2023年湖南省衡阳市中考数学试题（含答案解析）

20232023湖南省衡阳市中考数学一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，满分36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家.若收入500元记作+500元，则支出237元记作()A.+237元B.一237元C.0元D.-474元2.下列长度的各组线段能组成一个三角形的是(A.1cm,2cm,3cmB.3cm,8cm,5cmC.4cm,5cm,l()cmD.4cm,5cm,6cm3.下而四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是(4作.为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识.如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从左面看到的图形的是()6.据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青团员7358万.数据7358万用科学记数法表示为()A7.358xlO7B.7.358xlO3C.7358xlO4D.7.358xlO65.计算5.计算的结果正确的是(10.某射击运动队进行了五次射击测试10.某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下表.甲、乙两名选手成绩的方差分别记为编和S],则与S[的大小关系是()测试次数12345甲510938乙86867A.S$>SiB.S*<SiC.S$=SiD.无法确定11.我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60。”.假设三角形没有一个内角小于或等于60。，即三个内角都大于60°.则三角形的三个内角的和大于180°,这与“三角形的内角和等于180。”这个定理矛盾.所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60。.上述推理使用的证明方法是()A.反证法B.比较法C.综合法D.分析法12,已知m>n>0,若关于x的方程x2+2x-3-m=0的解为而,毛(*〈赴).关于才的方程7.对于二次根式的乘法运算，一般地，有也顼=伺.该运算法则成立的条件是()A.a>0,b>0B.«<(),/?<0C,«<0,/?<0D.a>0,b>08.如图，在四边形ABCD中，BC//ADt添加下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是()A.AB=CDB.AB//CDC.ZA=ZCD.BC=AD9.《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何.”设有x只鸡，y只兔.依题意，可列方程组为()2x+y=35,.4x+y=35,.4x+2y=94X+y=94,.4x+2y=35.X+y=94,.2x+4y=35ABC21.202321.2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学x2+2x-3-n=0的解为也,x,(sv也).则下列结论正确的是(Axy<x}<x2<x4B.xl<xi<x4<x2C.<x2<xy<x4D.x3<x4<x{<x2二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，满分18分.)13.在平面直角坐标系中，点尸(-3,-2)所在象限是第象限.14.一个布袋中放着3个红球和9个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别.布袋中的球已经搅匀.从布袋中任取1个球，取出红球的概率是.32415.已知x=5,则代数式二二一一L77的值为________.16.已知关于x方程/+〃方一20=0的一个根是-4,则它的另一个根是.17.如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=8fBC=6.以点C为圆心，r为半径作圆，当所作圆与斜边所在的直线相切时，〃的值为18.如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置.要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是个.三、解答题(本大题共8个小题，19~20题每题6分，21-24题每题8分，25题1。分，26题12分，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)3x-4x-4x-1620解不等式组:x-4<0©2(x+l)<3x®校举行了校园安全知识竞赛活动.现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩(百分制)进行整理、校举行了校园安全知识竞赛活动.现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩(百分制)进行整理、描述和分析(成绩得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组，人：60《xv70；8：70Vx<80；C：80<x<90；Dz90<X<100),并给出下面部分信息：八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据为：84,84,88.