小学数学-鸽巢问题教学设计学情分析教材分析课后反思

《鸽巢问题》教学设计教学内容：人教版《义务教育教科书·数学》六年级下册第68～69页例1、例2。教学目标：1.经历“鸽巢问题”的探究过程，会判断谁是“鸽巢”、谁是“鸽子”，会利用本节课知识解决简单的实际问题。2.引导学生通过实际操作的方法，利用枚举法和假设法探究“鸽巢问题”。3.通过介绍狄利克雷和让学生自己发现“鸽巢问题”的一般模式来感受数学的魅力，理解解决这类问题的一般方法。教学重点：经历“鸽巢问题”的探究过程，初步了解“鸽巢问题”的原理，并能解决生活中的简单问题。教学难点：理解“鸽巢问题”，并对一些简单的实际问题加以“模型化”。教学准备：课件、扑克牌、每个小组3个杯子和4支铅笔。一、巧设悬疑、游戏导入师：同学们，认识大屏幕上的这个人吗？（课件出示）生：刘谦……（有些学生比较激动）师：对，他就是一位著名的魔术师，是不是很崇拜他？其实老师也会玩魔术，想玩吗？师：好，现在老师有一副扑克牌（出示扑克牌），有多少张呢？生：54张。师：（拿掉大小王）现在有多少张呢？生：52张。师：知道扑克牌有几种颜色吗？生：2种，红色和黑色。师：知道扑克牌有几种花色吗？生：4种。师：请5位同学，任意抽取一张牌，老师敢肯定的说在你们这5张牌里，至少有2张是同一花色的，信吗？师：把牌拿出来验证一下，老师的说法是正确的。师：想知道为什么老师会做出准确的判断吗？等上完这节课再来解释其中的道理，好不好？二、动手操作、感知模型1.动手操作。师：在同学们课桌上都有3个杯子，杯子里有4支铅笔。同桌两人每人每只手拿一支铅笔，然后放到桌子上的任意一个杯子中。学生操作，很快将铅笔放入杯子。2.小组汇报。师：你们分别是怎么放的呢？生1：我们小组是一个杯子里放2支铅笔，另外两个杯子里各放1支铅笔。师板书：（2，1，1）生2：我们小组是一个杯子里放4支铅笔，另外两个杯子里是空的。师板书：（4，0，0）其他同学表示赞同。师：其他组还有不同的表示方法吗？生3：还可以是一个杯子里放3支铅笔，一个杯子里放1支铅笔，另外一个杯子是空的。师板书：（3，1，0）生4：还可以是两个杯子里各放2支铅笔，剩下一个是空的。师板书：（2，2，0）师：还有其他放法吗？生：没有啦！师：像刚才这样我们把所有情况都一一列举出来，从而得出结论的方法，在数学中叫枚举法。观察这四种方法，它们有什么共同点吗？生1：3个杯子里的铅笔加起来都是4支。生2：有的杯子里有笔，有的是空的。生3：每一种方法中，总有一个杯子里至少有2支铅笔。（教师给学生考虑的时间）师：她的发现对吗？生：对。师：这位同学用到了一个词“至少”（板书），“至少”是什么意思？生：最少。师：能对照这四种方法来解释一下这句话吗生4：我觉得她这个结论有问题，你看第一种方法（4，0，0），有一个杯子里有4支铅笔。生3：我说的是至少2支，4支不也是至少2支吗？生4表示赞同。生5：第三种方法（2，2，1）就不符合刚才的结论，有2个杯子里都是2支铅笔。生3：“总有一个”意思就是存在1个就行，可以存在2个或多个。生5点头同意。师：如果每个杯子里不允许放入2支或2支以上的铅笔，你能办到吗？学生动手后发现办不到。师：说说你的想法。生1：先往每个杯子里放1支铅笔，这样还剩下1支，剩下的这1支还要放入杯子里，但是不管放入哪个杯子，都会出现一个杯子中有2支铅笔，所以办不到。（请学生在讲台上演示）生2：我也是这么想的，这其实就是先将4支铅笔平均分，余下的1支放入其中任意一个杯子。师：既然是平均分，能用算式表示吗？生说算式，师板书。师：商1和余数1意义相同吗？生：商1指的是每个杯子里放进去的1支，余数1指剩下的那支。师：在解决这类问题时，用平均分的方法比较简便。三、逐步深入、建立模型1.初建模型。师：如果把5支铅笔放入4个杯子，会是什么结果呢？有的学生接着举起了手，有的学生在和同桌交流，个别学生在操作。生：还是那个结论。