2014中考27题二次函数专项：直角、相似、等腰问题及答案

2014中考27题二次函数专项：直角、相似、等腰问题及答案

直角三角形问题已知：一次函数$y=11x+1$的图像与$x$轴交于点$A$，与$y$轴交于点$B$；二次函数$y=x^2+bx+c/2$的图像与一次函数$y=1/x+1$的图像交于点$B$和$C$，与$x$轴交于点$D$和$E$，其中$D$点坐标为$(1,0)$。(1)求二次函数的解析式；(2)求四边形$BDEC$的面积$S$；(3)在$x$轴上是否存在点$P$，使得$\trianglePBC$是以$P$为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点$P$，若不存在，请说明理由。(4)在抛物线$y=x^2+bx+c/2$上是否存在点$P$，使得$\trianglePBC$是以$\angleB$或$\angleC$为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点$P$，若不存在，请说明理由。解：(1)由已知可得：$$\begin{cases}11a+1=0\\b=-11a\\a+11b+c/2=0\end{cases}$$解得$a=-1/121$，$b=11/121$，$c=-12/121$，因此二次函数的解析式为$y=x^2+11x/121-12/242$。(2)四边形$BDEC$是由一次函数$y=1/x+1$和二次函数$y=x^2+11x/121-12/242$的图像所围成，$B$点坐标为$(0,1)$，$D$点坐标为$(1,0)$，$E$点坐标为$(-1,0)$，$C$点坐标为$(1,-1)$。连接$BC$，$CD$，$DE$，$EB$，则$S=\triangleBCD+\triangleCDE+\triangleEBC=\frac{1}{2}+\frac{1}{242}+\frac{1}{242}=\frac{121}{242}$。(3)设点$P$的坐标为$(t,0)$，则$\trianglePBC$是以$P$为直角顶点的直角三角形，当且仅当$\anglePBC$或$\anglePCB$为直角，即$\frac{1}{t+1}=11t+1$或$t^2+11t+1=\frac{1}{t+1}$。解得$t=-\frac{1}{11}$或$t=-\frac{12}{11}$，因此存在点$P(-\frac{1}{11},0)$和$P(-\frac{12}{11},0)$，使得$\trianglePBC$是以$P$为直角顶点的直角三角形。(4)设点$P$的坐标为$(p,p^2+bp+c/2)$，则$\trianglePBC$是以$\angleB$或$\angleC$为直角顶点的直角三角形，当且仅当$\frac{p^2+bp+c/2-1}{p}=-11$或$\frac{p^2+bp+c/2}{p-1}=-11$。解得$p=-\frac{1}{11}$或$p=-\frac{12}{11}$，但$p=-\frac{1}{11}$时$\trianglePBC$不是以$\angleB$或$\angleC$为直角顶点的直角三角形，因此不存在点$P$，使得$\trianglePBC$是以$\angleB$或$\angleC$为直角顶点的直角三角形。在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板$ABC$放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点$A(2,2)$，如图所示；抛物线$y=ax^2-ax-2$经过点$B$。点$C(1,0)$。(1)求点$B$的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否还存在点$P$（点$B$除外），使$\triangleACP$仍然是以$AC$为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点$P$的坐标；若不存在，请说明理由。解：(1)因为$ABC$是等腰直角三角形，所以$AB=AC=\sqrt{8}$，$B$点坐标为$(2,\sqrt{8})$。(2)抛物线经过点$B(2,\sqrt{8})$，代入可得$a=1/4$，因此抛物线的解析式为$y=\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{4}x-2$。(3)设点$P$的坐标为$(t,at^2-at-2)$，则$\triangleACP$是以$AC$为直角边的等腰直角三角形，当且仅当$\frac{at^2-at-2-2}{t-2}=2-t$。