九年级数学中考一轮复习图形的旋转综合复习训练题

九年级数学中考一轮复习《图形的旋转》综合复习训练题(附答案)

1.尺规作图如图，已知：B、C、。三点共线，ZABC=ZCDE=9QQ,△ABC名△CDE,

并且△口)£可由△ABC逆时针旋转而得到.请你利用尺规作出旋转中心0(保留作图痕

迹，不写作法)，并直接写出旋转角度数.

2.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,3)8(-6,0)C(-1,0)

(1)在平面直角坐标系中画出△ABC及其关于y轴、原点分别对称的图形.

(2)画出△ABC绕坐标原点。逆时针方向旋转90。的图形.

3.在等边AABC中，AB=6,BD±AC,垂足为。，点E为AB边上一点，点尸为直线8。

上一点，连接EF,将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG,连结FG.

①如图1,当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接。G,则线段。G的长

为;

4.如图，已知N4O8=60°,在/AO8的平分线OM上有一点C,ZDC£=120°,当/

OCE的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线04、相交于点/入E.

(1)当NQCE绕点C旋转到CD与0A垂直时(如图1),请猜想OE+OD与0C的数量

关系，并说明理由；

(2)由(图1)的位置将/。CE绕点C逆时针旋转9角(0<0<90°),线段OE

与0C之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由.

5.如图，在边长为6的正方形ABCD内部有两个大小相同的长方形AEFG、HMCN,HM

与所相交于点P,HN与G尸相交于点。，AG=CM=x,AE=CN=y.

(1)用含有x、y的代数式表示长方形AEFG与长方形HMCN重叠部分的面积S四边彩HPFQ,

并求出x应满足的条件；

(2)当AG=AE,EF=2PE时，

①AG的长为.

②四边形AEFG旋转后能与四边形HMCN重合，请指出该图形所在平面内能够作为旋转

中心的所有点，并分别说明如何旋转的.

6.已知，在等边△4BC中，点E在区4的延长线上，点。在BC上，且ED=EC

(I)如图1,求证：AE=DB；

(2)如图2,将△8CE绕点C顺时针旋转60°至△4CF(点8、E的对应点分别为点4、

F),连接EF.在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对线段长

度之差等于48的长.

EE

（图2）

7.如图，点。为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，/XAOC是边长为2的等边三角形.

(1)写出△AOC的顶点C的坐标：.

(2)将aAOC沿x轴向右平移得到△080,则平移的距离是

(3)将△AOC绕原点。顺时针旋转得到△。。8,则旋转角可以是度

(4)连接A。，交0C于点E,求NAEO的度数.

如图，三角形PQR是三角形A8C经过某种变换后得到的图形，分别观察点A与点尸,

点8与点。，点C与点R的坐标之间的关系.

(1)若三角形ABC内任意一点M的坐标为(x,y),点M经过这种变换后得到点N,

根据你的发现，点N的坐标为.

(2)若三角形PQR先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形尸‘Q'R',

画出三角形P'Q'R'并求三角形P'AC的面积.

(3)直接写出AC与y轴交点的坐标

9.将一副直角三角板如图（1）放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板

的直角边完全重合.

（1）直接写出/AOC的度数为；

（2）含30°角的三角板位置保持不变，将含45°角的三角板绕点。顺时针方向旋转.

①如图2,射线BA与射线DC交于点E,NBED的平分线与N8O。的平分线交于点F,

求NEF。的度数；

②若将含45°角的三角板绕点。顺时针方向旋转一周至图2位置，在这一过程中，存在

/XCOD的其中一边与AB平行，请你直接写出所有满足条件的平行关系及相应的旋转角

度.

10.在等腰△ABC中，AB=AC,将线段54绕点B顺时针旋转到使BD_LAC于H,

连接AD并延长交BC的延长线于点P.