师：能把结论说完整吗？生：总有一个杯子里至少有2支铅笔。师：你是怎么想的？生：先把每个杯子里放1支，还剩1支，再把剩下的1支放入其中任意一个杯子。师：能用算式表示吗？生：5÷4=1……1。师板书算式。师：如果把10支铅笔放入9个杯子呢？生1：还是总有一个杯子里至少有2支铅笔。生2：都是总有一个杯子里至少有2支铅笔。师：你有什么发现？生：当铅笔的数量比杯子的数量多1时，总有一个杯子里至少有2支铅笔。2.完善模型。师：如果铅笔的数量不是比杯子的数量多1呢？这个结论还成立吗？师：把5支铅笔放入3个杯子，总有一个杯子里有几支铅笔？可以和小组里的同学交流一下。师：谁想说说你们的结论？生1：总有一个杯子里至少有3支铅笔。生2：总有一个杯子里至少有2支铅笔。师：说说你们的想法。（先让得出“总有一个杯子里至少有3支铅笔”的学生说）生1：把5支铅笔放入3个杯子，先在每个杯子放1支，还剩2支，把这2支放入一个杯子。生2：你这样就不能保证至少了。我是这样想的，把5支铅笔放入3个杯子，先每个杯子放1支，还剩2支，把这2支再平均分后放入不同的杯子，于是得出了总有一个杯子里至少有2支铅笔的结论。（一边说一边演示）师：可以用算式表示吗？生：可以，5÷3=1……2。师板书算式。师：把7支铅笔放入4个杯子，你能得出什么结论？生：总有一个杯子里至少有2支铅笔。师：可以怎样列算式表示呢？生：7÷4=1……3。师：观察黑板上这些算式？你有什么发现？生1：商都是1。生2：都有余数。生3：铅笔都比杯子多。生4：不管余数是几，都是总有一个杯子里至少有2支铅笔。（师板书）四、深入研究、验证模型师：刚才同学们都表现得非常棒，老师如果再增加铅笔数，你想想总有一个杯子中至少放几支铅笔呢？课件出示：把6支铅笔放进5个笔筒里；把8支铅笔放进7个笔筒里；把m支铅笔放进n个笔筒里。不管怎么放，总有一个杯子里至少有（）支铅笔？生小组合作完成，师巡视指导。师：哪个小组愿意展示一下？小组展示交流。师：你们的结果和他们组一样吗？说说你们组有什么发现？生：总有一个杯子里至少有“商+1”支铅笔。师：你们的发现和他们相同吗？生：相同。（师板书：商+1）师：同学们发现的这一规律，其实就是一个非常著名的数学问题，也是我们今天研究的“鸽巢问题”（板书课题）。一起看大屏幕（介绍“鸽巢问题”的相关知识）：最先发现这一规律的人是德国数学家狄利克雷，人们为了纪念他从这么平凡的事情中发现的规律，就把这个规律用他的名字命名，叫“狄利克雷原理”，又把它叫做“鸽巢问题”或“抽屉原理”。师：鸽巢问题的道理虽然简单，却能解决许多有趣的问题。运用它时，关键是要找出谁是“鸽巢”，谁是“鸽子”。像刚才的问题中，谁相当于“鸽巢”？谁相当于“鸽子”？生：杯子相当于“鸽巢”，铅笔相当于“鸽子”。师：现在，你能利用这节课所学的内容揭秘课前的推理小游戏中包含的数学道理了吗？生：5张牌相当于“鸽子”，4种花色相当于“鸽巢”，5张牌中至少有2张是同一花色的。四、利用模型，解决问题师：“鸽巢问题”的原理不仅在数学中有用，在现实生活中也随处可见。就在上课前我们做游戏用的这副扑克牌中就就存在“鸽巢问题”。生：从52张牌里任意抽取5张，把4种花色看作4个抽屉，5张牌放进4个抽屉里最坏是前4张花色都不同，那么第五张牌一定会和前面4张牌中的一张重合的，所以至少有2张牌的颜色是相同的。把牌展示给学生看，验证。师：扑克牌中有这么多的“鸽巢问题”，在我们班同学身上也能找到很多的“鸽巢问题”。（课件出示）13个人中的出生月份存在什么样的“鸽巢问题”？谁是“鸽巢”？谁是“鸽子”呢？生：至少有2个人出生在同一个月。12个月是“鸽巢”，13个同学是“鸽子”。师：那全班同学至少有多少人出生在同一个月呢？生：全班有53人……至少有5个人出生在同一个月。师：（小结）这节课我们认识了“鸽巢问题”，其实在生活中还有许多的类似于“鸽巢问题”这样的知识等待我们去发现、去发掘！板书设计：

