空间向量的线性运算（练习）-2022-2023学年高二数学同步练习（苏教版2019选择性必修第二册）

空间向量的线性运算（练习）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂

（苏教版2019选择性必修第二册）业

一、单选题（共24分）

1.下列说法正确的是（）

A.任一空间向量与它的相反向量都不相等

B.不相等的两个空间向量的模必不相等

C.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小

D.将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆

【答案】C

【解析】

【分析】

取零向量可判断A选项；利用任意一个非零向量与其相反向量可判断B选项；利用向量不能比大

小可判断C选项；利用单位向量的概念可判断D选项.

【详解】

对于A选项，零向量与它的相反向量相等，A错；

对于B选项，任意一个非零向量与其相反向量不相等，但它们的模相等，B错；

对于C选项，同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小，C对；

对于D选项，将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个球，D错.

故选：C.

2.在长方体4BCD-A/iGDi中，荏+而+西等于（）

A.ACB.AGC.西D.西

【答案】B

【解析】

【分析】

根据长方体ABCO-ABiCiDi，得到相等的向量，再利用空间向量的加法法则进行计算.

【详解】

如图，可得而=就，函二元,所以而+而+西=而+^+西*=温.

故选：B

3.在平行六面体A8C0—中，下列四对向量：①荏与毓\②彳B与西；③而与

瓦豆④硕与瓦乙其中互为相反向量的有〃对，则〃等于（）

【答案】B

【解析】

【分析】

根据平行六面体的几何特征和相反向量的定义即可判断.

【详解】

对于①荏与启，长度相等，方向相反，互为相反向量；

对于②丽与西长度相等，但两向量不共线，.•.两向量不是相反向量；

对于③何与布，易知ABCI/是平行四边形，则两向量方向相反，大小相等，互为相反向量;

对于④砚与瓦下，易知40CB1是平行四边形，.•.这两向量长度相等，方向相同.

故互为相反向量的是①③，共有2对，n=2.

故选：B.

4.已知三棱柱/BC-4殳6，点P为线段BiG的中点，则费=()

\.-AB+AC+-AAiB.AB+-AC+—AA^

221221

C.-AB+-AC-AAiD.-AB+-AC+AAi

221221

【答案】D

【解析】

【分析】

根据空间向量的线性运算求解即可

【详解】

解：在三棱柱430—4/1点P为线段/Ci的中点，则

AB=A1B1,BC=B1C1,BrP=PC1=^B1C1,

所以AP=A4+&P=AA1+A/i+

___>__>]__>_>

=AA^+AB+—(<BA+i4C)

——AB+—AC+AAy,

221

5,三棱锥。—ABC中，点。在棱BC上，且BD=2DC,则而为

一,、‘‘‘、2-----、1.‘、

A.AD=0A+-0B--0C

33

....…—、y——、1一"'•

B.AD=-OA+-OB+-0C

33

一"一、‘‘、1--一、2——、

C.AD=OA--OB--0C

33

--k--、1--42--4

D.AD=-OA+-OB+-0C

33

【答案】D

【解析】

【分析】

利用向量加减运算及数乘运算求解即可.

【详解】

由题得：

AD=AO+00=A0+0B+~BD

=AO+0B+^'BC=-0A+OB+|(0C-0B)

k

=--O-A+-1OB、+-20C、

33

故选D

【点睛】

本题主要考查了空间向量的加减运算，数乘运算，属于基础题.

6.已知正方体/BCD—aB1GD1的棱长为1,设通=出BC=b,AC=c,则|d+另+可=

()

A.0B.3C.2+V2D.2或

【答案】D

【解析】

【分析】

利用向量加法的三角形法则即可求解

【详解】

由题意可得

\a+b+c\=\AB+~BC+AC\=\AC+AC\=2\AC\=2企.

故选：D

7.已知空间向量无3,且近=d+2丸BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则一定共线的三点是

()

A.A、B、CB.B、C、DC.A.B、DD.4、C、D

【答案】C

【解析】

【分析】

根据向量共线判断三点共线即可.

