两条直线的位置关系知识点及题型归纳

两条直线的位置关系知识点及题型归纳知识点精讲一.两直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表9」所示.两直线方程平行垂直:=0/2:A2x+B2y+C2=0A毘一A*=o且B£l丰0A^A2+色艮=0「i："b（斜率存在）12:y=k2x+b2k、=k2.bib2或k^k2=一1或❻与&中有一L:x=x.1 h（斜率不存在）I2:x=x2x=x^x=x2,x｛工x2个为0,另一个不存在.二.三种距离1.两点间的距离平面上两点人（兀,儿）,£也,儿）的距离公式为出£I=j3—xj+（x—儿）'.特别地，原点。（0,.0）与任一点P（®）的距离IOP|=yjx2+y2.点到直线的距离点坨（兀,儿）到直线/:Ax+By+C=0的距离d=IA.+6。+CI特别地，若直线为l:x=m,则点4（兀,儿）到/的距离d=|m-x0|;若直线为l-.y=n,则点恥”儿）到/的距离d=|n-y0\两条平行线间的距离已知人,人是两条平行线，求A，人间距离的方法：（1） 转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离.（2） 设厶:Av+By+G=0J,:Av+By+C,=0,则人与/,之间的距离d=j■ ■ ■ yjA2+B2注:两平行直线方程中,yy前面对应系数要相等.题型归纳及思路提示题型1两直线位置关系的判定思路提示判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设/］：Ax+B』+q=O（&,坊不全为0）,l2:A2x+B2y+C2=0（人，企不全为0）,则：当A厶一Ad工0时,直线厶丿2相交;当人伙=儿$时，厶仏直线平行或重合，代回检验;当-BtB2=0时，/J?直线垂直，与向量的平行与垂直类比记忆.例9.10“°二2”是“直线a^2y=0平行于直线xt尸1”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析 由a=2得直线方程2对2尸0,即直线小=0与护尸1平行，反之，由直线ax+2）u予行于直线x+y=l,得-2.故“°二2”是“直线2対2严0平行于直线护尸1”的充分必要条件，故选C.变式1 （2012浙江理3）设awR,贝,iJ“E”是“直线厶:ax+2y-l=0与直线仁：x+（d+l）y+4=0平行”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件变式2 '‘〃?=丄”是“直线（加+2）x+3my+1=0与直线（加一2）x+（加+2）y—3=0相互垂直”的（）2A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件例9.11已知直线厶：Q+2y+6=0和直线厶:x+（a-l）y+a2-1=0（1） 当IJH2时，求a的值；（2） 当人丄厶时，求°的值.解析（1） =°»。（。一1）一1x2=0得，解得1或2.当a二一1时，厶:x-2y-6=0j2:x-2y=0jJ/l2当a二2时，:x+y+3=0j2:x+y+3=0jl与人重合，故舍去.故当IJH.时，°的值为T.2（2）由厶丄人，得A4+d伙=0,即°+2@—1）=0,得a=-变式1若直线x~2y+5二0与直线2x+niy~6=Q互相垂直，则实数m- .变式2已知直线1{:（in+3）x+4y=5—3mJ2:2x+（in+5）y=8,问m为何值时：（1） lj/l“（2）A与厶重合;（3）A与厶相交;（4）人与人垂直.题型2有关距离的计算思路提示两点间的距离，点到直线的距离以及两平行直线间的距离的计算，特别注意点到直线距离公式的结构.例9.12（1）已知点P（4,l）,则点P到直线i:x-2y+3=0的距离为 ;（2） 已知点5,2）到直线l:x-y+3=0的距离为，贝山二 ；过点A(4,«)和3(5")的直线与直线严对加平行，则两点间的距离|AB|为 ⑵由题意得孑=廿⑵由题意得孑=廿解法一:由题意可知UkAB= =b—a=1故|4B|=J(5-4)，—(b—a)~=V25—4解法二：如图9-4所示，过点3作x轴的垂线与过点A作)，轴垂线的反向延长线相交于点C,则由题意知ZBAC=45°,且AC=1,则AB=^2图9J变式1点P在直线3x+y-5二0上，且点P到直线A-ri=O的距离为，则点P的坐标为()A.