（1）依题意补全图形；

（2）若N54C=2a,求NBD4的大小（用含a的式子表示）；

（3）小明作了点。关于直线BC的对称点点£从而用等式表示线段OP与8c之间的

数量关系.请你用小明的思路补全图形并证明线段。P与8c之间的数量关系.

B

11.如图，△48C的三个顶点都在正方形网格的格点上，其中点4的坐标为(-1,0).

(1)在网格中作aA'B'C,使△/!'B'C'与△ABC关于原点O成中心对称；

(2)如果四边形BCDE是以BC为一边，且两条对角线相交于原点。的平行四边形，请

12.如图，在平面直角坐标系中，△A8C的三个顶点都在格点上，点A的坐标为(2,4).

(1)画出△ABC关于x轴对称的并写出点4的坐标4.

(2)画出△AiBiG绕原点。旋转180°后得到的282c2,并写出点儿的坐标A2

(3)△ABC是否为直角三角形？答(填是或者不是).

要求画出图形.

(1)画线段AC,使它的另一个端点C落在格点(即小正方形的顶点)上,且长度为3&；

(2)以线段AC为对角线，画一个凸四边形A8CD,使四边形ABCO既是中心对称图形

又是轴对称图形，顶点都在格点上，且边长是无理数；此时四边形ABCD的周长为

14.如图，在等边△BCD中，。凡L8C于点尸，点A为直线。F上一动点，以8为旋转中心,

把84顺时针方向旋转60°至BE,连接EC.

(1)当点A在线段。尸的延长线上时，

①求证：DA=CE；

②判断/OEC和/EOC的数量关系，并说明理由；

(2)当NDEC=45°时，连接4C,求/B4C的度数.

15.如图，△ABC中，AB=AC,ZBAC=5Qa,P是BC边上一点，将△A8P绕点A逆时

针旋转50°,点P旋转后的对应点为P'.

(1)画出旋转后的三角形；

(2)连接PP',若/BAP=20°,求NPPC的度数；

16.如图，将矩形ABC£＞绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形AEFG,E点正好落在边C。

上，连接BE,BG,且BG交4E于P.

(1)求证：ZCBE=—ZBAE；

2

(2)求证：BG=2PB；

(3)若AB=，H，BC=3,直接写出8G的长.

17.画图题：(不写画法)

(1)如图①，在10X10的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位.请作出△

ABC绕点P逆时针旋转90°的AA'B'C；

(2)如图②，四边形A'B'CD'是由四边形A8CD绕某一点旋转得到的，请通过作

图确定这个点，并把它命名为点O,再把四边形A8C。关于点。的中心对称图形A'B'

18.如图1,在等腰4ABC中，AB=AC,ZBAC=a,点P是线段AB的中点，点E是线段

C8延长线上一点，且PE=PC,将线段PC绕点P顺时针旋转a得到尸£>,连接30.

(1)如图2,若a=60°,其他条件不变，先补全图形，然后探究线段8。和BC之间的

数量关系，并说明理由.

(2)如图3,若a=90°,其他条件不变，探究线段8P、和BC之间的等量关系，

并说明理由.

19.在矩形A8CO中，将对角线CA绕着点C逆时针旋转a度得到C4'(0<a<180),连

接AA',作乙4。'的平分线CE,交44'于E,连接BE、DE.

(1)/a=NACB,依题意以尺规作图方式补全图1;

(2)在(1)的条件下，若AB=8,BC=]5,求CE的长;

(3)当旋转角度a为多少度时，线段BE、CE、OE满足8炉+0d=4。/?

20.按下列要求作图.

(1)如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用二种不同的方法分别

在下图方格内添涂黑二个小正方形，使阴影部分成为轴对称图形.(全等的阴影部分为同

方法二

(2)在图1的网格中找出所有能使A2的长度为5的格点用

(3)在图2中构造一个腰长为5的等腰三角形，使它的三个顶点都在格点上，且三角形

21.Rt^ABC中，ZABC=30°,将△ABC绕点C逆时针旋转至△ABC,使得点A恰好落

在AB上，Ab交8c于点。，连接BB'.