【详解】

解：前=前+而=-5a+6b+7a-2b=2a+4b

=2(a+2b)=2AB,

又荏与丽过同一点B,

，A.B、〃三点共线.

故选：C.

8.如图所示，在平行六面体力优》-48《〃中，E,F,G,H,P,0分别是44AB,BC,

LEF+GH+PQ=0

B.EF-GH-PQ=0

C.EF+GH-PQ=0

TTTT

EF-GH+PQ=0

【答案】A

【解析】

【分析】

通过相等向量进行平移，将能扇平移后可以首尾相接，最后得出结果即可.

【详解】

由题图观察，林,国,通平移后可以首尾相接，故有薪+法+而=匕

故选：A.

9.设热工是不共线的两个向量，且启+〃d=G,X，neR,则()

T——

A.A=jtz=0B.a=b=0

TTTT

C.A=0,b=0D.4=0,a=0

【答案】A

【解析】

【分析】

根据共线向量的定义即可判断答案.

【详解】

若征或力为零向量，则阳力共线，不合题意；

若AH0,则£1=—g,贝共线，不合题意，故4=0,同理〃=0,A正确.

故选：A.

10.在正四面体/BC。中，尸是/C的中点，£是DF的中点，若万4=2,丽=反反=冷则证=

A.ia-b+icB.^a-b+^cC.^a+b+^cD.ia-b+|c

【答案】A

【解析】

【分析】

利用空间向量加减法的运算法则即可得解.

【详解】

依题意，结合图形可得，

-->>>-->1>--，1[»»1>>1>1—>1

BE=BD+DE=-DB+-DF=-DB+-X-CDA+DC）=-DA-DB+-DC=-a-b+-c.

222、74444

故选：A.

11.如图，在四面体/BCD中，E,F,G,H分别为48,BC,CD,/C的中点，则

X近+前+而）化简的结果为（）

A.BFB.EHC.HGD.FG

【答案】C

【解析】

【分析】

根据向量的加法和数乘的几何意义，即可得到答案;

【详解】

,:|(AB+SC+CD)=|(^4C+CD)=-AD=|x27/G='HG.

故选：C.

12.如图，在正方形网格中，己知B,C三点不共线，P为平面ABC内一定点，点。为平面/BC

外任意一点，则下列向量能表示向量0P的为()

o

LOA+2AB4-2ACB.OA-3AB-2AC

C.07+3AB-2ACD.dl+2AB-3AC

【答案】C

【解析】

【分析】

根据/,B,C,P四点共面，可知存在唯一的实数对(%,y),使丽=%希+丫尼，结合图形可得

x,y的值，即可得到答案；

【详解】

根据4B,C,P四点共面，可知存在唯一的实数对(%,y),使丽=%荏+丫尼.

由图知％=3,y=-2,

故而=OA+AP=OA+3AB-2AC,

故选：C.

二、多选题(共8分)

13.下列说法错误的是()

A.在平面内共线的向量在空间不一定共线

B.在空间共线的向量在平面内不一定共线

C.在平面内共线的向量在空间一定不共线

D.在空间共线的向量在平面内一定共线

【答案】ABC

【解析】

【分析】

由在平面内共线的向量在空间一定共线判断AC,由在空间共线的向量在平面内一定共线判断BD.

【详解】

A.在平面内共线的向量在空间一定共线，故错误；

B.在空间共线的向量，平移到同一平面内一定共线，故错误；

C.在平面内共线的向量在空间一定共线，故错误；

D.在空间共线的向量，平移到同一平面内一定共线，故正确.

故选：ABC

14.在正方体ABCO中，下列各式运算结果为向量的是（）

A.（Z］。］——AB；

B.成:+融）-

C.（AD-AB）-2而i；

TTT

D.+DD］

【答案】AB

【解析】

【分析】

按照空间向量的加法法则和减法法则去逐个判断即可

【详解】

如图正方体-A/iGDi中：

D，C,

iB

选项A:-AB=ADI-AB=BDi,正确;

选项B：（而+函）一而7=跖一而7=西，正确；

选项C：（而一而）-2西=丽+西一3西=瓯-3西，错误；

选项D：（瓦万一罚）+函=（瓦五一瓦瓦）+西=西+西，错误.