(1,2)B.(2,1)C.(1,2)或(2,-1)D.(2,1)或(T,2)变式2若直线/过点P(l,2)且与点人(-1,2),3(3,0)两点距离相等，则直线/的方程为 变式3若点P(x,y)在直线/:x+2y-3=0上运动，则%2+y2的最小值为 例9.13已知直线4:x+y+l=0j2:x+y-l=0,则厶与人之间的距离为()A.1B.V2C.y/3D.2故选B.变式1直线l.'.x+y-l=0与直线/2:2x+2y-3=0的距离是().A.2^2B.V2 C.—D.—2 4变式2到直线/:2x+y+l=0的距离为f的点的轨迹方程是()A.直线2人+厂2二0B.直线2a+v=0C.直线2x^y=Q或直线2人+厂2二0 D.直线2x+)=0或直线2%+)计2二0变式3己知三直线ll:2x-y+a=0(a>0)J2:-4x+2y+l=0和/「x+y—1=0,且与人的距离是7V510

求d的值：能否找到一点P,使P同时满足卞列三个条件：①P是第一彖限的点；②点P到厶的距离是点P到厶的距离的扌；③点P到A的距离与点P到人的距离之比是V2：V5.若能，求点P坐标；若不能，请说明理由.例9.14过点P(1,2)且与原点0距离最人的直线方程是()A.x+2y-5=0 B.厂2尸2二0C.只+3厂7二0 D.3x+y-5=0解析解法一：如图9-5所示，设点Pel,且线段OP与直线/的夹角为彳1则距离d=|OPIsine<|OP卜的，当且仅当6=g时取等号.此时/丄OP,所以直线/:y-2=--(x-l),即/:x+2)'-5=0故选A.解法二：设所求直线方程l:A(x-l)+ -2)=0,屮+矿工o,即/:A.v+By-A-2B=0.则原点到直线/的距离d=|4+23|=|(1,2)•(4,B)|<Jl，+2,xjAhB2=荷\Ia2+b~-Ja2+b2JA'+B‘当且仅当向量(1,2)//(A,B),即3=2力(AhO)时取等号.此时r.Ax+2Ay-5A=0,即/:x+2y-5=0评注：本题解法一充分运用了数形结合的数学思想.解法二中运用了柯西(Cauchy)不等式：\ci-b\<\a\\b\,其坐标形式为:(xLx2+yLy2)2<(x;4- +yj),当且仅当a//b,即xYy2=x2yt时取等号.变式1已知两条互相平行的动直线厶仏分别过4(-1-2)”(2,2),则人仏之间的距离最人值为 当lj2之间的距离最大时，直线A仏的方程分别为 题型3对称问题思路提示（1） 中心对称问题转化为中点问题.求点P（兀，yJ关于点M（兀,儿）中心对称的点F（心，儿）•不=2xft-%.由中点坐标公式得彳- ° 1卜2=2儿一儿求直线I关于点Muo,yo）中心对称的直线/'求解方法是:在已知直线/上取一点P（兀』J关于点中心对称得7（心，儿），再利用///『，由点斜式方程求得直线r的方程（或者由////‘，且点”（兀，儿）到直线/及r的距离相等来求解）.（2） 轴对称问题转化为对称点连线被对称轴垂直平分.①求点Pg,y\）关于直线/。对称的点P\X2，儿）方法一：（一中一垂），即线段PP的中点M在对称轴/。上，若直线PP的斜率存在，则直线PP的斜率与对称轴/。的斜率之积为一1,两个条件建立方程组解得点p\x2,y2）方法二：先求经过点Pg,儿）且垂直于对称轴/0的直线（法线）I。,然后由/0A/0=M得线段PF的中点M（x°,y。）,从而得［X2=Xq~XiI儿=2儿-儿②求直线I关于直线/。对称的直线r若直线////。，贝ij////*,且对称轴/。与直线/及r之间的距离相等.此时lJQ.r分别为Ax+By+C=O,Ax+By+CQ=0,Av+By+C=0(A2+B2^0),由K-c0|Jf+B'IC-CI- ,求得c,从而得ry/A2+B2若直线/与/。不平行，则/n/0=2-在直线/上取异于0的一点p（“,）\）,先由（2）①中的方法求得pgj）关于直线对称的点7（忑，为），再由两点确定直线r（其中/n/°n/'=Q）•例9.15（1）点A（1,2）关于点M⑶4）对称的点的坐标为 （2） 直线/:2x+y-3=0关于点M（l,2）对称的直线方程为 （3） 点A（1,2）关于直线/O:2x+y-3=0对称的点的坐标为 （4） 直线/:2x+y-3=0关于直线/o:x-y+l=0对称的直线方程为