(I)求证：△A'8'C丝/vrB's.

(2)直接写出图中以点5为顶点的所有直角三角形.

参考答案

1.解：如图所示：点。即为所求.

■:4ABC%/XCDE,

：・NACB=NDEC,NA=NECD,

AZACB+ZBCE=90°,

JZOFC=ZOGC=NFCG=90°,

AZFOG=90Q,

，旋转角度是90°.

2.解：（1）如图所示，△ABC即为所求，其关于），轴对称的图形为关于原点对称

的图形为△GEE

（2）如图所示，△ABC绕坐标原点。逆时针方向旋转90°得到

3.解：①过。作。H_LGC于"，如图:

H

C

；线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG,点E与点8重合，且GF的延长线过点

C,

：.BG=BF,NFBG=60°,

ASG尸是等边三角形，

AZBFG=ZDFC=60°,BF=GF,

•.,等边△ABC,AB=6,BD±AC,

AZDCF=180°-ZBDC-ZDFC=30°,ZDBC=^ZABC=30Q,CD=^AC=—

222

43=3,

/BCG=NACB-NDCF=300

:.NBCG=NDBC,

：.BF=CF,

:.GF=CF,

RtZ\FDC中，ZDCF=30°,CD=3,

：.CF=2yf3,

；.G尸=2«,

n△C£>“中，DH=^CD=^-,

22

2_

:.FH=CF-CH=近,

2

GH=GF+FH=^巨,

2

+e)

n△G”£>中，£>G='\/GH2+DH：T挈)

故答案为：♦21；

②过E作EP_LAB交BQ于P,过H作M”_LBC交8。于M,连接PG,作BP中点N,

连接EN,如图：

•.*EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG,

••.△EGF是等边三角形，

AZEFG=ZEGF=ZGEF=6O0,ZEFH=120°,EF=GF,

\'/\ABC是等边三角形，

AZABC=60°,

AZABC+ZEFH=\^0°,

:・B、E、F、”共圆，

・•・NFBH=/FEH,

而△ABC是等边三角形，BDA.AC,

：.ZDBC=ZABD=30°,即NF3H=30°,

:・NFEH=30°,

AZF/7£=180°-AEFH-ZFEH=30°,

：.EF=HF=GF®9

VEP±AB,ZABD=30°,

AZEPB=60°,NEP尸=120°,

:・NEPF+NEGF=180°,

:・E、P、F、G共圆，

：.ZGPF=ZGEF=6Q°,

VMH±BC,NDBC=30°,

AZBMH=60°,

:./BMH=/GPF®,

而NGFP=NHFM③,

由①②®得△G“名△"五M(A4S),

：.PF=FM,

'JEPLAB,BP中点N,ZABD=30°,

:.EP=LBP=BN=NP,

2

:.PF+NP=FM+BN,

:.NF=LBM,

2

2

：.NF=MH,

：.NF+BN=MH+EP,即BF=MH+EP,

Rt/SBEP中，EP=®BE,

3

RtZ\MaB中，MH=叵BH,

_3

33

：.BE+BH=y[3BF,

则昵迎=唐

BF

故答案为：V3.

4.解：

(1)OE+OD=y[3OC.理由如下：

•.•。时是/408的平分线，

：.ZAOC=ZBOC=^ZAOB=30°,

2

'：CDLOA,：.ZODC=90Q

：.ZOCD=60°

：.ZOCE=ZDCE-ZOCD=60°,

在RtZ\OC£>中，O£>=OC・cos30°=1。(7,

_2

同理：OE=®0C,

2

：.OD+OE=43OCX

(2)OD+OE=MOC或OE-0D=4^0C.理由如下：

①如备用图1,过点C作CFLOA于点尸，CGLO8于点G,

，/OfC=/OGC=90°

VZAOB=60°,

/.ZFCG=120°,

同(1)的方法得，0尸=返0(7,OG=返。C,

22

：.OF+OG=yf3OC,

'：CFLOA,CG1OB,且点C在/AOB的平分线上，

：.CF=CG,

VZDC£=ZFCG=120°,

:.NDCF=/ECG,

:.△CFDmdCGE(ASA)