解得$t=1$或$t=4$，因此存在点$P(1,-3/4)$和$P(4,-14)$，使得$\triangleACP$是以$AC$为直角边的等腰直角三角形。如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板$ABC$斜靠在两坐标轴上放在第二象限，点$C$的坐标为$(1,2)$，$B$点在抛物线$y=-x^2+x+2$的图像上，过点$B$作$BD\perpx$轴，垂足为$D$，且$B$点横坐标为$-3$。(1)证明$\triangleBDC\cong\triangleCOA$；(2)求$BC$所在直线的函数关系式；(3)抛物线的对称轴上是否存在点$P$，使$\triangleACP$是以$AC$为直角边的直角三角形？若存在，求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由。解：(1)因为$ABC$是等腰直角三角形，所以$AC=BC=\sqrt{5}$，$O$点坐标为$(0,2)$，$D$点坐标为$(-3,0)$。又因为$B$点在抛物线$y=-x^2+x+2$的图像上，所以$-x^2+x+2=y$，解得$x=1$或$x=-2$，因此$B$点坐标为$(1,2)$或$(-2,4)$。当$B$点坐标为$(1,2)$时，$BD$的斜率为$-1/2$，$BD$的解析式为$y=-\frac{1}{2}(x+3)$，交$x$轴于点$D(-3,0)$；当$B$点坐标为$(-2,4)$时，$BD$的斜率为$-2/3$，$BD$的解析式为$y=-\frac{2}{3}(x+3)$，交$x$轴于点$D(-9/2,0)$。因此$\triangleBDC\cong\triangleCOA$。(2)设$BC$所在直线的解析式为$y=kx+b$，则$B$点坐标为$(-3,-3k+b)$，代入抛物线方程可得$k=-1$，$b=2$，因此$BC$所在直线的函数关系式为$y=-x+2$。(3)设点$P$的坐标为$(t,2-t)$，则$\triangleACP$是以$AC$为直角边的直角三角形，当且仅当$\frac{2-t-2}{t-1}=t^2-t+2$。解得$t=0$或$t=2$，因此存在点$P(0,2)$和$P(2,0)$，使得$\triangleACP$是以$AC$为直角边的直角三角形。因为抛物线的对称轴为$x=1/2$，所以不存在点$P$，使得$\triangleACP$是以$AC$为直角边的直角三角形。9.在平面直角坐标系中，抛物线$y=ax^2+bx+3$与$x$轴的两个交点分别为$A(-3,0)$、$B(1,0)$，过顶点$C$作$CH\perpx$轴于点$H$。（1）直接填写：$a=$，$b=$，顶点$C$的坐标为；（2）在$y$轴上是否存在点$D$，使得$\triangleACD$是以$AC$为斜边的直角三角形？若存在，求出点$D$的坐标；若不存在，说明理由；（3）若点$P$为$x$轴上方的抛物线上一动点（点$P$与顶点$C$不重合），$PQ\perpAC$于点$Q$，当$\trianglePCQ$与$\triangleACH$相似时，求点$P$的坐标。解答：（1）由已知可列方程组：$$\begin{cases}a(-3)^2+b(-3)+3=0\\a+b+3=0\\a+b+3=0\\a(1)^2+b(1)+3=0\end{cases}$$解得$a=-\dfrac{1}{2}$，$b=\dfrac{5}{2}$，$C$的坐标为$(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})=(\dfrac{5}{4},\dfrac{29}{8})$。（2）设$D$在$y$轴上的坐标为$(0,d)$，则$\triangleACD$为直角三角形，且$AC$为斜边，即$AD^2+DC^2=AC^2$。代入$A(-3,0)$，$C(\dfrac{5}{4},\dfrac{29}{8})$，得$9+d^2+(\dfrac{29}{8}-d)^2=(\dfrac{41}{8})^2$，解得$d=\dfrac{3}{4}$，因此点$D$的坐标为$(0,\dfrac{3}{4})$。（3）设点$P$的坐标为$(t,at^2+bt+3)$，则直线$PQ$的斜率为$\dfrac{at^2+bt+3-\frac{29}{8}}{t-\frac{5}{4}}=a(t-\frac{3}{2})+b$，而直线$AC$的斜率为$-\dfrac{1}{a}$，由$\trianglePCQ\sim\triangleACH$得$$\dfrac{a(t-\frac{3}{2})+b}{-\frac{1}{a}}=\dfrac{\frac{29}{8}-3}{\frac{5}{4}+\frac{3}{2}}=-\dfrac{1}{2}$$解得$t=-\dfrac{1}{2}$或$t=2$，但$t=\dfrac{5}{4}$时$\triangleACH$不存在，故点$P$的坐标为$(-\dfrac{1}{2},\dfrac{19}{8})$或$(2,11)$。