解析(1)设对称点的坐标为A(a解析(1)设对称点的坐标为A(a上)，则＜凹=3/ ，得也=42(2)设直线/关于点M(l,2)对称的直线为儿贝ij///r,故设ll:2x+y+C=0则|2xl+2・3|_|2xl+2+C|解得C=-5或-3(此时"与/重合，舍去).故几2x+y-5=0设对称点的坐标为A\a.b),先求经过点A(1,2)且垂直于/。的直线/。・即C：x-2y+3=02x+y-3=09}?=5,即线段4A的中点为~2~~52+b9解得1ci=9}?=5,即线段4A的中点为~2~~52+b9解得1ci=—5,故所求对称点的坐标为(4)由22x+y-3=0x-y+l=O解得彳—Xl=-1a-00+6/ 3+b取直线/上一点P、(0,3),下面求片(0,3)关于直线/0对称的点P—Xl=-1a-00+6/ 3+ba=2--1；]],即巴(2,1),所以=--——23故得所求对称直线儿y-1=一*(x-2),即『:x+2y-4=0.评注特殊结论：已知直线/关于直线/。对称的直线是儿若直线/。的斜率&=±1，则乩0=1(其中人Q分别是直线^的斜率)，如本例⑷中所求对称直线的斜率为冷.

简证：首先易知：若直线/关于直线。对称的直线是轼，则经过它们的交点(假定相交)且垂直于/。的直线/。也是/与『的同，故只证心=1的情形.然后把每条直线都平移至过原点0,所得直线分别为人:y=k^y=xj[:y=k；x,且鸟=k^k'=k[不妨在直线人上取异于0的点P(x0,y0),则关于y=x对称的点为P*()'0,x0)故=—,k[=—,所以k・0=k]・k；=\,得证.兀儿变式1(1)求点P(4,5)关于点M(3,-2)对称的点0的坐标；求点P(4,5)关于直线l.3x-y+3=0对称的点Q的坐标；直线l^.y^-x+b与人：)‘，=丄x+b+8关于点A(4,6)对称，求b的值：」22求直线人：3x-y+3=0关于直线l.x-y+2=0对称的直线厶方程.例9.16在中，已知顶点4(2,2),ZB的平分线所在直线人的方程为尸0,ZC的平分所在直线厶的方程为x+y-1二°,求边BC所在直线的方程.分析用待定系数法直接求解边BC所在直线的议程难度较人，故考虑角平分线的性质，如图9-6所示，利用角平分线的性质(对称性)可知，点A关于ZB,ZC的平分线的对称点均在直线BC上，故可以求两对称点所在直线的方程.囹9・6囹9・6解析如图9-7所示，设点A关于直线厶的对称点为D,则D(2,-2)设点A关于直线匚的对称点为Eg』。)，贝inEg』。)，贝in心=1xo-2兀+2|儿+22*2-1=0=—]解得彳0 ,即£(-1,-1)bo=-1所以直线DE的斜率为"1=丐，则直线皿的方程为y+一尹+】)’即小y+4“故边BC所在直线方程为x+3y+4=0变式1如图9-8所示，己知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经过直线AB反射后再射到OB上,最后经直线03反射后又回到点P,则光线所经过的路程是()A.2V10B.6C.3 D.2^5u图9・8变式2在等腰三角形ABC中，AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点，光线从点P出发，经BC,CA反射后又回到点P(如图9-9所示).若光线0R经过AABC的重心，则AP等于()8 4A.2B.1C.— D.—图9・9有效训练题若直线ov+2)+6二0和直线x+a(a+\)y+(cr-1)=0垂直，则a的值为()A. B.0C. 或0D-32已知两条直线y^ax-2和3厂(°+2)严1二0互相平行，则炉()A.1或-3 B・T或3 C・1或3D.-1或-33•直线尸3x绕原点逆时针旋转90。，再向右平移1个单位，所得直线()A.y=——x+-B.y=——x+lC.y=3x-3 D.y=-x+13 3 ’ 3设a,b,c分别是MBC中角A,B,C所对边的边长，则直线xsinA+ay+c=0与的加一ysin3+sinC=0位置关系是（）A.平行B.重合C.垂直 D.相交但不