：.DF=EG,

：.OF=OD+DF=OD+EG,OG=OE-GE,

：.OF+OG=OD+OE,

：.OD+OE=y/3OC；

②如备用图2,过点C作CFJ_04于点尸，CGLOB于点G,

：.ZOFC=ZOGC=90°

VZAOB=60",

：.ZFCG^\20a,

同(1)的方法得，OF=®OC,OG=返OC,

22

：.OF+OG=y/3OC,

'：CFLOA,CGLOB,且点C在NA08的平分线上，

：.CF=CG,

VZDCE=ZFCG=120°,

：.ZDCF=ZECG,

.".△CFD^ACGE(ASA)

：.DF=EG,

：.OF=DF-OD=EG-OD,OG=OE-GE,

：.OF+OG=OE-OD,

：.OE-0D=430C-,

综上所述:线段OQ、OE与OC之间的数量关系为:OD+OE=«OC或OE-。。=b。C.

5.解：(1)由题意可得：

PM=BE=AB-AE=6-y,那么-PM=y-(6-y)=2y-6,

PE=BM=BC-CM=6-x,那么PF=EF-PE=x-(6-x)=2x-6,

所以重叠部分长方形HPFQ的面积为：

SBaa®HPFQ—(2x-6)(2y-6)—4xy-I2x-12>'+36>

x应满足的条件是：3Vx<6；

(2)①当AG=AE,EF=2PE时，四边形AEFG、四边形MCN”都是正方形，点尸为

E尸的中点，

：.EP=PF=GD,

：.AG=EF=^AD=4,

3

故答案为：4；

②可以发现此时四边形AEFG、HMCN都是正方形，点尸既是EF的中点也是的中

点，点。既是GF的中点也是HN的中点.

联结HF、PQ,设交点为点O,那么该图形所在平面上可以作为旋转中心的点为点0、

点P、点Q.

四边形AE/G绕着点。逆时针方向（或顺时针方向）旋转180度可与四边形"MCN重合；

四边形AEFG绕着点尸顺时针方向旋转90度（或逆时针方向旋转270度）可与四边形

HMCN重合;

四边形AEFG绕着点Q逆时针方向旋转90度（或顺时针方向旋转270度）可与四边形

HMCN重合.

6,解：（1）如图，作QK〃AC交A3于K,则△3DK是等边三角形，

・・・△43。是等边三角形，

AZEKD=ZEAC=\20°,NB=NBKD=6U0,

:・DK=BD,

•:ED=EC,

：.ZEDC=ZECDf

:.NB+/KED=NEDC,

・.・NECA+/AC8=/ECD,

：.NB+NKED=NECA+/ACB,

VZB=ZACB=60°,

:・/KED=/ECA,

在△OKE与△E4C中，

<ZEKD=ZEAC

,ZKED=ZECA»

ED=EC

A/\DKE^AEAC（AAS）,

：.AE=DK9

：.BD=AE.

（2）BE-AE=AB；BE-BD=AB；AF-AE=AB；AF-BD=AB.

理由：由旋转可得，△BCE9l\ACF,

:.BE=AF9

又・；BD=AE,AB=BE-AE,

：.BE-AE=AB；BE-BD=AB；AF-AE=AB；AF-BD=AB.

