九年级反比例函数拓展题

反比例函数图象基本结论一

如图，矩形OABC顶点A,C分别在x轴，y轴正半轴上

k

反比例函数y=［图象在第一象限分别交AB于D,交BC于E

一ADCE证明一：过D作y轴垂线段垂足F,过E作x轴垂线段垂足G

则有"---=---：矩形矩形

ABCBSOADF=SOGEC,\OAxAD=OGxGE

ADOGADCE

II辅助线I\---=---,即n---=---

||证明一1GEOAABCB

II证明二I

nsu

证明二：S矩形OADF=S矩形OGEC,

S矩形OADFS矩形OGECADCE

、----------------------------艮n—

S矩形OABCS矩形OABCABCB

ADCEADCEBDBE

一：结论除了-^石=7石，还可以写成工£==威=R等等价形式。

A±>C.DL)D11D

二：如双曲线不是与AB,BC直接相交，而是与它们延长线交于D,E点,

结论与证法不变。

反比例函数图象基本结论二

k

如图，A,B是反比例函数尸］第一象限图象上任意两点。

过A作y轴垂线段垂足C,过B作x轴垂线段垂足D

证明一：延长DB,CA交于E点。

||辅助线一|EAEB

由基本结论一，有俞=赤，根据相似知识可知AB〃CD

11证明一|hChD

II辅助线二I

II证明二I

IW1证明二：连AO,BO,BC,AD,分别过A,B作CD垂线段垂足E,F.

SAACO=SABDO,\AACD=SABDC

\AE平行且等于BF,四边形ABFE为平行四边形（矩形）

\AB〃EF即AB〃CD

-：A,B两点交换谁向x轴作垂线段，谁向y轴作垂线段，结论与证法不变

-：将A,B放在双曲线两支上，结论与证法不变

反比例函数图象基本结论三

如图，A,B是反比例函数尸:第一象限图象上任意两点。

直线AB交y轴于C点，交x轴于D点

证明一：过A作y轴垂线段垂足E,过B作x轴垂线段垂足F

由基本结论二，AB/7EF

刍'四边形AEFD,CEFB均为平行四边形

1\CB=EF=AD,即AC=BD

证明二：过A作y轴垂线段垂足E,过B作x轴垂线段垂足F

EA与FB交于点G。由相似结合反比例函数图象基本结论一

一CAEAFBDB

^AB=AG=BG=ABJxAC=BD

拓展：当A,B位于双曲线两支上时，结论与证法不变。

反比例函数图象等角模型一

k

如图，平行四边形ABCD顶点A,B位于反比例函数产（第一象限的图象上,

C,D分别位于x轴正半轴和y轴正半轴上，则必然有&=◎，点=4

啊线二I证明一：延长直线AB,分别交y轴、x轴于E,F。

噂甄L取AB中点G,连GO交DC于H。

由反比例函数图象基本结论三知，G也是EF中点。

'短=4=立，\H为DC中点，\GO〃BC

\&=&=@,进而可知点=口=3

证明二：延长直线AB,分别交y轴、x轴于E,Fo

过C点作y轴平行线，交AB于L构平行四边形EDCI

\EI=DC=AB,即EA=IB,又由基本结论三知EA=BF

\IB=BF,'立=垃=内，同理可证W=3

OC

反比例函数图象等角模型二

如图，平行四边形ABCD顶点A,B位于反比例函数尸:第一象限的图象上,

C,D分别位于y轴负半轴和x轴负半轴上，则必然有&=&，4=3

证明一：延长直线AB,分别交y轴、x轴于E,Fo

取AB中点G,连GO并延长交DC于H。

由反比例函数图象基本结论三知，G也是EF中点。

\口=蟠=立=4，\H为DC中点，\GH〃BC

\社=必=熄，进而可推4=0

证明二：延长直线AB,分别交y轴、x轴于E,Fo

过C作x轴垂线，交直线AB于I,构平行四边形DCIF

\FI=DC=AB，又由基本结论三知AE=BF,\BE=BI

'社=垃=@,进而可推W=3

反比例函数图象等角模型三

如图，A,B为反比例函数厂;第一象限图象上任意两点,

连AO并延长交反比例函数图象另一支于C,连接直线AB与BC

贝!I必然有口=&，&=3

II辅助线I

IW1

证明：取AB中点H,由基本结论三知H为DE中点。

连HO,显然H0为AACB中位线

\@=应=@,进而可推

反比例函数图象等角模型应用一:

