九年级数学综合训练

九年级方程(组)与不等式(组)综合训练

1.某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品

牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件.商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售,

请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？

2.某镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷.

(1)求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率；

(2)若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？

3.2014年12月28日“青烟威荣”城际铁路正式开通.从烟台到北京的高铁里程比普快里程缩短了

81千米，运行时间减少了9小时.已知烟台到北京的普快列车里程约1026千米，高铁平均时速为普快平

均时速的2.5倍.

(1)求高铁列车的平均时速；

(2)某日王老师要去距离烟台大约630千米的某市参加14：00召开的会议，如果他买到当日8：40从

烟台至该市的高铁票，而且从该市火车站到会议地点最多需要1.5小时，试问在高铁列车准点到达的情况

下他能在开会之前赶到吗？

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4.宁波火车站北广场将于2015年底投入使用，计划在广场内种植A,B两种花木共6600棵，若A花

木数量是B花木数量的2倍少600棵.

(DA,B两种花木的数量分别是多少棵？

(2)如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或8花木40棵，应分别

安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务？

5.某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了

扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可

以多售出5件.

(1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？

(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存,则每件商品应降价多少元？

6.“六一”期间，小张购进100只两种型号的文具进行销售，其进价和售价之间的关系如下表:

型号进价(元/只)售价(元/只)

4型1012

8型1523

(1)小张如何进货，使进货款恰好为1300元？

(2)要使销售文具所获利润最大，且所获利润不超过进货金额的40%,请你帮小张设计一个进货方案,

并求出其所获利润的最大值.

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三角函数综合训练

1.如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B

的仰角是30。，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48。.若坡角ZME

=30°,求大树的高度.（结果保留整数.参考数据：sin48020.74,cos48°弋0.67,tan48°^1.11,小心

1.73)

2.如图，某建筑物8c顶部有一旗杆A8,且点A,B,C在同一条直线上.小红在。处观测旗杆顶部

A的仰角为47°,观测旗杆底部B的仰角为42。.已知点D到地面的距离DE为1.56m,EC=21m,求旗杆

AB的高度和建筑物8C的高度（结果保留小数点后一位）.（参考数据：tan47°七1.07,tan42°-0.90）

E

3.如图，登山缆车从点4出发，途经点B后到达终点C.其中AB段与BC段的运行路程均为200m,

且AB段的运行路线与水平面的夹角为30。，8c段的运行路线与水平面的夹角为42。，求缆车从点A运行

到点C的垂直上升的距离.（参考数据：sin42°40.67,cos42°70.74,tan42°\0.90）

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图形的变换综合训练

1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出

了格点三角形A8C(顶点是网格线的交点).

(1)先将△A8C竖直向上平移6个单位，再水平向右平移3个单

位得到△4B1G，请画出△ASG；

(2)将△ABiG绕3点顺时针旋转90。，得△4BC2，请画出

△48C2；

(3)线段8G变换到B0的过程中扫过区域的面积为.

2.如图，将△4BC在网格中(网格中每个小正方形的边长均为1)

依次进行位似变换、轴对称变换和平移变换后得到△AEG.

(□△ABC与△A181G的位似比等于.

(2)在网格中画出△48G关于＞•轴的轴对称图形△A2B2C2;

(3)请写出△43&C3是由282c2怎样平移得到的？

(4)设点尸(x,y)为AABC内一点，依次经过上述三次变换后,

P的对应点的坐标为.

3.如图，已知，在AABC中，CA=CB,NACB=90。，E、尸分别是C4、C8边的三等分点.将

绕点C逆时针旋转a角(0。＜a＜90°),得到△MCM连接AM,BN.

A

(1)求证：AM=BN；

(2)当M4〃CN时，试求旋转角a的余弦值.

N

M

B

CF

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函数综合训练

1.如图，已知函数)，=-5+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,与函数y=x的图象交于点M,

点M的横坐标为2,在x轴上有一点0)(其中a>2),过点P作尢轴的垂线，分别交函数)=一5+人

和y=x的图象于点C、D.

(1)求点A的坐标；(2)若02=8,求。的值.

/??—7

2.已知反比例函数y=1一的图象的一支位于第一象限.

(1)判断该函数图象的另一支所在的象限，并求〃7的取值范围;

(2)如图，。为坐标原点，点4在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称,

若△0A8的面积为6,求机的值.

3.如图，一次函数)，=区+6伙<0)的图象经过点C(3,0),且与两坐标轴围成的三角形的面积为3.