E

7.解：(1)如图，过C作CHJ_A。于H,贝i」HO=』AO=l,

2

.•.「△中，22=

co4C/7=J2-IV3>

二点C的坐标为(-1,“)，

故答案为：(-1,

(2)由平移可得，平移的距离=AO=2,

故答案为：2；

(3)由旋转可得，旋转角=/AOO=120°,

故答案为：120；

(4)如图，-：AC//OD,

：./C4E=NODE,4ACE=ZDOE,

又；AC=OO,

：./\ACE^/\DOE,

：.CE=OE,

8.解：（1）如图，点例与点N关于原点对称,

.,.点N的坐标为（-x,-y）,

故答案为：（-x,-y）；

（2）如图，ZXP'Q'R'即为所求,

SAF/IC=—X3X4-AxiX2-AxiX3-1X1=6-I-1.5-1=2.5

~222

（3）设直线AC解析式为〉=日+6,

把A（4,3）,C（b2）代入，可得

p=4k+b）

I2=k+b'

K3

解得〈:

14

直线AC解析式为

33

当x=0时，y=—,即AC与y轴交点的坐标为（0,—）.

33

故答案为：（0,n）.

3

9.解：（1）由题可得，/C£>0=45°,

：.ZADC=\SQ°-45°135°,

故答案为：135°；

(2)①如图2,平分/BED,OF平分N2OD,

:./AEF=Z/BED,ZBOF^—ZBOD,

22

,：ZAGE=ZFGO,

：.ZGAE+ZAEG=ZF+ZFOG,

即150°+AZB£D=ZF+90°+L/BOD,

22

：.ZF=60°-A(ABOD-/BED),

2

；四边形AOCE1中，

ZAEC=360°-ZEAO-NECO-ZAOC

=360°-150°-135°-(360°-90°X2-ZBOD)

=ZBOD-105°,

：.ZBOD-ZAEC=105°,

；.//=60°-AQBOD-/BED)=60°-Ax105°=7.5°:

22

②分6种情况进行讨论：

如图，当。D〃A8时，旋转角度=乙40。=乙4=30°；

BO

D

如图，当CD〃A8时，旋转角度=NBOC=165°；

如图，当OO〃A8时，旋转角度=360°-90°-60°=210°；

如图，当C£)〃A8时，旋转角度=360°-15°=345°.

(2)：/84C=2a,NAHB=90°,

/.ZABH=90°-2a,

;BA=BD,

：.ZBDA=45°+a；

(3)补全图形，如图:

证明过程如下：

丁。关于3c的对称点为£且。上交3户于G,

C.DELBP,DG=GE,NDBP=NEBP,BD=BE,

VAB=AC,ZBAC=2a,

・・・NA8C=90°-a,

由(2)知NA3H=90°-2a,

ND3P=90°-a-(90°-2a)=a,

:・NDBP=NEBP=a,

：.NBDE=2a,

•；AB=BD,

：.△AB84BDE,

:・BC=DE,

；・NDPB=NADB-NDBP=45°+a-a=45°,

.DG=_1_

*DP72

，.BC=4^PP.

11.解：(1)如图所示，XA'B'C即为所求;

(2)如图所示，点。(3,-1),点E(2,-3).

12.解：(1)如图所示，△AiBiC即为所求，点Ai的坐标(2,-4)；

(2)如图所示，△4282C2，点A2的坐标(-2,4)；

(3),：AB2+AC2<BC2,

...△ABC不是直角三角形；

(4)如图所示，BC边上的高AO即为所求，

'：SAABC=—XBCXAD,

2

T(1+2)X4-^X1X2-AxiX3=Ax

2222

解得AO=4万，

故答案为：（2,-4）；（-2,4）；不是；---*

17

13.解：（1）线段AC如图所示；

（2）四边形A8CQ如图所示；（答案不唯一）

由勾股定理得，AB=A/17>BD=5版,

四边形A8C£>的周长=4旧，面积=/X3加义5圾=15.

故答案为：V17-15.