5（备用图）$y$$C$$y$$AHO$$B$$x$$AHOBx$等腰三角形$C(-1,3)$，$A(-2,0)$，$D(3,0)$是抛物线$y=-x^2+bx+c$经过的三点，直线$l$是抛物线的对称轴。（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点$P$是直线$l$上的一个动点，当$\trianglePAC$的周长最小时，求点$P$的坐标；（3）在直线$l$上是否存在点$M$，使$\triangleMAC$为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点$M$的坐标；若不存在，请说明理由。解答：（1）由对称性可知抛物线的对称轴为$x=-\dfrac{b}{2}$，且抛物线经过点$A(-2,0)$，故可列方程组：$$\begin{cases}4-b+c=0\\1+b+c=0\end{cases}$$解得$b=3$，$c=-7$，因此抛物线的函数关系式为$y=-x^2+3x-7$。（2）设点$P$在直线$l$上的坐标为$(t,2t+4)$，则$\trianglePAC$的周长为$PA+AC+CP=\sqrt{(t+2)^2+4t^2}+3+\sqrt{(t-1)^2+(2t+1)^2}$。为方便计算，令$f(t)=(t+2)^2+4t^2$，$g(t)=(t-1)^2+(2t+1)^2$，则$f'(t)=10t+4$，$g'(t)=10t+4$，由于$f''(t)>0$，$g''(t)>0$，故$f(t)$和$g(t)$在定义域内单调递增，因此当$f'(t)=g'(t)$时，$PA+AC+CP$最小，解得$t=-\dfrac{3}{5}$，因此点$P$的坐标为$(-\dfrac{3}{5},\dfrac{2}{5})$。（3）设点$M$在直线$l$上的坐标为$(s,-s^2+3s+c)$，则$\triangleMAC$为等腰三角形，即$AM=MC$。由$A(-2,0)$，$C(-1,3)$，$M(s,-s^2+3s+c)$可列方程组：$$\begin{cases}(s+2)^2+(s^2-3s+c)^2=(s+1)^2+(s^2-3s+c-3)^2\\s=-\dfrac{b}{2}=-\dfrac{3}{2}\end{cases}$$解得$c=\dfrac{5}{2}$，故点$M$的坐标为$(-\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{2})$。11.已知直线$y=2x+4$与$x$轴、$y$轴分别交于$A$、$D$两点，抛物线$y=-x^2+bx+c$经过$A(-1,3)$、$D(0,4)$，点$B$是抛物线与$x$轴的另一个交点。（1）求这条抛物线的解析式及点$B$的坐标；（2）设点$M$是直线$AD$上一点，且$\dfrac{S_{\triangleAOM}}{S_{\triangleOMD}}=1:3$，求点$M$的坐标；（3）如果点$C(2,y)$在这条抛物线上，在$y$轴的正半轴上是否存在点$P$，使$\triangleBCP$为等腰三角形，若存在，请求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由。解答：（1）由已知可列方程组：$$\begin{cases}-b+c=3\\c=4\\-b+c=0\end{cases}$$解得$b=-1$，$c=4$，因此抛物线的解析式为$y=-x^2-x+4$，点$B$的坐标为$(1,0)$。（2）设点$M$在直线$AD$上的坐标为$(t,2t+4)$，则$S_{\triangleAOM}=\dfrac{1}{2}\begin{vmatrix}-1&3\\t&2t+4\\0&4\end{vmatrix}=-2t-2$，$S_{\triangleOMD}=\dfrac{1}{2}\begin{vmatrix}t&2t+4\\0&4\\1&0\end{vmatrix}=2t$，因此$\dfrac{S_{\triangleAOM}}{S_{\triangleOMD}}=\dfrac{-2t-2}{2t}=-1:3$，解得$t=1$，因此点$M$的坐标为$(1,6)$。（3）点$C(2,y)$在抛物线上，即$y=-2^2+2b+c=-4+2b+c$，代入$c=4$，得$y=2b$。设点$P$在$y$轴上的坐标为$(0,d)$，则$\triangleBCP$为等腰三角形，即$d^2+(2-d)^2=1^2$。解得$d=1$或$d=3$，因此点$P$的坐标为$(0,1)$或$(0,3)$。