(1)求该一次函数的解析式；

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4.在平面直角坐标系xOy中，过点(0,2)且平行于x轴的直线，与直线y=x-l交于点A,点A关于

直线x=l的对称点为B,抛物线Ci:y^+bx+c经过点4,B.

(1)求点A,B的坐标；

(2)求抛物线G的表达式及顶点坐标；

(3)若抛物线C2：旷=加(〃¥())与线段A8恰有一个公共点，结合函数的图象，求〃的取值范围.

5.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成.长方形的长是12m,宽是4m,按照图中所示的直角坐

标系，抛物线可以用y=—旨+法+c表示，且抛物线上的点C到墙面08的水平距离为3m,到地面OA

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的距离为号m.

(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面。4的距离；

(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m,宽为4m.如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车

能否安全通过？

(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等.如果灯离地面的高度不超过8m,

那么两排灯的水平距离最小是多少米?

6.某工厂生产一种产品，当产量至少为10吨，但不超过55吨时，每吨的成本y(万元)与产量x(吨)之

间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：

工(吨)102030

y(万元/吨)454035

(1)求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)当投入生产这种产品的总成本为1200万元时，求该产品的总产量；(注：总成本=每吨成本X总产

量)

(3)市场调查发现,这种产品每月销售量制吨)与销售单价〃(万元/吨)之间满足如图所示的函数关系.该

厂第一个月按同一销售单价卖出这种产品25吨，请求出该厂第一个月销售这种产品获得的利润.(注：利

润=售价一成本)

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三角形综合训练

1.已知：如图，在△ABC中，AB=AC,AO是BC边上的中线，AE//BC,CEVAE,垂足为E.

(1)求证：/XAB。丝△C4E；

(2)连接。E,线段。E与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论.

2.如图，已知△A8C,按如下步骤作图：①以4为圆心，AB长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为

半径画弧，两弧相交于点。；③连接8D,与AC交于点E,连接AD,CD.

(1)求证：△ABC4△AQC；(2)若NBAC=30。，NBCA=45。，AC=4,求BE的长.

3.如图，在D4BC。中，/BCD=120。,分别延长。C、BC到点E,F,

三角形.

(1)求证：AE=AF；(2)求/E4F1的度数.

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四边形综合训练

1.在D48CO中，NBC。的平分线与8A的延长线相交于点E,BHLEC于点”.求证：CH=EH.

2.如图，CE是△ABC外角/AC。的平分线，AF〃CD交CE于点、F,FG〃AC交C。于点G.

求证：四边形4CG尸是菱形.

3.如图，将SBC。的AQ边延长至点E,使。匹=会。，连接CE,F是BC边的中点，连接FD

(1)求证：四边形CED尸是平行四边形；(2)若4B=3,AO=4,NA=60。，求CE的长.

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4.如图，在矩形A8CQ中，AB=5,AD=3,点P是AB边上一点(不与A,8重合)，连接CP,过点P

作PQLCP交4。边于点Q,连接CQ.

(1)当△CDQ会△CPQ时，求AQ的长；

(2)取C。的中点M,连接M£>,MP,若MdP,求AQ的长.

5.如图，将24BC。沿过点A的直线/折叠，使点。落在AB边上的点。处，折痕/交C。边于点E,

连接BE.

(1)求证：四边形BCEO是平行四边形；

(2)若BE平分/ABC,求证：AB2=AE2+BE2.

6.如图，在矩形A8C。中，点E在边C£>上，将该矩形沿AE折叠，使点。落在边8c上的点F处,

过点尸作尸G〃CD,交AE于点G,连接。G.

(1)求证：四边形力EFG为菱形；

CE

(2)若CO=8,CF=4,求瓦的值.

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圆综合训练

1.如图，在△ABC中，BA=BC,以AB为直径的。。分别交AC、BC于点D、E,BC的延长线与。。

的切线AF交于点F.

(1)求证：ZABC=2ZCAF；

(2)若AC=2d!5,CE：EB=\：4,求CE的长.

2.如图，在△ABC中，AB=AC,以A8为直径的。。分别与BC,AC交于点£>,E.过点。作。0的

切线。F,交AC于点F.

(1)求证:DF1AC；

(2)若。。的半径为4,ZCDF=22.5°,求阴影部分的面积.

3.如图，P8为。。的切线，B为切点，过B作0P的垂线5A,垂足为C,交。。于点A,连接网、

A0,并延长A0交。。于点E,与PB的延长线交于点。.

