矩阵对策的基本原理

关于矩阵对策的基本原理1第1页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三2

当局中人I选定纯策略

和局中人II选定纯策略

后

，就形成了一个纯局势。对任一纯局势，记局中人I的赢得值为aij，并称

第2页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三3为局中人I的赢得矩阵(或局中人II的支付矩阵)。由于假定对策为零和的，故局中人II的赢得矩阵就是-A。通常，将一个矩阵对策记成

G={I，II；S1，S2；A}或G={S1，S2；A}

例：齐王赛马

第3页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三4

田忌齐王

上中下

上下中

中上下

中下上

下中上

下上中

(上中下)31111-1(上下中)1311-11

(中上下)1-13111

(中下上)-111311

(下中上)11-1131

(下上中)111-113表

10-2第4页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三5赢得矩阵为：第5页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三6

当矩阵对策模型给定后，各局中人面临的问题便是如何选取对自己最有利的纯策略，以谋取最大的赢得(或最少损失)。

例6

设有一矩阵对策

G={S1，S2；A}，其中

，第6页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三7“理智行为”：双方都不想冒险，都不存在侥幸心理，而是考虑到对方必然会设法使自己的所得最少这一点，就应该从各自可能出现的最不利的情形中选择最有利的情形作为决策的依据。

第7页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三8

定义1

设

G={S1，S2；A}为矩阵对策，其中

，

，

，

若等式

成立，记VG=ai*j*。则称VG为对策G的值，称使

(10-1)式成立的纯局势为G在纯策略的解(或平衡局势)，

与分别称为局中人I、II的最优纯策略。第8页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三9例7

求解矩阵对策

G={S1，S2；A}，其中第9页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三10定理

1矩阵对策G={S1，S2；A}

在纯策略意义下有解的充分必要条件是：存在纯局势使得对一切i=1，…，m，j=1，…，n，均有第10页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三11定义

2设f(x,y)为一个定义在及上的实值函数，如果存在及

，使得对一切

和

，有

则称(x*,y*)为函数f的一个鞍点。

第11页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三12

例8

求对策的解。设矩阵对策

G={S1，S2；A}为矩阵对策，其中

，，赢得矩阵为

第12页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三13性质

1无差别性。即若和是对策G的两个解，则。

性质

2

可交换性。即若和是对策G的两个解，则和

也是解。

第13页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三14例9某单位采购员在秋天要决定冬季取暖用煤的储量问题。已知在正常的冬季气温条件下要消耗15吨煤，在较暖与较冷的气温条件下要消耗10吨和20吨。假定冬季时的煤价随天气寒冷程度而有所变化，在较暖、正常、较冷的气候条件下每吨煤价分别为100元，150元和200元，又设秋季时煤价为每吨100元。在没有关于当年秋季准确的气象预报的条件下，秋季储煤多少吨能使单位的支出最少？第14页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三15

对矩阵对策G={S1，S2；A}来说，局中人I有把握的至少赢得是

局中人II有把握的至多损失是

2.2矩阵对策的混合策略第15页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三16

一般，局中人I的赢得值不会多于局中人II的所失值，即总有。当v1=v2时，矩阵对策G存在纯策略意义下的解且VG

=v1=v2。实际中出现的更多情形是v1<

v2,根据定义1，对策不存在纯策略意义下的解。例如：赢得矩阵为

第16页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三17

想法：是否可以给出一个选取不同策略的概率分布？第17页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三18

定义3

设有矩阵对策G={S1，S2；A}，其中

，，记

第18页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三19则S1*，S2*分别称为局中人I和II的混合策略集(或策略集)；和分别称为局中人I和II的混合策略(或策略)；对，，称(x,y)为一个混合局势(或局势)，局中人I的赢得函数记成

这样得到的一个新的对策记成G*={S1*，S2*;E}，称G*为对策G的混合扩充。

第19页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三20局中人I可保证自己的赢得期望值不少于

局中人II可保证自己的所失期望值至多是

第20页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三21设

因此

第21页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三22定义

4设G*={S1*，S2*

；A}是矩阵对策G={S1，S2；A}

的混合扩充，如果

记其值为VG。则称VG

为对策G*的值，称使(10-9)式成立的混合局势(x*，y*)为G在混合策略意义下的解(或简称解)，x*和y*分别称为局中人I和II的最优混合策略(或简称最优策略)。

第22页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三23定理

2矩阵对策G={S1，S2；A}

在混合策略意义下有解的充要条件是：存在，

，使(x*，y*)为函数E(x,y)的一个鞍点，即对，，有

第23页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三24例10考虑矩阵对策G={S1，S2；A}，其中

第24页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三25

两个记号：

当局中人I取纯策略时，记其相应的赢得函数为E(i,y)，于是

当局中人II取纯策略时，记其相应的赢得函数为E(x,j)，于是

2.3矩阵对策的基本定理第25页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三26定理

3设，

，则(x*，y*)是G的解的充要条件是：对任意i=1，…，m和j=1，…，n，有

第26页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三27定理

4设，

，则(x*，y*)是G的解的充要条件是：存在数v，使得x*和y*分别是不等式组(I)和(II)的解，且v=VG

。

第27页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三28定理5

对任一矩阵对策G={S1，S2；A}，一定存在混合策略意义下的解。

定理6

设(x*,y*)是矩阵对策G的解，v=VG

则

(1)若，则

(2)若，则

(3)若，则

(4)若，则

第28页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三29定理7

设有两个矩阵对策

G1={S1，S2；A1}

G2={S1，S2；A2}

其中

L为任一常数,则有

(1)

(2)

第29页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三30定理8

设有两个矩阵对策

G1={S1，S2；A}

G2={S1，S2；A}

其中

为任一常数,则有

(1)

(2)

第30页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三31定理9

设G={S1，S2；A}为矩阵对策，

且

为斜对称矩阵(亦称这种对策为对称对策)。则有

(1)

(2)，其中和

分别为局中人I和II的最优策略集。

第31页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三32

定义5

设有矩阵对策G={S1，S2；A}，其中,，

，如果对一切j=1，…，n都有

，即矩阵A的第行元素均不小于第行的对应元素，则称局中人I的纯策略优超于；同样，若对一切i=1，…，m，都有即矩阵A的第列元素均不小于第

列的对应元素，则称局中人II的纯策略优超于第32页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三33

定理10

设G={S1，S2；A}为矩阵对策，其中，，如果纯策略被其余纯策略中之一所优超，由G可得到一个新的矩阵对策