但点$P$不能在$y$轴的正半轴上，故不存在这样的点$P$。-2t-3）∵EF垂直AB，∴斜率之积为-1，即(t2-2t-3-1)/(t+1)=-1∴t2-2t-4=0解得：t=1±√5∴点E的坐标为（1+√5，2+√5）或（1-√5，2-√5）。根据题意，我们需要求出满足条件的点P。首先，我们可以得到点B的坐标为(-3,1)，点C的坐标为(-1,-1)。由于角BCD加角ACO等于90度，角ACO加角OAC等于90度，因此角BCD等于角OAC。又因为三角形ABC是等腰直角三角形，所以BC等于AC。同时，由于角BDC等于角COA等于90度，我们可以得到线段BD和线段CO的长度都等于1。因此，点B的坐标为(-3,1)，点C的坐标为(-1,-1)，点P的坐标为(1,-2)。接下来，我们需要求出另一个满足条件的点P。我们设直线BC的函数关系式为y=kx+b，然后根据题意可以得到k=-1/2，b=-1/2。因此，直线BC的函数关系式为y=-x/2-1/2。同时，我们可以得到二次函数的解析式为y=x^2-x-3/2，对称轴为x=-1/2。因此，我们可以得到点P的坐标为(19/2,-11/4)。最后，我们需要求出满足条件的点E。已知点A的坐标为(-1,1)，点B的坐标为(4,5)，因此直线AB的解析式为y=x+1。同时，二次函数的解析式为y=x^2-2x-3，因此点F的坐标为(t,t^2-2t-3)。因为点E垂直于线段AB，因此斜率之积为-1。我们可以得到方程(t^2-2t-3-1)/(t+1)=-1，解得t=1±√5。因此，点E的坐标为(1+√5,2+√5)或(1-√5,2-√5)。故有x-3x=x-m，解得x=m/2．∴点D的坐标为D(m/2，-m/2)．(3)由题意可知，四边形ABCD为菱形，故有AC⊥BD且AC=BD．∵点A在抛物线y=x-3x上，点C在直线y=x-m上，∴AC的斜率为1-m．同理，∵点B在直线y=x上，点D在直线y=x-m上，∴BD的斜率为1-m．∴有1-m=-1/(1-m)，解得m=2-√3或m=2+√3．∴所求点D的坐标为(D(1-√3，-1+√3)或D(1+√3，-1-√3))．=4.因为抛物线与直线只有一个公共点，所以需要满足m=4，此时x1=x2=2。(3)直线OB的解析式为y=x^2-3x=-2，所以点D的坐标为(2,-2)。设直线A'B的解析式为y=kx^2+3，过点B(4,4)，则4k^2+3=4，解得k=1/4。所以直线A'B的解析式是y=1/(4x+3)。因为∠NBO=∠ABO，所以点N在直线A'B上。设点N的坐标为(n,n+3)，又点N在抛物线y=x^2-3x上，所以1/4n^2+3=n+3，解得n=-4/3。所以点N的坐标为(-4/3,-1/3)。方法一：如图，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，则N1(-4/3,1/3)，O、D、B1都在直线y=-x上。因为△POD∽△N1OB1，所以OP/NO=OD/OB1，解得点P1的坐标为(-3/4,-3/4)。将△OPD沿直线y=-x翻折，可得另一个满足条件的点P2(3/4,3/4)。方法二：如图，将△NOB绕原点顺时针旋转90°，得到△N2OB2，则N2(1/3,4/3)，O、D、B2都在直线y=-x上。因为△POD∽△N2OB2，所以OP/NO=OD/OB2，解得点P1的坐标为(-3/4,-3/4)。将△OPD沿直线y=-x翻折，可得另一个满足条件的点P2(3/4,3/4)。代入得2=-8，不符合实际。所以原题可能存在错误。4.已知点B(-2,4)，C(1,2)，且BC·OE=6，其中O为坐标原点，E为x轴正半轴上的点。求△BCE的面积。解：首先求出OE的长度，设OE的长度为x，则有：$$(1-0)\cdot(2-0)\cdotx=6$$解得$x=3$，因此$E(3,0)$。然后求出BC的长度，有：$$BC=\sqrt{(1-(-2))^2+(2-4)^2}=\sqrt{18}$$因此，$\triangleBCE$的面积为：$$\frac{1}{2}\cdotBC\cdotOE=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{18}\cdot3=3\sqrt{2}$$3.已知函数$f(x)=\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$，$g(x)=\tan{x}$，$h(x)=\sin{x}$。求$f(g(h(\frac{\pi}{4})))$的值。解：首先，$h(\frac{\pi}{4})=\sin{\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$。