九年级抽取的学生竞赛成绩为：68,77,75,100,80,100,82,86,95,91,100,86,84,94,87.八年级抽取的学生竞赛成绩频数分布直方图0ABCD成绩八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表年级平均数中位数众数优秀率八87a9860%九8786bC根据以上信息，解答下列问题: (1)填空：a=,b=,c=.(2)该校八、九年级共500人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数.41222.如图，正比例函数y=-x的图象与反比例函数y=—U>0)的图象相交于点A.o (1)求点A的坐标. (2)分别以点O、A为圆心，大于Q4一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点B和点C,作直线BC,交】'3x4yy (1 (1)求证：AF=DF. (2)若AF=9,sinZA8D=@，求。。的半径.2525.(1)[问题探究]如图1,在正方形ABCD中，对角线AC、初)相交于点O.在线段AO上任取一点P(端点除外)，连接PD、PB.(1)求教学楼AB的高度.(2)若无人机保持现有高度沿平行于C4的方向，以4J?米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线24.如图，是。。的直径，AC是一条弦，。是AC的中点，DE.LAB于点E,交AC于点F,交。0于点H,交AC于点G.轴于点O.求线段OD的长.23.随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度.圆圆要测量教学楼的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部24JI米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点。处，测得教学楼的顶部8处的俯角为30。，CZ)长为49.6米.已知目高CE为1.6米.5图1①图1①求证：PD=PB；②将线段DP绕点P逆时针旋转，使点。落在R4的延长线上的点Q处.当点P在线段AO上的位置发生变化时，ZDPQ的大小是否发生变化？请说明理由；③探究AQ与0尸的数量关系，并说明理由.(2)[迁移探究]如图2,将正方形ABCD换成菱形ABCD,且ZABC=60°,其他条件不变.试探究AQ与CP的数量关26.如图，已知抛物线y=ax2-2cix+3与x轴交于点人(-L0)和点8,与y轴交于点C,连接AC,过8、C两点作直线.(1)求。的值.(2)将直线8C向下平移〃?(所＞0)个单位长度，交抛物线于B'、C'两点.在直线±方的抛物线上是否存在定点D，无论，〃取何值时，都是点D到直线8C'的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.(3)抛物线上是否存在点P,使ZPBC+ZACO=45°,若存在，请求出直线驴的解析式；若不存在,请说明理由.6参考答案一、参考答案一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，满分36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)【分析】根据相反意义的量的意义解答即可.【详解】..•收入500元记作+500元，.支出237元记作-237元，【分析】根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边判断即可.【详解】A.lcm+2cm=3cm,不符合题意；B.3cm+5cm=8cm,不符合题意；C.4cm+5cm=9cm<10cm,不符合题意；D.4cm+5cm=9cm>6cm,符合题意，[分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.【详解】解：A.不是轴对称图形，故本选项不合题意；B.不是轴对称图形，故本选项不符合题意：C.是轴对称图形，故本选项合题意；D.不是轴对称图形，故本选项不合题意.【分析】根据左视图定义从左向右看得到的图形，从左面看看到壶嘴，画的全身，看不见弧把手，对各选项进行分析判断即可.【详解】A.是从上向下看得到的图形为俯视图，故选项A不合题意;7B.B.是从左向右看得到的图形为左视图，故选项B符合题意;C.是从下往上看得到的图形是仰视图，故选项C不合题意；【分析】运用积的乘方法则、幕的乘方法则即可得出结果.【详解】解；。=")m)2=1x\【分析】科学记数法的表示形式为«X1OW的形式，其中1<W<10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时，〃是正数；当原数的绝对值vl时，〃是负数.据此可得出结果.【详解】7358万=73580000=7.358xlO7，7.【答案】D【分析】根据二次根式有意义的条件得出不等式组，再解不等式组即可得出结果.«>0【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得,ab>0是从前往后看得到的图形是主视图，故选项D不合题意..*20,020,8.【答案】A【分析】依据平行四边形的判定，依次分析判断即可得出结果.【详解】解：A、BC//AD,AB=CD时，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；B、当AB//CD,BC〃AD时，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；C、当BC//AD,ZA=ZC时，可推出AB//DC,依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；D、当BC//AD,BC=AD时，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平81010.