2023年湖北省随州市中考数学真题卷（含答案与解析）

随州市2023年初中毕业升学考试随州市2023年初中毕业升学考试(考试时间120分钟满分120分)注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如雷改动，效.3.非选择题作答：用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的)1.实数2023的绝对值是()A,2023B.-2023C.-------D.----------202320232.如图，直线4〃，2,直线/与4、相交，若图中Zl=60°,则匕2为()A.主视图和俯视图B.左视图和俯视图C.主视图和左视图D.三个视图均相同4.某班在开展劳动教育课程调查中发现，第一小组6名同学每周做家务的夭数依次为3,7,5,6,5,4A.30°B.60°C.120°D.150°3.如图是一个放在水平桌面上的圆柱体，该几何体的三视图中完全相同的是()A.©@A.©@B.®®C.②④D.©@7如.图，在YABCD中，分别以B,。为圆心，大于上8〃的长为半径画弧，两弧相交于点N,过2M,N两点作直线交成)于点O,交AZ),BC于点、E,F,下列结论不正确的是()(单位：天)，则这组数据的众数和中位数分别为()A.5和5B.5和4C.5和6D.6和55.甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米.已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月.若设甲工程队每个月修x千米，则可列出方程为()9121129191211291xx+12x+1x2x+1x2xx+126.甲、乙两车沿同一路线从A城出发前往8城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻，的对应关系如图所示，关于下列结论：①A,8两城相距300km：②甲车的平均速度是60km/h,乙车的平均速度是KX)knVh:③乙车先出发，先到达B城；④甲车在9:30追上乙车.正确的有()DE=BFC.OE=OFD.DE=DC8.已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流/(单位：A)与电阻R(单位：。)是反比例函数关系,它的图象如图所示，则当电阻为6Q时，电流为()D.910D.910.如图，己知开口向下抛物线y=ax2+bx+c与工轴交于点(6,0),对称轴为直线x=2.则下列结论正确的有()①abc<0:②。一b+c>0；③方程以2+版+。=0的两个根为工[=」,工2=一!；26④抛物线上有两点刊书乂)和。(七,力)，若<2<x2且司+邑>4,则y}<y2.B.4AC.6AD.8A9设.有边长分别为。和b{a>b)的A类和B类正方形纸片、长为。宽为人的C类矩形纸片若干张.如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片.若要拼一个长为A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(本大题共有6小题，每小题3分，共18分.只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上)11.计算：(一2尸+(—2)x2=.12.12.如图，在0O中，OALBC,£408=60。，则匕4£>C的度数为15.某天老师给同学们出了一道趣味数学题：设有编号为1-100的100盏灯，分别对应着编号为1-100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”.现有100个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，……，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次.问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？几位同学对该问题展开了讨论：甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，……丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态.根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有___________盏.16.如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD=4,M是边ABL一动点(不含端点)，将△4。材沿直线ZW对折，得到JVDM.当射线CN交线段于点尸时，连接DP，则面积为；DP的最大值为.13.已知一元二次方程X2-3x+l=0有两个实数根XI，X2，则Xi+X2-X\X2的值等于.14.如图，在Rt/XABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,。为AC上一点，若是NABC的角平分线，则AD=.三、解答题(本大题共8小题，共72分.