故选：AB

15.如图所示，"是四面体的8。的棱6。的中点，点N在线段QV上，点尸在线段加,上，且加三

3/W,ON=^OM,设成=d,OB=b,OC=c,则下列等式成立的是（）

0

A.OM=-b—cB.AN=-b+-c-a

2233

C.AP=-b—c~aD.0P=-fld—b~\—c

444444

【答案】BD

【解析】

【分析】

由于五不共面，可以作为基底，将丽，前，而，而表示出来即可.

【详解】

由图可知，OM=i（O5+OC）=|（b+c）,A错误；

/i/V=W-a4=|0M-a4=|Xi（b+c）-a=|b+Jc-a,B正确；

而=3前=［（»+^Y）=露，C错误；

OP=OA+AP=d+-b+-c~a=-d+-b+-c,D正确；

444444

故选：BD.

16.已知三棱锥。一ABC,E,尸分别是OA,BC的中点，P为线段EF上一点，且PF=2EP,设

OA=a,OB=b,OC=c,则下列等式成立的是()

一'、1->1.

A.OF=-b+-cB.阮=一7+/+笆

22

、11—>-1

C.FP=--a+-b+-cD.而中+3+3

333

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据三角形内中点的结论及向量加法、减法的三角形法则逐个分析选项即可得出答案.

【详解】

如图，因为F为BC的中点，所以市=［赤+；灵=；3+3既故选项A正确;

EP=1£F=l(OF-O£)=-0F--0£=-f-b+-c)--x-07=--a+-b+-c,故选项B

33v7333\22732666

正确；

FP=-2EP=-2(--d+-b+-c)=-a--b--c,故选项C错误；

OP=OE+EP=-0A+(--a+-b+-c")=-a+-b+-c9故选项D正确.

故选：ABD.

三、填空题(共8分)

17.共线向量

(1)定义：表示空间向量的有向线段所在的直线,则这些向量叫做或平

行向量.

(2)共线向量定理：对于空间任意两个向量入b(b^O),五〃3的充要条件是存在实数儿使

【答案】(1).互相平行或重合(2).共线向量(3).a=Ab

【解析】

【分析】

根据共线向量的定义，即可知各空的应填内容.

【详解】

由定义，共线向量空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，即为共线向量或平行向量,

而其充要条件为存在实数儿使2=Ab.

故答案为：互相平行或重合，共线向量，a=Ab.

18.下列向量中，真命题是.（填序号）

①若尔B、a〃在一条直线上，则屈与而是共线向量；

②若/、B、a〃不在一条直线上，则荏与而不是共线向量；

③向量屈与方是共线向量，则4、B、a〃四点必在一条直线上；

④向量屈与而是共线向量，则力、B、。三点必在一条直线上.

【答案】①

【解析】

【分析】

由向量平行共线的定义，依次对四个命题判断即可.

【详解】

对于①，若从B、C、〃在一条直线上，则南与而是共线向量，故①正确;

对于②，若/、B、a〃构成平行四边形时，A,B、a〃不在一条直线上，但是荏与丽是共线

向量，故②不正确；

对于③，若力、B、a〃构成平行四边形时，/、B、a〃不在一条直线上，但是荏与而是共线

向量，故③不正确；

对于④，若从B、a。构成平行四边形时，/、B、。不在一条直线上，但是荏与前是共线向

量，故④不正确；

故答案为：①

19.如图所示，在平行六面体488-小8‘。'。’的棱中，与向量H模相等的向量有

个.

【解析】

【分析】

根据向量模长相等即可结合几何体特征求解.

【详解】

与44'模长相等的向量有：A'A,BB',B'B,CC',C'C,DD',D'D共有7个.

故答案为：7

20.如图，在长方体4BC0—A/1C1D1中，P是40的中点，点M,Q分别在CQ上，且D1M=

gDG，CQ=gcG.若丽+丽=a^+b而+c丽，则a+b-c=.