【答案】A【分析】先分别求出甲、乙的平均数，再求出甲、乙的方差即可得出答案.甲的方差为S*=([(5-7)2+(]0_7)2+(9-7)2+(3—7)2+(8-7门=6.8,乙的平均数为8+6+?6+7=7,乙的方差为S；=：[(8-7^+(6-7^+(8-7)2+(6-7)2+(7-7)2卜0.8,V0.8<6.8,•s*>Sl.【分析】根据反证法的步骤分析判断，即可解答.【详解】解：假设三角形没有一个内角小于或等于60。，即三个内角都大于60。.则三角形的三个内角的和大于180。，这与“三角形的内角和等于180。”这个定理矛盾.所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60。.以上步骤符合反证法的步骤.故推理使用的证明方法是反证法.【分析】把心易看做是直线y=m与抛物线y=x2+2x-3交点的横坐标，把心七看做是直线y=〃与抛物线y=x2+2x-3交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案.【详解】解：如图所示，设直线y=fn与抛物线y=xz+2x-3交于A、B两点,直线N=〃与抛物线y=/+2工一3交于C、。两点,行四边形，故此选项不合题意；9.【答案】C【分析】根据等量关系“鸡的只数十兔的只数=35"和“2x鸡的只数+4x兔的只数=94”即可列出方程.9【详解】解：由题意可得:设【详解】解：由题意可得:设有x只鸡，y只兔,x+y=352x+4v=94关于x的方程xz+2x-3-关于x的方程xz+2x-3-m=0的解为<Xj),关于x的方程亍+2工一3-〃=0的解为也,工4(丐<*4)，.•*],x2,x3,X4分别是A、8、C、D的横坐标，xl<x3<x4<x2,二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，满分18分.)【详解】解：P(-3,-2)的横坐标为负数，纵坐标为负数，P(-3,-2)在第三象限，4【分析】根据公式-^-=—计算即可.3+912【详解】..•一个布袋中放着3个红球和9个黑球，331取出红球的概率是—,3+9124【分析】先通分，再根据同分母分式的减法运算法则计算，然后代入数值即可.3x-12~(x-4)(x+4)3x=533【详解】解：根据题意可得：o=l,b="z,c=-20,xlx—20,3331■■x+4~574~9~3【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得f•赴=f=-20,根据该方程一个根为-4,即可求出另一a【分析】先求出正五边形的外角为72。，则Z1=Z2=72°,进而得出ZAOB=36°,即可求解.【详解】解：根据题意可得：•.•正五边形的一个外角=72。，•Z1=Z2=72°,..•共需要正五边形的个数=*=1°(个)，三、解答题(本大题共8个小题，19~20题每题6分，21〜24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)【分析】根据求一个数的绝对值，二次根式的性质，有理数的乘法进行计算即可求解.=3+2-220.【答案】2<x<4【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集...该方程一个根为-4,令同=-4,.-4沔=一20,解得：易=5.17.【答案】y【分析】根据勾股定理，得AB=J?*=10,根据切线的性质，得到圆的半径等于边上的高，根据直角三角形的面积不变性计算即可.【详解】.Z4CB=90°,AC=8,8C=6,・•・AB=3+4=10,根据切线的性质，得到圆的半径等于人8边上的高，:,—ABxr――ACxBC,22AB105解不等式①得：x解不等式①得：x<4解不等式②得：x>2...不等式组的解集为：2vx<4【分析】(1)根据中位数的定义得出。为第七名学生和第八名学生成绩的平均数；找出抽取的九年级学生的竞赛成绩中出现次数最多的分数，即可求出加用抽取的九年级学生的竞赛成绩中80分以上的个数除以15,即可求出c；(2)用500A乘以抽取的八、九年级学生竞赛成绩中90分以上的人数所占百分比，即可求解.小问1详解】解：由频数分布直方图可知：第七名学生和第八名学生在C组，...一共抽取八年级学生15A,为第七名学生和第八名学生R4+R4(2)OD=—6【分析】(1)解两个函数联立组成的方程组即可；(2)由题意可得：CD垂直平分Q4,连接AD,如图，根据线段垂直平分线的性质可得AD=OD,设。(/n,0),根据两点间的距离建立方程，解方程即可求出答案.成绩的平均数，即。=竺一^=84；2..•抽取的九年级学生竞赛成绩中，100分出现了3次，出现次数最多，展=100,..•抽取的九年级学生竞赛成绩中，80分及以上的有12个，Ac=—xl00%=80%；故答案为：84,100,80%；【小问2详解】解：根据频数分布直方图可得，抽取的八年级学生竞赛成绩中，90分以上的有6个；根据抽取的九年级学生的竞赛成绩可得，90分以上的有6个：.•该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上学生人数为：500x-^-=200(人)，A4):x-4<0®2(x+l)<3x®••4(3,4)：【小问2详解】解：由题意可得：CD垂直平分。4,连接AD，如图，则AD=OD,则nr=(/«—3)~+42,解得/w=—,;,0D=—.623.