解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过1三、解答题(本大题共8小题，共72分.解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过17.先化简，再求值：-一+—，其中x=l.18.如图，矩形ABCD的对角线AC.相交于点O，DEAC,CE/BD.A1)42E基本非常基本了解不了了解程度了解了解很少解BC(1)求证：四边形0CED是菱形；(2)若BC=3,DC=2,求四边形0CE0的面积.19.中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图.扇形统计图条形统计图人数/人根据图中信息回答下列问题：(1)接受问卷调查的学生共有人，条形统计图中m的值为,扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为；(2)若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为人；(3)若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健APMxx-4x-2康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率.20.某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度AB，在建筑物附近有一斜坡，坡长CD=1。米,坡角a=30。，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为60。，在Q处测得建筑物顶端A的仰角为30°.(已知点A,B,C,。在同一平面内，B,C在同一水平线上)(2)若AE=2，sinZAFD=|,①求QO的半径；②求线段OE的长.22.为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天mx+n(\<x<20)中，第工天(l<x<30且工为整数)的借价p(元/千克)与工的函数关系式P八八\(且x为整数)，销量q(千克)与x的函数关系式为0=工+10,己知第5天售价为50元/千克，第10天传价为40元/千克，设第x天的销售额为W元 (1),n=:(2)求第x天的销售额W元与*之间的函数关系式；(3)在试销售的30天中，销售额超过1000元的共有多少天？23.1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A,B,C,求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该 (I)求点D到地面的距离;(2)求该建筑物的高度21如.图，是O。的直径，点E，C在。。上，点C是的中点，AE垂直于过C点的直线DC,垂足为D,的延长线交直线OC于点F.3030(20<%<30)PA+PA+PB+PC=PR+PB+PPNA'B,由②可知,当B,P,p,A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2,最小值为48,此时的尸点为该三角形的"费马点"，且有ZAPC=ZBPC=ZAPB=®:已知当二ABC有一个内角大于或等于120。时，“费马点”为该三角形的某个顶点.如图3,若NB4CZ120。，则该三角形的“费马点”为④点.(2)如图4,在二ABC中，三个内角均小于120。，且AC=3,BC=4,=30°,已知点尸为^ABC“费马点”，求PA+PB+PC的值；点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题.(I)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点)当aABC的三个内角均小于120。时，如图I,将△APC绕，点C顺时针旋转60。得到jA'PC,连接PP'，AC=4km,BC=2右km,ZACB=60°.现欲建一中转站P沿直线向A,B,C三个村庄铺设电缆，己知由中转站P到村庄A,B,C的铺设成本分别为“元/km,。元/km,5/赤元/km，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为元.(结果用含“的式子表示)24.如图1,平面直角坐标系xQy中，抛物线y=ax2+bx+c过点A(—l,0),B(2,0)和C(0,2),连接20232023A【解析】【分析】根据绝对值的代数意义即可得出答案.【详解】解：因为负数的绝对值等于它的相反数,所以，2023的绝对值等于2023.故选：A.【点睛】本题考查了绝对值的代数意义，熟练掌握知识点是本题的关键.2.如图，直线4〃，2,直线/与4、4相交，若图中匕1=60。，则匕2为()(图2)(I)直接写出抛物线和直线BC的解析式;如图2,连接QM,当_OCM为等腰三角形时，求，〃的值;(3)当p点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q,使得以。，p,。为顶点的三角形与以3,c,N为顶点的三角形相似(其中点P与点C相对应)，若存在，尊接号齿点P和点。的坐标；若不存在，请说明理由.BC,点(〃?>0)为抛物线上一动点，过点P作PN-X轴交直线BC于点材，交x轴于点N.