【答案】1

【解析】

【分析】

根据向量的加法与减法的三角形法则转化即可.

【详解】

因为所=PD+DC+CQ=|AD+AB+^CCI=AB+^AD+^AA^,

PM=PD+DD]+OiM=“04-AAr+"心=+^AD+AAr,

所以所+丽=g超+而+£引，

所以a=£b=1,c=p

所以a+b-c=g+l-g=1.

故答案为：1

四、解答题（共36分）

如图所示，在正方体/BCO-&B1GD1中，化简向量表达式：

21.AB+CD+BC+DA；

22.AAi+BiG+D】D；

23.AA-^+B]Ci+DyD+CB.

【答案】21.0

22.AD

23.0

【解析】

【分析】

(1)(2)(3)结合图形，根据空间向量的线性运算直接化简可得.

【21题详解】

AB+CD+~BC+DA=AB+~BC+CD+DA=AC+CD+DA=AD-AD=0

[22题详解】

由图知，81cl=4也

所以A/li+B]C]+D]D=AA^+AiDi+D^D=AD^+D】D=AD

【23题详解】

由图知，CB=DA

所以由（2）可得标+瓦%+瓦5+怎=诟+9=而一通=6

24.如图，已知M,N分别为四面体/一BCO的面8C0与面ACO的重心，G为AM上一点，且

GM:GA=1:3.求证：B,G,N三点共线.

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】

设=五，AC=b,AD=c,结合已知条件可得BN=qBG,再由BG,BN有公共端点，即可得

结论

【详解】

证明：取C。的中点E,连接AE,BE,

因为M,N分别为四面体A-BCO的面BCD与面4CD的重心,

所以M在BE上，N在AE上，

设AB=d,AC=b,AD=c,

因为“为^BCD的重心，

所以宿=AB+5M=AB+|x|（5C+而）

__k]__xk

=AB+-（BC+两

__kkk__k__k

=AB+-(AC-AB+AD-AB")

=—^AB+AC+A0)=,(a+b+c),

因为GM:GA=1:3,所以布=三彳标，

4

所以丽=BA+AG=^BA+-AM=-a+-(d+b+c)=--a+-b+-c,

4八7444

因为N为△4C0的重心，

所以丽=函+前=丽+1(前+而)=-a+^b+^c=^BG,

：.'BN//BG.

又BNCBG=B,

：.B,G,N三点共线.

如图，已知空间四边形4BC0,连接AC,BD,E,F,G分别是BC,CD,OB的中点，请化简:

26.AB+GD+EC,并在图中标出化简结果的向量.

【答案】25.AD

26.AF,答案见解析

【解析】

【分析】

根据向量的线性运算直接分别化简.

【25题详解】

AB-CB-DC=AB+BC+CD=AD；

【26题详解】

如图所示,

连接GF,因为E,F,G分别是8C,CD,DB的中点，

所以而=前，GF=EC,

所以通+GD+EC=AB+BG+GF=AF.

如图所示，在平行六面体/BCD-A/IGDI中，"、N分别是/&、a'的中点.设瓯=五，AB=

27.已知尸是GA的中点，用G、3、［表示而、而1而+西；

28.已知尸在线段GDi上，且流=点用五、丸，表示丽.

【答案】27.AP=a+cd—b,A-1N=—a+bH—c,MP+NC1=，a+「b+，c

一5(21

犯Ap+c+-b

3

【解析】

【分析】

由空间向量的线性运算可得.

【27题详解】

因为"、，乂尸分别是441、BC、G5的中点

所以，AP=AD^+D^P=（A47+AD）+^AB=a+c+^b；

A^N=A^A+AN=-AAi+AB+^AD=-a+b+|c；

MP+西=（AL474-4也+*）+（觉+CC\）

i----*---*i---ki---k----kq----kq---*i---k

=-AA.+AD+-AB+-AD+AA=-AA.+-AD+-AB

212212122

3-.1T,3

=-a+-D+-c；

222

【28题详解】

因为鬻=所以QP=

rDIZJ

所以AP=AD1+D]P=AAr+AD+^AB=a+c+^b.