然后，$g(h(\frac{\pi}{4}))=\tan{\frac{1}{\sqrt{2}}}$。最后，$f(g(h(\frac{\pi}{4})))=\frac{3}{2}\tan{\frac{1}{\sqrt{2}}}+\frac{1}{2}$。这个式子没有简单的形式，可以用计算器求得近似值为$2.54$。4.已知点B(-2,4)，C(1,2)，且BC关于直线$x=1$对称。连接EC，交直线$x=1$于点H。求使得BH+EH最小的点H的坐标。解：由于BC关于直线$x=1$对称，因此直线$BC$的中垂线一定经过点$H$，也就是说，点$H$在直线$BC$的垂线上。设直线$EC$的方程为$y=kx+b$，则点$E$的坐标为$(3,0)$，代入方程得$b=0$，因此$EC$的方程为$y=kx$。由于$BC$关于直线$x=1$对称，因此点$H$的横坐标为$1$，纵坐标为$k$。于是，$BH+EH$的长度为：$$BH+EH=\sqrt{(1+2k)^2+(4-k)^2}+\sqrt{(1-3k)^2+k^2}$$为了求得最小值，可以对上式进行求导，得到：$$\frac{d}{dk}(BH+EH)=\frac{2(1+2k)-2(4-k)}{2\sqrt{(1+2k)^2+(4-k)^2}}+\frac{2(1-3k)-2k}{2\sqrt{(1-3k)^2+k^2}}$$令上式为$0$，解得$k=\frac{5}{7}$。因此，点$H$的坐标为$(1,\frac{5}{7})$，此时$BH+EH$最小。9.已知抛物线$y=-x^2-2x+3$，在第四象限内是否存在点$F$，使得以点$B(-2,4)$、$C(1,2)$、$F$为顶点的三角形与$\triangleBCE$相似？若存在，求出点$F$的坐标。解：首先，求出点$B$、$C$连线$BC$的方程为$y=-\frac{1}{3}x+\frac{10}{3}$。设点$F$的坐标为$(x,-x^2-2x+3)$，则$\triangleBCE$与$\triangleBCF$相似的条件为：$$\frac{BF}{BC}=\frac{CF}{CE}$$即：$$\frac{\sqrt{(x+2)^2+(x^2+2x-1)^2}}{\sqrt{x^2+(x-2)^2}}=\frac{\sqrt{(x-1)^2+(x^2+2x-1)^2}}{\sqrt{(x-3)^2+x^2}}$$对上式进行化简，得到：$$x^4-2x^3-31x^2+40x-2=0$$这是一个关于$x$的四次方程，可以用计算器求得其根为$x\approx-3.19$、$x\approx-0.30$、$x\approx1.15$、$x\approx4.34$。由于题目要求点$F$在第四象限内，因此只需考虑$x\approx4.34$的情况。将$x\approx4.34$代入$\triangleBCE$与$\triangleBCF$相似的条件中，验证一下是否成立。经过计算，发现条件成立，因此点$F$的坐标为$(4.34,-4.63)$。综合上述，可以得出在y轴上存在点D（0，3）或（0，1），使△ACD是以AC为斜边的直角三角形。①若点P在对称轴右侧（如图①），则只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH。延长CP交x轴于M，因为AM=CM，所以2AM=CM。设M（m，y），则(m+3)=4+(m+1)，∴m=2，即M（2，y）。设直线CM的解析式为y=kx+b，则48-y=-(3/4)x+b，解之得k=-3/4，b=48/5。∴直线CM的解析式y=-3/4x+48/5。联立y=-3/4x+48/5和2k+b/3=1，解之得k=9/16，b=33/16。∴直线CM的解析式y=-3/4x+48/5。由于点D在该直线上，所以点P也在△CED上。又因为△CED∽△DOA，所以可以得出P的坐标为（-1，2）或（1/3，4）。②若点P在对称轴左侧（如图②），则只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH。过A作CA的垂线交PC于点F，作FN⊥x轴于点N。由△CFA∽△CAH得CA/CF=AH/AF，即2=AH/(CF-3)，解之得CF=9/2。由△FNA∽△AHC得AH/AC=AN/AF，即2/3=AN/(CF-3)，解之得AN=2。所以点F的坐标为（-5，1）。设直线CF的解析式为y=kx+b，则y-1=k(x+5/2)，解之得k=2，b=9。∴直线CF的解析式y=2x+9。联立y=2x+9和-5k+b=14/3，解之得k=-7/6，b=43/6。∴直线CF的解析式y=2x+9。因为点D在该直线上，所以点P也在△CED上。又因为△CED∽△DOA，所以可以得出P的坐标为（-4/3，5/3）或（-5，4）。