参考答案一、选择题(本大题共10小题，每小题3分,共30分.每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的)1.实数-2023的绝对值是()A.A.主视图和俯视图B.左视图和俯视图C.主视图和左视图D.三个视图均相同【答案】C解析】【分析】根据三视图的定义判断即可.【详解】该几何体的三视图中完全相同的是主视图和左视图，均为矩形，俯视图是一个圆.故选：C.【点睛】本题考查三视图的知识点，主要掌握主视图、左视图、俯视图分别是从物体的前面、左面、上面看到的图形是解题的关键.4.某班在开展劳动教育课程调查中发现，第一小组6名同学每周做家务的天数依次为3,7,5,6,5,4A.30°B.60°C.120°D.150°【解析】【分析】根据两直线平行，同旁内角互补进行求解，即可得到答案.4=60°,/.Z2=120%故选C.【点睛】本题考查了平行线的性质，解题关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互.3.如图是一个放在水平桌面上的圆柱体，该几何体的三视图中完全相同的是()解析】解析】【分析】设甲工程队每个月修工千米，则乙工程队每个月修(x+1)千米，根据“最终用的时间比甲工程队少半个月"列出分式方程即可.【详解】解：设甲工程队每个月修X千米，则乙工程队每个月修(X+1)千米，9121依题意得--------=—,xx+12故选：A.【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是分析题意，找准关键语句，列出相等关系.6.甲、乙两车沿同一路线从A城出发前往8城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻，的对应关系如图所示，关于下列结论：①A,B两城相距300km：②甲车的平均速度是60km/h,乙车的平均速度是KX)knVh:③乙车先出发，先到达B城；④甲车在9:30追上乙车.正确的有()故选：A.【点睛】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.5.甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米.已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月.若设甲工程队每个月修x千米,则可列出方程为()912_11291C.U129_1xx+T-2B.----=—2x+1x2x~x+\~2(单位：天)，则这组数据的众数和中位数分别为()解析】【分析】根据众数和中位数的概念求解.【详解】解：将数据重新排列为3,4,5,5,6,7,所以这组数据的众数为5,中位数—=5,2A.©@A.©@B.®®C.②④D.©@【答案】D【解析】【分析】根据图象逐项分析判断即可.【详解】解：由图象知：①A,B两城相距300km,故此项正确；3(N)300②甲车的平均速度是一=100(km/h),乙车的平均速度是一=60(km/h),故此项错误;7③乙车7:00先出发，12:00才到达B城，甲车8:00后出发，11:00就到达B城，故此项错误；④两车在9:30时，行驶路程一样，即甲车在9:30追上乙车，故此项正确.综上，①④说法正确，故选：D.【点睛】本题考查了函数的图象，正确识别图象并能提取相关信息是解答的关键.7如.图，在YABCD中，分别以B,。为圆心，大于上8〃的长为半径画弧，两弧相交于点N,过2M,N两点作直线交成)于点O,交AZ),BC于点、E,F,下列结论不正确的是()y/km【答案】D【解析】【分析】根据作图可知：《〃垂直平分得到BD=DO,于是得到点O为YABCD的对称中心,DE=BFC.OE=OFD.DE=DC••ZBFE=ZDFE^•.•在cABCD中，AD//BC,AD=BC'ZBFE=ZDEF,・../DFE=ZDEF，:・DE=DF，.'・BE=DE=DF=BF,故B正确；・•・AD-DE=BC-BF,:.AE=CF,故A正确；.•四边形BFQE是菱形，:.OE=OF,故C正确；£＞旧与OC不一定相等，故D错误，【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，尺规作图，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键.8.已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流1(单位：A)与电阻R(单位：。)是反比例函数关系,它的图象如图所示，则当电阻为6Q时，电流为()BE=ED,BF=FD,根据全等三角形的性质得到ZBFE=ZDFE，根据平行线的性质得到ZBFE=ZDEF,推出四边形也是菱形，据此判断即可.【详解】解：根据作图可知：垂直平分8D，..•点0为YABCD的对称中心，66B.4AC.6AD.8A【答案】B解析】k【分析】设该反比函数解析式为/=R再把R=6代入，即可求出电流【详解】解：设该反比函数解析式为/=由题意可知，当R=8时，1=3,根据当R=8时，/=3,可得该反比函数解析式为24R解得：&=24,24设该反比函数解析式为I=—R..当..当R=6时，/=—=4,即电流为4A，故选：B.