(1)f(log23)=2^(log23)=3(2)因为f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=2x，因此f(x)=|x|/2.20.(1)设f(x)=g(x)，则ax²+bx+c=-bx，即ax²+2bx+c=0，又因为a>b>c，所以判别式Δ=4b²-4ac<0，即两函数的图像交于不同的两点。(2)设f(x)-g(x)=0，则ax²+2bx+c=bx，即ax²+bx+c=0，又因为a>b>c，所以判别式Δ=b²-4ac<0，即方程的两个实数根都小于2。21.设每年砍伐的面积为x，则有：a=2a-xb=2b-xc=2c-x且有x/2+x/2*(1-x/a)+x/2*(1-x/a)²+...=a/2解得x=a-√(a^2-4ac)/2由题意可得：x/2+x/2*(1-x/a)+x/2*(1-x/a)²+...=a/2*3/4解得a=4c，且x=a/4因此，森林面积至少要保留原面积的3/4，所用时间为10年。知道今年为止，该森林剩余面积只有原来的一半。现在需要回答以下三个问题：(1)每年砍伐面积的百分比是多少？(2)到今年为止，该森林已经被砍伐了多少年？(3)未来最多还能砍伐多少年？1.本题考查了集合运算和子集数量，对于集合M={0,1,2,3,4}和集合N={1,3,5}，它们的交集为{1,3}，因此集合P的子集数量为2的2次方，即4个。2.因为函数f(x)=loga(x)在区间(0,∞)上单调递增，所以当a>1时，有a+1>2，因此f(a+1)>f(2)。因此答案为B。3.函数y=4x-3的定义域为(-∞,∞)，因此答案为A。4.本题考查了集合的运算和解不等式问题。集合P={x|x^2≤1}，因此P的补集为(-∞,-1)∪(1,∞)。5.令f(x)=ln(x)+2x-6，设f(x)=0。因为f(1)=-4<0，f(3)=ln(3)>0，且f(2)=ln(2)-2<0，因此f(2)×f(3)<0，解得x∈(2,3)。6.当x>0时，有2-x>0，因此x<2；当x>1时，有x>2-x，因此x<2。因此x∈(1,2)，答案为D。7.已知y1=40.9=21.8，y2=80.48=(23)^0.48=21.44，y3=21.5。因为函数y=2x是增函数，且1.8>1.5>1.44，所以y1>y3>y2。8.3b=5，因此b=log3(5)。log3(11×30)=2log3(3×10)1=2(1+log3(10))=2(a+b+1)。因此答案为A。9.因为g(-x)=f(-x)loga(-x+x+1)=f(x)loga(-x^2+x+1)=-f(x)loga(x^2+x+1)，所以g(x)是奇函数。10.将表达式f(x)化简，得到f(x)=(2⊕x^2-x^4-x^2)/(x⊗2-2(x-2)^2-2|x-2|-2)。因为-2≤x≤2且|x-2|-2≠0，即x≠2，因此f(x)=-(4-x^2)/(x)，x∈[-2,0)∪(0,2]，答案为D。根据题意，已知原始森林面积为212平方公里，每年砍伐后面积减少50%，问到今年为止已砍伐了多少年，以及今后最多还能砍伐多少年。首先，设砍伐了m年，则现在的面积为212*(1-0.5)^m平方公里。因为到今年为止已经砍伐了一定的年数，所以这个式子中的m是已知的。将面积代入式子中，得到212*(1-0.5)^m=2，化简可得(1-0.5)^m=1/106，两边取对数，得到m=log(1/106)/log(1-0.5)，计算可得m=5。因此，到今年为止已砍伐了5年。接下来，