(11年武汉)16.如图，平行四边形ABCD的顶点A,B的坐标分别是A(-1,0),

k

B(0,-2),顶点C,D在双曲线尸(上，边AD交y轴于点E,且四边形BCDE

的面积是4ABE面积的5倍，则k.

解：TS平行四边形ABCD=6SZiABE,\AD=3AE。

由等角模型二知⑥AO=^AO,\AE=AB。

过D作DF垂直x轴，△ADFs2^ABO,AF=3AO=3,

DF=3OB=6,\D坐标（2,6），k=12.

反比例函数图象等角模型应用二:

(13年武汉)15.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC=2AB,

k

A,B两点的坐标分别是(-1,0),(0,2),C,D两点在反比例函数尸1的图象上,

则k的值等于,

解：作C关于y轴垂线段CE,根据等角模型一,

^ABO=6BE,xAABO^ACBE,

贝！jBE=2BO=4,CE=2AO=2,

\C(-2,6),k=-12o

k

(15常州)28.如图，反比例函数y=q的图象与一次函数尸的图象交于点A、B,

点B的横坐标是4.点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方.

(1)若点P的坐标是(1,4),直接写出k的值和aPAB的面积；

(2)设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N,求证：△PMN是等腰三角形；

(3)设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点(与点P、B不重合)，

连接AQ、BQ,比较出AQ与出BQ的大小，并说明理由.

^^(2)由等角模型三可知，&=熄，\aPMN为等腰三角形

||晅逊峋具体证法参考前面,略)

唯1(3)延长QB与x轴相交，由等角模型三可知，忌=读，

襁AQ=J-NCA=Q-W,tPBQ=QBN=◎-点

AQ=#BQ

-------

D

反比例函数图象等角模型应用四:

(题目来源自网络，2017实验中学二模)

3

如豆，点A,B在双曲线y=-(xV0)上，连接OA,AB如图，点A,B在双曲线y=/(xV0)上，连接OA,AB,

拓展A以为边作平行四边若点恰好落在

以OA,AB为边作平行四边.形OABC,若点C恰好落在OA,AB/OABC,C

双曲线(一(x>0)上，则此任平行四边形OABC的面积为双曲线y=?(x>0)上，则此时平行四边形OABC的面积为一

nwi||最终解答一|

口画法辆线］在尸三上任取一点C,过C作y轴垂线段垂足为D,过D作CO平行线交x轴于E

II最终解答二I画法:

11画法详解i

11面积辅助线i则四边形ABDE为平行四边形。根据等角模型一，有U=Q此时过E点作x轴垂线,

口面积转换i

将关于垂线对称得射线与尸三图象交点即为点。过作平行线，

11目标图形।DD，，EDAADE

与y=」图象交点即为B点

x

y=m/x“OFOH,OHa

设定=而=%则而=前

由S矩形GFOH=S矩形AFOJxa=S矩形KEODx(二尸

a-1

a(a-1)2m1m

得na=m"(£)2,a+—=—+2

aan

S平行四边形OABC=S多边形GAIEOH=S矩形GFOH・S矩形AFEI

n1m24m.----------

=na--=n(a--)=n-4=n—r+=Jm2+4mn

aa11211V

反比例函数图象其他几何结论一：反比例函数图象其他几何结论二：

kiki

如图，A,B反比例函数尸一第一象限图象上任意两点。如图，A为反比例函数广，第一象限图象上任意一点。

X

射线OA,0B分别交反比例函数产晟图象于C,D两点过A做x轴垂线和y轴垂线，两线交反比例函数产%图象于B,C两点

则AB〃CD(k-ki)2

贝!!SZ\ABC为定2值(ki>k2时结论相同)