如图，正方体ABC。-A/iCiDi中，点中/分别是上底面9当口。1和侧面CQDi。的中心,分别

求满足下列各式的x,必z的值.

29.AE=xAD+yAB+z/L4；；

30.AF=xAD4-yAB+zAAt；

31.EF=xAD4-yAB+zAAt.

【答案】29.x=y=|,z=1

30.x=l,y=z=|

31.x=1,y=0,z=

【解析】

【分析】

（1）由向量加法的三角形法则和四边形法则得荏=可+曜和砧=*荏+而），由此即可

求出结果；

（2）由向量加法的三角形法则和四边形法则得方=而+前和方=“荏+丽＞由此即可

求出结果；

（3）因为阮=希一荏，由⑴，（2）可知，~EF=^AD~^AA［,由此即可求出结果.

【29题详解】

解：由向量加法的三角形法则得，荏=西+彳］,

由平行四边形法则和向量相等得，碇=g（4瓦+4瓦）=［（荏+通）;

所以荏=河+砧=研+^（南+而）=^AD+^AB+AA^,

1

所以％=y=-,z=1；

【30题详解】

解：由向量加法的三角形法则得，AF=AD+DF,

由四边形法则和向量相等得，而=*沆+瓯）=*荏+京）;

所以不=AD+DF=AD+^（AB+说）=AD+^AB+

所以4=l,y=z=1.

【31题详解】

解：由(1),(2)可知，ER=AF_4E=+

、前」再，

221

所以％=|,y=O,z=

如图，在长方体488-小8‘。’。'中，点忆N分别是不力，B'B的中点，点。为B。’的中

点.设=a,AD=b,AA=c,用2,b,^表示下列向量:

33.D'N,OM.

【答案】32.AC=a+b-,

AB=a+c；

A'D=b-c；

DB=a-b-c；

33.D'N=a-b--c；

2

1-17"

OM=——a—b.

22

【解析】

【分析】

根据图形和空间向量的线性运算依次求解即可.

[32题详解】

AC=AB+BC=a+b；

AB=AB+AA=d+c；

A'DAD-AA'=b-c；

D'B=AB-AD'=AB-(AD+AA')=a-(b+c)=a-b-c；

【33题详解】

DN=DB+BN=DB--BB=AB-AD--AA=a-b--

222

kkkk

__k__k__k]---]---]---]__k---__k

OM=AM-AO-2("+确=]"'--(AD+AAf+AB)

1-TT>1TrtI-17"

二—2AB2—AD2=­2a—b.

如图，在空间四边形4BCD中，已知G为△BCD的重心，E,凡H分别为边CD,4D和BC的中点，化

简下列各式：

34.ATG+-1BTE--1A7C；

32

35.+/4C-AD)；

1T1T1T

36.-AB+-AC+-AD.

333

【答案】34.AF

35.FH

36.AG

【解析】

【分析】

(1)根据向量共线，加法与减法运算求解即可；

(2)根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则求解即可；

(3)根据5诟=6+/(晶-n)+/筋-几)化简求值即可.

【34题详解】

解：因为G为△BCO的重心，E,尸为边CD,/0的中点，

所以公+三届一三/=/+诟+三薪一L£:=赤+三届+三薪一三公

3232332

=48+BE—24c=4E--2AC=AE-FE=AE+EF=AF,

T1T1—

所以=

【35题详解】

解：因为E,匕，分别为边CD,AO和BC的中点，

所以：（薪+/一众）=|（2AW-AD）=AH-^AD=AH-AF=FH

【36题详解】

〔T171T1/T—T、T1/T1/

解：-AB+-AC+-AD=-(AB+AC+AD)=AB+-(AC-AB)+-(/2-硝

3333\✓3\J3\

T/T-*\TT2TTT

=AB+-(BC+BD)=AB+-x2BE=AB+-BE=AB+BG=AG

3\)33

37.如图，在正方