贵州省贵阳市中八子弟学校高三数学理测试题含解析

贵州省贵阳市中八子弟学校高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1），a1a2a3=27，则a6=(

) A．27 B．81 C．243 D．729参考答案：C考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：利用等比数列的性质可得，a1a2a3=a23=27从而可求a2，结合S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1）考虑n=1可得，S2=a1+a2=4a1从而可得a1及公比q，代入等比数列的通项公式可求a6解答： 解：利用等比数列的性质可得，a1a2a3=a23=27即a2=3因为S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1）所以n=1时有，S2=a1+a2=4a1从而可得a1=1，q=3所以，a6=1×35=243故选C点评：本题主要考查了等比数列的性质，等比数列的前n项和公式及通项公式，属基础题．2.下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（

）

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A3.函数的值域是

（

）

A．[-1，1]

B．

C．

D．参考答案：B4.（07年全国卷Ⅰ理）函数的一个单调增区间是A．

B．

C．

D．参考答案：答案：A解析：函数=，从复合函数的角度看，原函数看作，，对于，当时，为减函数，当时，为增函数，当时，减函数，且，∴原函数此时是单调增，选A。5.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的

茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（

）A．65

B．64

C．63

D．62参考答案：B略6.函数在同一平面直角坐标系内的大致图象为（

）

参考答案：C令，因为，单调递增，所以在，选项A、D排除。由得：，所以函数的图像为以原点为圆心，1为半径的圆在x轴的下半部分，因此选c。7.函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是()A．f(－4)>f(1) B．f(－4)＝f(1)C．f(－4)<f(1) D．不能确定参考答案：A8.执行如图所示的程序框图，则输出的值为(

)A．91

B． 55

C．54

D．30参考答案：B9.设,且=则（

）A．0≤≤

B．≤≤

C．≤≤

D．≤≤参考答案：B10.设x∈R，则“x＞”是“2x2＋x－1＞0”的

（

）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的图象在点处的切线方程为，则

．参考答案：e12.在△中，分别是角的对边，若成等差数列，则的最小值为

.参考答案：13.等差数列的前项和为，且,，等比数列中，，，则

．参考答案：14.有下列各式：，，…，则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为

(n∈N*)．参考答案：1＋＋＋…＋>(n∈N*)

15.已知定义在R上的函数f(x)满足已知定义：①函数的图象关于点(－1,0)对称；②对任意的，都有成立；③当时，，则_______.参考答案：－2【分析】由①可知f(x)为奇函数，进一步可得其为周期函数，将2017化简至内，再根据解析式和函数性质求出它的值。【详解】由①得f(x)的图像关于（0,0）点对称，为奇函数；由②得f(x)关于x=1对称，且有，可得，为T=4的周期函数，则，由③得，因此。【点睛】本题考查根据函数的对称性，奇偶性，周期性求函数值，是一类常见考题。16.某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为____________.参考答案：160

总体中男生与女生的比例为，样本中男生人数为.17.对任意非零实数a，6，若“ａｂ的运算原理如下图程序框图所示，则32＝．

参考答案：8三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知直线的参数方程为为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）若是直线与圆面的公共点，求的取值范围.参考答案：（1）∵圆的极坐标方程为，∴，又∵，，，

…………5分∴，∴圆的普通方程为；（2）设，故圆的方程，∴圆的圆心是，半径是，将代入得，又∵直线过，圆的半径是，∴，∴，即的取值范围是.……10分19.某中学高一期中考试结束后，从高一年级1000名学生中任意抽取50名学生，将这50名学生的某一科的考试成绩（满分150分）作为样本进行统计，并作出样本成绩的频率分布直方图（如图）．（1）由于工作疏忽，将成绩[130，140）的数据丢失，求此区间的人数及频率分布直方图的中位数；（结果保留两位小数）（2）若规定考试分数不小于120分为优秀，现从样本的优秀学生中任意选出3名学生，参加学习经验交流会．设X表示参加学习经验交流会的学生分数不小于130分的学生人数，求X的分布列及期望；（3）视样本频率为概率．由于特殊原因，有一个学生不能到学校参加考试，根据以往考试成绩，一般这名学生的成绩应在平均分左右．试根据以上数据，说明他若参加考试，可能得多少分？（每组数据以区问的中点值为代表）参考答案：（1）8,117.14；（2）见解析；（3）115.4【分析】（1）先求出这50名学生成绩在各区间的频率及人数，由此能求出，的频率为0.16，人数为8，从而能求出中位数．（2）考试分数不小于120分的优秀学生有23人，表示参加教学交流会的不小于130分的学生人数的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和．（3）利用频率分布直方图能求出平均分．【详解】（1）这50名学生成绩在各区间的频率及人数如下：[60，70）的频率为0.02，人数为1，[70，80）的频率为0.04，人数为2，[80，90）的频率为0.02，人数为1，[90，100）的频率为0.14，人数为7，[100，110）的频率为0.18，人数为9，[110，120）的频率为0.14，人数为7，[120，130）的频率为0.2，人数为10，[140，150）的频率为0.1，人数为5，∴[130，140）的频率为0.16，人数为8，∵中位数把频率分布直方图分成左右面积相等，设中位数为m，[60，110）的频率和为：0.02+0.04+0.02+0.14+0.18＝0.4，[110，120）的频率为0.14，∴（m﹣110）×0.14＝0.5﹣0.4＝0.1，解得m＝≈117.14．所以频率分布直方图的中位数为117.14．（2）考试分数不小于120分的优秀学生有23人，X表示参加教学交流会的不小于130分的学生人数的取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3），∴X的分布列为：0123