【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，求出反比例函数解析式是解题关键.9.设有边长分别为。和b(a>b)的A类和8类正方形纸片、长为。宽为力的C类矩形纸片若干张.如图所示要拼一个边长为。+Z?的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片.若要拼一个长为A.6B.7C.8D.9解析】【分析】解析】【分析】计算出长为(3。+人)，宽为(2。+必)的大长方形的面积，再分别得出A、B、C卡片的面积，即可看出应当需要各类卡片多少张.【详解】解：长为(3。+力)，宽为(&+2Z?)的大长方形的面积为：(^3a+b)(2a+2b)=6a2+2b2+8泌；需要6张A卡片，2张B卡片和8张C卡片.故选：C.【点睛】本题主要考查多项式乘多项式与图形面积，解题的关键是理解(3“+b)(2“+2Z?)结果中义?项的系数即为需要C类卡片的张数.10.如图，己知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与工轴交于点(6,0),对称轴为直线x=2.则下列结论正确的有()①abc<0:②。一b+c>0；③方程以2+版+。=0的两个根为工[=」,工2=一!；26④抛物线上有两点刊书乂)和。(七,力)，若<2<x2且凡+邑>4,则凶<力.A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的图象与系数的关系即可求出答案.【详解】解：由抛物线的开口可知：a<0,由抛物线与)，轴的交点可知：c>0,由抛物线的对称轴可知:b2a:.abc<0,故①正确；抛物线y抛物线y=ax2+bx+c与工轴交于点(6,0),对称轴为直线x=2,则另一个交点(-2,0),「.。一人+。>0,故②正确；抛物线y=ax2+bx+c与工轴交于点(6,0)和(-2,0),「ax2+bx+c=0的两根为6和一2,6+(-2)=4=-■,6x(—2)=—12=—,则b=-4a,c=-\2a,如果方程cx2+bx+a=0的两个根为石=!，易=一!成立，而c=-12〃，/.,c4••方程以2+bx+a=0的两个根为工|=；,工2=_~不成立，故③不正确；26Vx!<2<x2,AP.Q两点分布在对称轴的两侧，—2)—(2—再)=易一2—2+*—(工]+易)一4>0,即羽到对称轴的距离小于冬到对称轴的距离，•.凹>>2，故④不正确.综上，正确的有①②，故选：B.【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定.二、填空题(本大题共有6小题，每小题3分，共18分.只需要将结果直接填写在答题卡对11.计算：(-2尸+(-2)x2=.解析】【解析【解析】【分析】根据垂径定理得到=根据圆周角定理解答即可.【详解】解：VOA1BC,•ZADC=-ZAOB=30°,2故答案为：30°.【点睛】本题考查的是垂径定理和圆周角定理，掌握同弧或等孤所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键.13.已知一元二次方程X2-3x+l=0有两个实数根XI，X2，则XI+X2-XIX2的值等于.【答案】2【解析】【分析】先根据根与系数的关系得Q+X2=3,X1X2=1,然后利用整体代入的方法计算.【详解】解：根据根与系数的关系得：故答案为：2.【点睛】本题考查了根与系数的关系：若为，X2是一元二次方程拆+弘+C=0(醇0)的两根时，羽+X2分析】先算乘方，再计算乘法，最后算加减.故答案为：0.【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，关键是掌握运算法则.12.如图，在。。中，Q4J.BC,ZAOB=60°,则NADC的度数为bc=-一，X1X2=-.熟练掌握根与系数的关系是解决本题的关键.aa14如.图，在Rt/XABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,。为AC上一点，若是NABC的角平分线，则AD=.【答案】3【解析】【分析】首先证明CD=DP,BC=BP=6,设CD=PD=x,在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题.【详解】解：如图，过点D作的垂线，垂足为P，・•・AB=^JAC2+BC2=V82+62=10，VBD是的角平分线，VZC=ZBP£>=90°,BD=BD,・•・aBDC纬BDP(AAS),；・BC=BP=6,CD=PD,设CD=PD=x,在R0ADP中，VPA=AB-BP=4^AD=8-x,/.x2+42=(8-x)2,故答案为：故答案为：3.【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.15.某天老师给同学们出了一道趣味数学题：设有编号为1-100100盏灯，分别对应着编号为1-100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”.现有100个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，……，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次.