2Kl

反比例函数图象其他几何结论三：反比例函数图象其他几何结论四:

如图，A,B是反比例函数y=：第一象限图象上两点,如图，A是反比例函数y=：第一象限图象上任意一点，连0A,

并满足OA=AB,⑥AB=90。，(yA>yB)过A作x轴(或y轴)垂线段垂足B,过B作0A平行线交一象限双曲线于C

A点横坐标—

用A点纵坐标==

反比例函数图象其他几何结论五：反比例函数图象其他几何结论六：

k如图，矩形OABC顶点A,C分别位于x轴，y轴正半轴。

如图，A是反比例函数y=（第一象限图象上任意一点，连0A,反比例函数产;第一象限图象交矩形OABC两边于D,E点

以A为圆心，A0为半径画圆交x轴（或y轴）于B

则直线AB与反比例函数图象相切将ABED沿ED翻折，若B点刚好落在x轴上的点F处

贝！|EO=EF

反比例函数图象其他几何结论九：

反比例函数图象其他几何结论七：反比例函数图象其他几何结论八：

为反比例函数产£第一象限图象上任意一点，连

等腰三角形OAB中AO=AB,B在x轴正半轴上。条件同结论七，延长CO至E使OE=OCAOA

反比例函数产:图象分别交AO,AB于C,D则△CADs^DAE

以A为圆心，AO为半径画圆，交x轴（或y轴）于D

贝！|08的=0人2线段AD交反比例函数y=£G2＜匕）第一象限图象于C

反比例函数图象其他几何结论十：

k

如图，点A是反比例函数y=1(x>0)图象上任意一点。

以Ai为圆心，AQ长为半径画圆，交x轴于B].

过BJ乍0入平行线，交反比例函数图象于A?.过A、作A》[平行线，交x轴于B.

过B,作OA1平行线，交反比例函数图象于A3.过A3作A,B1平行线，交x轴于By

以蛇类推一直到A.和B”

则(l)OBn=aOB】

⑵若A1坐标为(a,b),则上坐标为((6+而ja,(«-而)b)

反比例函数结论解题示例1

(17常州)如图，己知点A是一次函数y=；x(xNO)图像上一点，

过点A作x轴的垂线LB是1上一点(B在A的上方)，在AB的右侧

以AB为斜边作等腰直角三角形ABC,反比例函数y=：(x>0)的图

像过点B、C,若△()河的面积为6,则AABC的面积是

反比例函数结论解题示例2

(17南通)如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，

反比例函数k：(x>0)的图象经过点A(5,12),且与边BC交于点D.

若AB=BD,则点D的坐标为

反比例函数结论解题示例3

(17成都)在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点P(x,y),

我们把点P(L-)称为点P的“倒影点”，直线y=-x+l上有两点A,B,

xy

它们的倒影点ATB，均在反比例函数产k/x的图象上.若AB=2VL则Q

反比例函数结论解题示例4

4

（08泸州）如图P］（Xi，yi）,P2（X2,yJ.......P（x,yj在函数产一（x>0）的图像上,

nnX

△PQAi，△P2A1A2,AP3A2A3……△PnAI1」An都是等腰直角三角形，

斜边OAi、A1A2、A2A3,……An4An都在x轴上

⑴求匕的坐标

⑵求yi+%+y3+......+yio的值

反比例函数结论解题示例5

4k

(09武汉)如图，直线产与双曲线尸一(x>0)交于点A.将直线

3X

49k

y=、x向右平移彳个单位后，与双曲线y=—(x>0)交于点B,与x

3LX

AO

轴交于点C,若高7=2,则k=.

X

反比例函数结论解题示例6

./Jk

（10武汉）如图，直线y=—1x+b与y轴交于点A,与双曲线尸一

5X

在第一象限交于B、C两点，且AB・AC=4,则仁o

（16十堰）如图，将边长为10的正三角形OAB放置于平面直角坐标系xOy中,

C是AB边上的动点（不与端点A,B重合），作CDPB于点D,若点C,D

都在双曲线y=5上（k>0,x>0）,贝!|k的值为（

)