E（X）；（3）平均分W＝65×0.02+75×0.04+85×0.02+95×0.14+105×0.18+115×0.14+125×0.2+135×0.16+145×0.1＝115.4，∴该学生可能得分为115.4分．【点睛】本题考查频率、中位数、平均数、离散型随机变量概率分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，D为棱CC1的中点，G为棱AA1上一点，．（1）确定G的位置，使得平面C1OG∥平面ABD，并说明理由；（2）设二面角D-AB-C的正切值为，，E为线段A1B上一点，且CE与平面ABD所成角的正弦值为，求线段BE的长．参考答案：解：（1）为棱的中点．证明如下：∵四边形为平行四边形，∴为的中点，∴．∵，∴四边形为平行四边形，则．又，∴平面平面．（2）过作于，连接，则即为二面角的平面角．∵，，∴．又，，∴．以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，则，，设平面的法向量，则，即，令，得，设，∵，∴，∴与平面所成角的正弦值为，∴，∴或，又，∴或．

21.（12分）已知O为坐标原点，椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为P，右顶点为Q，以F1、F2为直径的圆O与椭圆C内切，直线PQ与圆O相交得到的弦长为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l与以F1、F2为直径的圆O相切，并且与椭圆C交于不同的两点A、B，求△AOB的面积的最大值．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题意可知：P（0，b），Q（a，0），则直线PQ的方程：ay+bx﹣ab=0，则O到直线PQ的距离d==，由以F1、F2为直径的圆O与椭圆C内切，则b=c，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）讨论直线AB的斜率不存在，求得△ABO的面积，若存在设直线AB：y=kx+m，A（x1，y1）、B（x2，y2），由圆O与直线l相切，得m2=k2+1．由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出△AOB的面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：P（0，b），Q（a，0），则直线PQ的方程：ay+bx﹣ab=0，则O到直线PQ的距离d==，由以F1、F2为直径的圆O与椭圆C内切，则b=c，在△ODP中，根据勾股定理可知：（）2+（）2=b2，①由a2=b2+c2=2b2，②由①②解得：b2=1，a2=2，∴椭圆的标准方程为：．（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，AB过椭圆的焦点，令x=1代入椭圆方程可得y=±，可得|AB|=，S△ABO=；当直线AB的斜率存在时，设直线AB：y=kx+m，A（x1，y1）、B（x2，y2），∵圆O与直线l相切，∵=1，∴m2=k2+1．由，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∵直线l与椭圆交于两个不同的点，∴△=（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＞0，即m2﹣2k2＜1，∴k2＞0．由韦达定理可知：x1+x2=﹣，x1x2=，则丨AB丨=?=?=?，△AOB的面积S=?丨AB丨?d=，令1+2k2=t（t＞1），可得k2=，则S==?=?＜．综上可得，△AOB的面积的最大值为．【点评】本题主要考查椭圆的概念和性质，直线和椭圆的位置关系，圆的性质等知识，意在考查转化和化归思想，数形结合思想和学生的运算求解能力，是中档题．22.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10269.9110.1310.029.2210.0410.049.95

经计算得，，，，，其中为抽取的第i个零件的尺寸，抽取次序，样本的相关系数.（1）求的相关系数r，并回答是否可以认为这一年生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小，（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.①从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？②在之外的数据成为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差（精确到0.01）.参考答案：（1）认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小；（2）①需对当天的生产过程进行检查；②0.09.【分析】（1）代入数据计算，比较|r|与0.25的大小作出结论；（2）（i）计算合格零件尺寸范围，得出结论；（ii）代