问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？几位同学对该问题展开了讨论：甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，……丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态.【解析】【分析】灯的初始状态为“不亮”，按奇数次，则状态为“亮”，按偶数次，则状态为“不亮”，确定1-100中，各个数因数的个数，完全平方数的因数为奇数个，从而求解.【详解】所有灯的初始状态为“不亮”，按奇数次，则状态为“亮”，按偶数次，则状态为“不亮”；因数的个数为奇数的自然数只有完全平方数，1-100中，完全平方数为1,4,9,16,25,36,49,64,81,100；有10个数，故有10盏灯被按奇数次，为“亮”的状态；故答案为：10.【点睛】本题考查因数分解，完全平方数，理解因数的意义，完全平方数的概念是解题的关键.16.如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD=4,M是边ABL一动点(不含端点)，将△4。材沿直线ZW对折，得到JVDM.当射线CN交线段于点尸时，连接DP，则的面积为；DP的最大值为.根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有y【解析】【分析】(1)根据等底等高的三角形和矩形面积关系分析求解；(2)结合勾股定理分析可得，当业最大时，DP即最大，通过分析点N的运动轨迹，结合勾股定理确定业的最值，从而求得OP的最大值.【详解】解：由题意可得△(?£＞「的面积等于矩形A8CQ的一半，的面积为LaBAO=Lx4x5=10,22RtAPDPDyjADAP2»..•当AP最大时，DP即最大，由题意可得点N是在以。为圆心4为半径的圆上运动，当射线CN与圆相切时，时最大，此时C、N、M三点共线，如图：由题意可得：AD=ND,ZMND=ZBAD=^B=90°,Z/VDC+ZDC7V=90。，ZDCN+&CB=90。,:•公DC=/MCBAD=8C，:.DN=BC,・.・ANDC^/\BCM，：•CN=BM=^CEr-DN2=3,:，AP=AB-BP=2:，AP=AB-BP=2^在ReAPD中，PD=』Alf+AP^=5/42+22=2爪，故答案为：10,2垢.【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，分析点的运动轨迹，证明三角形全等是解决问题的关键.三、解答题(本大题共8小题，共72分.解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过4217.先化简，再求值：-—4-—,其中x=l.x~-4x-222当工=1时，原式=----=—.4x-2(x+2)(x-2)22x+2'【点睛】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺.18如.图，矩形ABCD的对角线AC,相交于点O,DE\AC,CE\BD.【分析】先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可.(1)求证：四边形OCTO是菱形；(2)若BC=3,DC=2,求四边形OCED的面积.【答案]—-【答案]—-x+2【解析】2【答案】(1【答案】(1)见解析(2)3解析】【分析】(1)先根据矩形的性质求得OC=OD,然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形分析推理:(2)根据矩形的性质求得.OCD的面积，然后结合菱形的性质求解.【小问1详解】解、DE〃AC,CE〃BD,.•四边形OCED是平行四边形，又..•矩形ABCD中，OC=OD,.平行四边形OCE£)是菱形；【小问2详解】解：矩形ABCD的面积为BCQC=3x2=6,OCD的面积为一x6二一，42..菱形OCED的面积为2x2=3.2【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的判定，属于中考基础题，掌握矩形的性质和菱形的判定方法，正确推理论证是解题关键.19.中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图.条形统计图根据图中信息回答下列问题：(1)接受问卷调查的学生共有人，条形统计图中，〃的值为,扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为；(2)若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为人；r解了解很少解(3)若某班要从对心理健康知识达到“(3)若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率.【分析】(1)用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数减去其他项的人数，求出“了解很少”的人数；用360。