(I)求证：物是。。的切线；

(2)若分OC号2，且0C=4,求外的长和tan。的值.

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4.如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10,AB=12.以BC为直径作。。交AB于点。，交AC于点

G,DFVAC,垂足为凡交CB的延长线于点E.

(1)求证：直线EF是。。的切线；

(2)求cos/E的值.

5.如图，在RtZXABC中，ZC=90°,NBAC的平分线4。交BC边于点。，以AB上一点。为圆心作

。。，使。。经过点4和点D

(1)判断直线8c与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若AC=3,ZB=30°.

①求。0的半径；

②设。。与AB边的另一个交点为E,求线段8。、BE与劣弧QE所围成的阴影部分的面积.(结果保

留根号和n)

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图形的相似综合训练

1.如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板QEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过

调整测量位置，使斜边。尸与地面保持平行，并使边OE与旗杆顶点A在同一直线上，已知。E=0.5米，

EF=0.25米，目测点。到地面的距离。G=1.5米，到旗杆的水平距离QC=20米，求旗杆的高度.

A

、、、

、、、

'、、、、、

C

B

2.如图，正方形ABC。中，M为BC上一点，尸是4M的中点，EFVAM,垂足为尸，交的延长线

于点E,交DC于点N.

(1)求证：

(2)若2B=12,BM=5,求£>E的长.

HMC

3.已知：如图，平行四边形ABCZ)的对角线相交于点0,点E在边8c的延长线上，且0E=0B,连

接。E

(1)求证：DELBE-,

(2)如果OEJ_CO,求证：BDCE=CDDE.

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初高中的衔接问题

1.小明在学习一元二次不等式的解法时发现，可以应用初中所学知识，”用因式分解法解一元二次方

程”的方法求解.方法如下：

解不等式：X2-4>0.

解：•.•f-4=(x+2)(x—2),

...原不等式可化为(x+2)(x-2)：>0,

•••两数相乘，同号为正，

x+2>0x+2<0

二①或②

x-2>0x-2<0

由①得，尤>2,由②得x<-2,

...原不等式的解集为x>2或x<-2.

1

请用以上方法解下列不等式：(1)1—9>0；(2)=<0.

2.小明在课外学习时遇到这样一个问题：

定义：如果二次函数y=+历》+。(。|/0,0,bl,Cl是常数)与y=42f+匕2X+C2(42/0,02,3,

C2是常数)满足m+s=o,bi=b2,Cl+C2=0,则称这两个函数互为“旋转函数”.

求函数y=—f+3x—2的“旋转函数”.

小明是这样思考的：由函数y=-d+Sx—Z可知，0=—1,b}=3,c\——2,根据ai+“2=0，b\—

匕2,C|+C2=O,求出z,b2,c2,就能确定这个函数的“旋转函数”.

请参考小明的方法解决下面问题：

(1)写出函数)一一f+3]—2的“旋转函数”；

4

(2)若函数y=-x2+§n7x—2与y=f—2〃x+〃互为“旋转函数"，求(m+")2°”的值；

(3)已知函数y=—/x+l)(x—4)的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点A,B,C关于原

点的对称点分别是Ai，Bi，G，试证明经过点4,Bi，G的二次函数与函数y=-/x+D(x—4)互为“旋

转函数”.

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3.理解：数学兴趣小组在探究如何求tanl5。的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：

思路一如图①，在RtZVIBC中，/C=90。，/A8C=30。，延长CB至点。，使B£>=84,连接AD

设AC=1,则20=2A=2,BC=4

tanD=tanl5»

________2_小______H

一（2+小）（2-小）一—“3，第4题图①

思路二利用科普书上的邳阑蜒岭式tan”折黑就

假设a=60。，£=45。代入差角正切公式:

tan600-tan45°小一1

o

tanl50=tan（60-45°）=l+tan60°tan45o=1+^/3—2—y[3.

思路三在顶角为30。的等腰三角形中，作腰上的高也可以…

思路四

请解决下列问题(上述思路仅供参考)

(1)类比：求出tan75°的值；

(2)应用：如图②，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A,则得A、C两

点间距离为60米，从A测得电视塔的视角(NC4D)为45。，求这座电视塔CD的高度；

|4

(3)拓展：如图③，直线尸那一1与双曲线尸工交于A、B两点，与y轴交于点C,将直线AB绕点C

旋转45。后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点尸的坐标：若不能，请说明理由.

I）

第5题图②

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