【答案】(1)教学楼人8的高度为25.6米(2)无人机刚好离开视线的时间为12秒【分析】(1)过点8作BG±DC于点G,根据题意可得：£>C_LAC,AB_LAC,AC=24白米,ZTOB=30°,通过证明四边形GG4B为矩形，得出BG=AC=24右米，进而得出DG=BGtan30°=24米，最后根据线段之间的和差关系可得CG=AB=CD—DG,即可求解: (2)连接欢并延长，交DF于点、H,先求出EG=CG-CE=24米，进而得出BD=BE，贝4空EG=/BDG=",则DH=DEtan60°=48>/3米，即可求解.【小问1详解】解：过点8作BG1.DC于点G,根据题意可得：DC1AC.AB1AC,AC=24>/3米，血为=30°,VDC1AC,AB1AC,BG2DC,.•四边形GC4B为矩形，•：DF1DC,BG±DC,【小问1详解】【小问1详解】4y=—x3解：解方程组=—X]=3>得，7i=41力=-4y：：ZDBG=ZFDB=3炒，••CD长为49.6米，ACG=AB=CD-DG=49.6-24=25.6(米)，答：教学楼AB的高度为25.6米.【小问2详解】解：连接EB并延长，交DF于点H,...8=1.6米，CG=25.6米，•EG=CG—CE=24米，DG=EG=24米，BG1DC,:•BD=BE,..匕8昭=匕8/)0=90。一30。=60。，DE=DG+EG=48米，ADH=DEtan60°=485/3(米)，.•无人机以4右米/秒的速度飞行，..•离开视线曲的时间为：竺圭=12(秒)，4V324.【答案】(1)见解析(2)5【分析】(1)根据。是AC的中点，DEJ.AB于点氏得到CD=DA=AH到匕仞7=匕例C即可(2)根据sinZABD=^=—»设AD=J^r,AB=5x,运用勾股定理，得到5ABBD=,5x)2.(应广=2妓,结合sinZABD=W=蚩,得到DE=2x,运用勾股定理，得到BE=^2y/5xj2-(2x)2=4x»从而得到AE=x,EF=ED-DF=DE-AF=2x-|,在RuA£F中，实施勾股定理计算x即可.【小问1详解】••CD=ZM，,:DEJ.AB，是。。的直径,•DA=AH^•DA=AH^:、CD=DA=AH，:・AF=DF•【小问2详解】VDEJ.AB人B是0。的直径，•ZADB=90°,.…-AD•sinRD=—=---，5AB设AD=45x,AB=5x,...八3、_必_DE,sinZABD=—=---，5BD在RUA£F中，AF2=AE2+EF2»:.DE=2x,・•・BE=J(2㈤2_(2x)2=4x，.・.AE=x,EF=ED-DF=DE-AF=^2x-|解得x=2,:.AB=5x=10,.oo的半径为5.25.【答案】(1)①见解析：②不变化，ZDPQ=90°,理由见解析：®AQ=42OP,理由见解析；(2)AQ=CP,理由见解析【分析】(1)①根据正方形的性质证明aDCP^BCP,即可得到结论；②作PM±AByPN1AD,垂足分别为点N,如图，可得PM=PN，证明四边形AMPN是矩形，推出/MPN=泌,证明RlD/WmR[_QPM(HL),得出ZDPN=2QPM,进而可得结论;③作③作PEVAO交AB于点氏作EFVOB于点F,如图，证明AQ=BEtBE=^EF即可得出结论；(2)先证明PQ=PB，作PE//BC交AB于点E,EG//AC^BC=^G,如图，则四边形PEGC是平行四边形，可得EG=PC,一APE"EG都是等边三角形，进一步即可证得结论.【详解】(1)①证明：..•四边形ABCD是正方形，・.・CD=CB,ZDCA=ZBCA=45°,,:CP=CP，②/DPQ的大小不发生变化，ZDPe=90°；证明：作PMA.AB.PNLAD,垂足分别为点M、N,如图,.•四边形ABCD是正方形,AZmC=ZBAC=45°,4D4B=90。,.•四边形AMPV是矩形，PM=PN,PD=PQ,PM=PN,.Rt_DPN=Rt_CPM(HL),・•./DPN=ZQPM,ZQPN+ZQPM=90。,・.・ZQPN+/DPN=90°,即ZDPQ=90°；③AQ=^2OP^证明：作PEA.AO交人B于点E,作EFlOB于点F,如图,..•四边形ABCD..•四边形ABCD是正方形,.DAC=45。，£408=90。，AZAEP=45°,四边形。匹底尸是矩形,・•・ZPAE=APEA=45°,EF=OP,'・•PD=PB，PD=PQ,作PMVAE于点则QM=BMyAM=EM,:・BE=----------=V2EF,sin45°(2)AQ=CF；证明：.•四边形ABCD是菱形，Z4^C=60°,・•・AB=BC,AC±BD,DO=BO,AMBC是等边三角形，AC垂直平分BD，.ZBAC=60°,PD=PB,•；PD=PQ,作地〃BC交AB于点£EG//AC交BC于点、G,如图,则四边形PEGC是平行四边形，ZGEB=ZBAC=60°,ZAEP=ZABC=60°f:.EG=PC,二APEjBEG都是等边三角形,ZEFB=90。,AEBF=45°,FFr-作PM作PMLAB于点M,则QM=EM,QA=BE,26.【答案】(1)a=-\(2)存在D,),理由见详解24:・BE=EG=PC,(3)存在P(-一,=)或P(2,3),理由见详解39【分析】(1)根据待定系数法即可得出结果；(2)设,与)，轴交于点G,设。什,一产+2.+3),过点。作DE//y轴交B'U于点E，作DF点F,先证明/宠F是等腰直角三角形，再表示出DE的长度，根据二次函数的性质即可得出结果；(3)分两种情况讨论，当点P在直线BC下方时，与当点P在直线8C上方时.【小问1详解】解：抛物线y=ax2-2ax+3与x轴交于点A(-1,0),得。+M+3=0,解得：〃=一1；【小问2详解】解：存在。(一?,耳)，理由如下：24设8'C'与y轴交于点G,由(1)中结论a=-\,得抛物线的解析式为)，=-/+2工+3,当y=0时，x,=-1,x2=3，即A(—1,0),B(3,0),C(0,3),OB=OC,匕BOC=90。，即访