乘以扇形统计图中“非常了解”部分所占的比例即可；(2)用总人数800乘以“不了解”的人数所占的比例即可；(3)画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到2名女生的结果数，然后利用概率公式求.【小问1详解】解：接受问卷调查的学生共有40+50%=80(人)，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为360%钏=90。；故答案为：80,16,90°:【小问2详解】解：根据题意得：4答：估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为40人;故答案为：40；【小问3详解】解：由题意列树状图：男女女男女女男男女/T女由树状图可知，所有等可能的结果有12种，恰好抽到2名女生的结果有2种,21..恰好抽到2名女生的概率为—=-男男女女 (3)恰好抽到2名女生的概率为；.6【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图.用到的知识点为：概率=所求【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.20.某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度AB，在建筑物附近有一斜坡，坡长CD=1。米，坡角a=30。，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为60。，在Q处测得建筑物顶端A的仰角为30°.(已知点A,B,C,。在同一平面内，B,C在同一水平线上)O*沪B( (1)求点D到地面BC的距离；(2)求该建筑物的高度AB.(2)15米【解析】【分析】(1)过点D作DE上BC,根据坡角的概念及含30。直角三角形的性质分析求解;(2)通过证明ZACD=90°,然后解直角三角形分析求解.【小问1详解】解：过点D作DEA.BC,BCE由题意可得ZDCE=30。,.••在RdCDf中，DE=-CD=-xl0=5,即点D到地面BC的距离为5米；【小问2详解】22口「E口口「E口/3论dBCE由题意可得ZDCE=30。，ZACB=60°,•NACD=90。，又,:MN〃BE,EDC=/a=30。，•ZA£>C=60°.••在Rt^ACD中，^=tanZADC=V3,即-^=V3,解得AC=1()73，在Rt^ABC中，—=sinZACB=^，即-^==—，AC210V32解得AB=15,答：该建筑物的高度AB为15米.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.21如.图，是。。的直径，点E，C在。。上，点C是be的中点，AE垂直于过C点的直线DC,垂足为D,的延长线交直线OC于点F.(1)求证：QC是OO的切线；(2)若AE=2,sinZAFD=|,①求。。的半径；②求线段DE的长.【答案】(1)证明见解析①3；②2【解析】【分析】【分析】(1)根据等孤所对的圆周角相等和等边对等角的性质，得到ZCAE=ZACO,推出AQ〃OC,进而得到OCLDC.再利用圆的切线的判定定理即可证明结论；(2)①连接如，根据直径所对的圆周角是直角和平行线的判定，得到BE〃DF，进而得到ZAFD=ZABE，再利用锐角三角函数，求得AB=6,即可求出。。的半径；②利用锐角三角函数，分别求出欧和A。的长，即可得到线段OE的长.【小问1详解】证明：如图，连接0C,点C是gE的中点,:.CE=CB，.\^CAE=ZCAB,.04=OC,.\ZCAB=ZACO,.\ZCAE=ZACO,:.AD//OC,-ADA.DC,:.OCLDC,.OC是OO的半径，:.DC是。。的切线；【小问2详解】解：①如图，连接曲,DCE.ODCE.OJBF成?是直径，ZAEB=90°,:.BE.LAD，:、BE〃DF，:.ZAFD=ZABE,sinZAFD=-,3八gAE1.AE=2，OO的半径为3；②由(1)可知，OC±DF,/.sinZAFD=-=-,AB3OF3.OC=3,OF=OB+BF=3+BF,'3+BF~3t.BF=6,F•.・AD±DF，..si"网=竺=竺」AF123:."=4,.AE=2，:.DE=AD-AE=4-2=2.【点睛】本题是圆和三角形综合题，考查了圆的切线的判定定理，圆的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识，熟练掌握圆的相关性质，灵活运用正弦值求边长是解题关键.2函数等知识，熟练掌握圆的相关性质，灵活运用正弦值求边长是解题关键.22为.了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天mx+n(\<x<20)中，第工天(l<x<30且工为整数)的借价p(元/千克)与工的函数关系式P八八\(且x为整数)，销量q(千克)与x的函数关系式为0=工+10,己知第5天售价为50元/千克，第10天传价为40元/千克，设第x天的销售额为W元 (1),n=:(2)求第x天的销售额W元与*之间的函数关系式；(3)在试销售的30天中，销售额超过1000元的共有多少天？ (2)\<x<2W,W=-2x2+40x+6(X)，当20<x<30时，W=30x+300(3)7天【解析】【分析】(1)利用待定系数法求待定系数；(2)根据“销售额=售价X销售量”列出函数关系式，(3)利用二次函数和一次函数的性质分析求解.