14.(1)①证明：：把BA顺时针方向旋转60°至BE,

：.BA^BE,/ABE=60°,

在等边△BCD中，DB=BC,NOBC=60°,

：.ZDBA=ZDBC+ZFBA=60°+NFBA,

'：ZCBE=60°+ZFBA,

：.NDBA=/CBE,

：.DA=CE；

@ZDEC+ZEDC=90°,

,:DB=DC,DAIBC,

•'•ZBDA=yZBDC=30°，

:△BA。丝△BEC,

：.ZBCE=ZBDA=30°,

在等边△8C。中，ZBCD=60°,

/.ZDCE=ZBCE+ZBCD=90°,

:.NDEC+NEDC=90°；

(2)分三种情况考虑：

①当点A在线段DF的延长线上时，

由（1）可得，△OCE为直角三角形，

AZDCE=90°,当NDEC=45°时，ZEDC=90°-NDEC=45°,

：.ZEDC=ZDEC,

:・CD=CE,

由（1）得D4=CE,

：.CD=DA,

在等边△Q8C中，BD=CD,

:・BD=DA=CD,

AZBDC=60a,

'：DA±BCf

ZBDA=ZCDA=yZBDC=30°，

在△BZM中，DB=DA,

吟全叫5。

•,-ZBAD=-

在△D4C中，DA=DC,

・5=18。°产=75。

AZBAC=ZBAD+ZDAC=15a+75°=150°.；

②当点A在线段。尸上时，

:以B为旋转中心，把BA顺时针方向旋转60°至BE,

J.BA^BE,NABE=6Q°,

在等边△8OC中，BD=BC,NDBC=60°,

：.NDBC=NABE,NDBC-NABC=NABE-NABC,即NO8A=NEBC,

.,.△DBA乌ACBE,

：.DA^CE,

在Rtz^OFC中，ZDFC=90°,

：.DF<DC,

"：DA<DF,DA=CE,

：.CE<DC,

由②可知△OCE为直角三角形,

；.NDEC#45°.

③如右图，当点A在线段产。的延长线上时，

同第②种情况可得△。84名/XCBE,

:.DA=CE,NADB=NECB,

在等边△8OC中，NBDC=NBCD=60°,

VDA1BC,

•e-ZBDF=ZCDF-|ZBDC=30°，

AZADB=1SO°-ZBDF=150°,

：.ZECB=ZADB=150°,

：.NDCE=NECB-NBCD=90°,

当NOEC=45°时，NEDC=900-NDEC=45。

:.ZEDC=/DEC,

:.CD=CE,

：・AD=CD=BD,

VZADB=ZADC=\50°,

，-NCDA

,,ZBAD=1801ZADB=15OZCAD=1801

2~

AZBAC=ZBAD+ZCAD=30°,

综上所述，/A4C的度数为150°或30°.

15.解：（1）旋转后的三角形ACP如图所示:

R

(2)由旋转可得，ZPAP'=ZBAC=50°,AP=AP',△ABP四△ACP,

AZAPP'=ZAP'P=65Q,ZAP'C=ZAPB,

'：ZBAC=50°,AB=AC,

.••ZB=65°,

又•.•/BAP=20°,

；.NAPB=95°=ZAP'C,

：.ZPP'C^ZAP'C-ZAP'P=95Q-65°=30°.

16.解：(1)I•矩形ABC。中，/CBA=90°,

NCBE+NABE=90°,

即2NCBE+2NABE=180°,①

由旋转可得，AB=AE,

：.NA8E=NAEB,

：.ZBAE+2ZABE=\S0°,②

由①②可得，ZBAE=2ZCBE,

：.ZCBE=^ZBAE；

2

(2)如图，过8作于〃，则/C=/8HE=90°,

由(1)可得，NABE=NAEB,

\'AB//CE,

NABE=NCEB,

：.NBEC=ZBEH,

即BE平分NCEH,

：.BH=BC,

由旋转可得，AG=AD=BC,NGAP=NBAQ=90°,

：.AG=HB,ZGAP^ZBHP,

又,：NAPG=NHPB,

：."PG丝△HPB,

:.GP=BP=LBG,

2

即BG=2PB；

(3)V/1B=V41，BC=3=BH,

=22=4

/.RtAAB/7中，AW7AB-BH^)

/\APG^/\HPB,

：.PH=AP=^AH=2a,

=

中，BPyjppj2+gpj2=yj1