【小问1详解】解：...第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，5m+〃=50fw=-2[10s+〃=40[〃=60故答案为：-2，60：【小问2详解】解：由题意当l£xv20时，W=p^=(-2x+60)(x+10)=-2x2+40x4-600,当20<x<30时，IV=30^=30(x+10)=30x+300,【小问3详解】解：由题意当l£xv20时，W=-2x2+40x+600=-2(x-10)2+800,•-2v0,..•当x=10时，W最大为800,3030(20<%<30)3又为整数3又为整数，且3()>(),.•当20<x<30M,W随x的增大而增大，..•第24至30天，销售额超过1000元，共7天.【点睛】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，理解题意，分段分析函数解析式，掌握一次函数和二次函数的性质是解题关键.23.1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A,B,C,求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题.(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点)当^ABC的三个内角均小于120°时，如图1,将ZVIPC绕，点C顺时针旋转60。得到M'PC,连接PP',当20<x<30时，IV=30x+300,由3Ox+3OO>1000时，解得x>23-,PA+PB+PC=PA'+PB+PP'NA'B,由②可知,当B,P,p,A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2,最小值为48,此时的P点为该三角形的“费马点”，且有ZAPC=ZBPC=ZAPB=®:已知当，ABC有一个内角大于或等于120。时，“费马点”为该三角形的某个顶点.如图3,若/B4C2120。，则该三角形的“费马点"为④点.(2)如图4,在一旭C中，三个内角均小于120。，且AC=3,BC=4,=30°,已知点P为忠C的“费马点”，求PA+PB+PC的值；(3(3)如图5,设村庄A,B,C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km,BC=2右km,ZACB=60°.现欲建一中转站P沿直线向A,B,C三个村庄铺设电缆，己知由中转站P到村庄A,B,C的铺设成本分别为。元/km,。元/km,5/赤元/km，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为元.(结果用含〃的式子表示)【答案】(1)①等边；②两点之间线段最短；③120。；④A.(2)5(3)2而a【解析】【分析】(1)根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论；(2)根据(1)的方法将绕，点C顺时针旋转60。得到即可得出可知当8,P,P',A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，最小值为A'B,在根据ZACB=30°可证明ZACA=ZACP4-ZBCP+ZPCP=90%由勾股定理求A'B即可，(3)由总的铺设成本=a(PA+PB』PC),通过将△APC绕，点C顺时针旋转90。得到」A'PC,得到等腰直角」PPC,得到整PC=PP，，即可得出当B,P,p,A在同一条直线上时，PA'+PB+PP取最小值，即PA+PB+Bc取最小值为A'B，然后根据己知和旋转性质求出A'B即.【小问1详解】解：PC=PC,ZPCF=60。,...为等边三角形；PP=PC,NPPC=NPPC=60。，又PN=PA，故PA+PB+PC=PA'+PB+PPNA'B,由两点之间线段最短可知，当8,P，P',A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，A最小值为4最小值为4B，此时的户点为该三角形的“费马点”，・.・Z.BPC+Z.PPC=180。，ZAPC+Z.PPC=180。，又.^APC^APC,AZAPC=ZA/yC=120°,・.・ZAPB=360°-ZAPC-ZBPC=120°,BZMC>120°,ABC>AC，BC>AB,:.BC+AB>AC+AB,BC+AC>AB+AC,.•三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小.又..•已知当有一个内角大于或等于120。时，“费马点”为该三角形的某个顶点..该三角形的“费马点”为点A,故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③120。；④A.【小问2详解】将ZVIPC绕，点(7顺时针旋转60。得到aA'P'C,连接PPL由(1)可知当B,P,P',A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，最小值为A'B，•.ZACP=ZA8,・.・ZACP+ZBCP=ZA'CT+Z.BCP=ZACB=30。,又.•ZPCP=60。•NBCA'=ZA'CP+ZBCP+ZPCP=90°,由旋转性质可知：AC=A,C=3,,心=JbC。+於=0+3?=5，・.・PA+PB+PC最小值为5,【小问【小问3详解】..•总铺设成本=PA.a+PB.a+PC.^2a=+P8+V2PC)'当PA+PB+y/2PC最小时，总的铺设成本最低’将绕，点C顺时针旋转90。得到成PC、连接PP',由旋转性质可知：PC=PC，ZPC/y=ZAC4,=9O°,PA'=PA，AfC=AC=4km,PP'=yj2PC，二PA+PB+也PC=P4+P5+PP'，当B,P,p,A在同一条直线上时，PA'+PB+PP取最小值，即PA+PB+BC取最小值为过点4作AH1BC,垂足为H,•ZAC8=60。，ZAC4'=90。，.ZA'CH=30。，•A77=l4C=2km,2・•・HC=>JAC2-AH2=V42-22=2V3(km),・•・BH=BC+CH=2右+2>/3=473(km),・•・AfB=JAH'+BH。=J(4右尸+2?=2而(km)PA+PB+^/2PC的最小值为2>/13km总的铺设成本=P\.a+PB.a+PC.^2a=a(PA+PB+很PC)=2>/反(元)故答案为：【点睛】本题考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股(图1)(图1)(图2)(1)直接写出抛物线和直线BC的解析式;如图2,连接QM,当,.OCM为等腰三角形时，求刀的值;(3)当p点在运动过程中，在y轴上是否存在点。，使得以o,p,。为顶点三角形与以A,C,N为顶点的三角形相似(其中点P与点C相对应)，若存在，目琴与申点P和点。的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)抛物线：y=-/+x+2；直线8C：y=-x+2(2)m=\或=或zn=2(3)P(&H)，2(0,72-1)或P(l+右,-1-右),Q(0,l)或户(1+方,一3-打)，2(0,-2)解析】【分析】(1)由题得抛物线的解析式为y=/x+l)(A2),将点C(0,2)代入求。，进而得抛物线的解析式;设直线BC的解析式为y=kx+t,将点B,C的坐标代入求A,t,进而得直线的解析式.(2)由题得+分别求出OC,OM,CM,对等腰^OCM中相等的边进行分类讨论，进而列方程求解;(3)对点尸在点8左侧或右侧进行分类讨论，设法表示出各线段的长度，利用相似三角形的相似比求解，如进而可得F,。的坐标.【小问1详解】解：抛物线过点A(-l,0),8(2,0),定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键.24.如图1,平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax^+bx+c过点A(—l,0),8(2,0)和C(0,2),连接BC,点(〃?>0)为抛物线上一动点，过点F作PNlx轴交直线BC于点交x轴于点N.解得(c.直线BC的表达式为y=-工+2.【小问2详解】解：.•点M在直线BC上，且P(也,〃)，.OC=2,CM2=(w-0)2+(-/n+2-2)2=2/n2,OM2=w2+(-w+2)2=2m2-4/w+4.当aOCM为等腰三角形时，①若CM=OM,则CM°=OM>,即2m2=2m2一4/n+4，解得m=\.②若CM=OC,则CM?=OC2，即2尿=4,解得m=y/2或/n=—J?(舍去).③若OM=OC,则OMJOC'即2m2-4m+4=4,解得m=O(舍去)或/n=2.抛物线的表达式为y=々(x+l)(x-2),将点C(0,2)代入上式，得2=一&,抛物线的表达式为y=一3+1)(%-2),即y=-*2+X+2.设直线BC的表达式为y=kx+tt将点8(2,0),C(0,2)代入上式，得J，综上，m综上，m=\或m=或m=2.【小问3详解】aPOQs冬c剧v或bPOQ^cnb.点尸在点3左侧，则ZCBN=45。,BN=2-m,CB=2y/2-当aPOQs«BN,即ZPOQ=45。时，直线。p的表达式为y=x,..Op2=(/)2+(《)2=4,即OP=2.OPOQHn2OQBCBN2V22-V2解得02=72-1.则ZCBN=135°,BN=m-2.当.POQsqN,即匕POQ=135°时,直线0P的表达式为^=-工,••一+/w+2=，解得也=1+占或用=1一(舍去),OP=y]2m=5/2+>/6»当aPOQs^CNB,即ZPQO=45。时,..Q(oM-i).PQ=PQ=a/2?w,•PQ_OQCB~NB解得m=\+点〃点OQ=-tn2+m+2+m=-m2+2m+2，yflm-m2+2m+2即—1== 2^/22-m8右侧，•.—---•.—---,即----=—=―=—解得og=i.•.P(l+V3,-l-73),00,1).当.POQs_CNB,即ZPQO=135。时,PQ=41m,OQ=^-nr+/n+2+/n|=am2-2m-2.•.丝=丝，即牛花―2心2CBNB2^2m-2解得m=l+有或m=l-打(舍去).•••P(1+底-3-姊，00,-2).综上，P(V?,很)，Q(0,很一1)或P(l+b,-l—k),Q(0,l)或P(1+底-3-灼‘00,-2).【点睛】本题是二次函数的综合应用，