鸽巢问题(抽屉问题)

物体数÷

抽屉数

=

商……余数

至少数=商

+1

4

÷

3

=

1……

1

2

=1

+1

8

÷

7

=

1

……

1

2

=1

+1

7

÷

5

=

1……

2

2

=1+1

8

÷

3

=

2……

2

3

=2

+1

23÷

5

=

4

……

3

5

=4

+1《鸽巢问题》学情分析鸽巢原理是学生从未接触过的新知识，难以理解鸽巢原理的真正含义，发现有相当多的学生他们自己提前先学了，在具体分的过程中，都在运用平均分的方法，也能就一个具体的问题得出结论。但是这些学生中大多数只“知其然，不知其所以然”，为什么平均分能保证“至少”的情况，他们并不理解。有时要找到实际问题与“鸽巢原理”之间的联系并不容易，即使找到了，也很难确定用什么作为“鸽巢”，要用几个“鸽巢”。

1．年龄特点：六年级学生既好动又内敛，教师一方面要适当引导，引发学生的学习兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主体性。

2．思维特点：知识掌握上，六年级的学生对于总结规律的方法接触比较少，尤其对于“数学证明”。因此，教师要耐心细致的引导，重在让学生经历知识的发生、发展和过程，而不是生搬硬套，只求结论，要让学生不知其然，更要知其所以然。《鸽巣问题》效果分析本节课不同于六年级其他课，与前后知识点没有联系，比较孤立。“鸽巢问题”很抽象，对于师生而言，这节课比较难上。通过有趣的游戏，借助实际操作，向学生介绍“鸽巢问题”的原理，使学生在理解的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”并会用所学知识加以解决，积累了数学活动经验。本节课较好地体现了以下几点：1.课前游戏激发了学生的学习兴趣。游戏导入，激发了学生的学习兴趣，“知道老师为什么能作出如此准确的判断吗？这其中蕴涵着一个非常有趣的数学原理，这节课我们就一起来研究这个数学原理。”不但使学生带着兴趣去学习，而且给予学生思维的导向，引发了学生的求知欲，为教学“鸽巢问题”做好了铺垫。2.借助直观操作经历知识的探究过程。本节课教学结构紧凑，实施过程层层推进，上的扎实有效。先用枚举法，让学生把所有情况摆出来，运用直观的方式发现并描述，理解最简单的“鸽巢问题”，再让学生探究解决问题的简便方法即“平均分”的方法。在大量的举例后使学生感知理解“铅笔比杯子数多时，不管怎么放，总有一个杯子里至少有（商+1）支铅笔”。在这节课中，由于教师提供的数据较小，为学生自主探索和理解“鸽巢问题”提供了很大的空间，通过解释两个“1”的意思，引发学生思维步步深入，并通过讨论、操作和说理活动，使学生经历了一个初步的“数学证明”过程，培养了学生推理能力和初步的逻辑思维能力。3.在活动中使学生感受到数学的魅力。以学生的名字命名，使学生在学习知识的同时体会到了很强的成功感和荣誉感。“鸽巢问题”的建立是学生在观察、操作思考、推理的基础上理解和发现的，学生学的积极主动。教师由玩扑克牌引入，又以让学生在玩扑克牌的情境结束，既调动了学生学习的积极性，又起到了首尾呼应的作用，既让学生学到了“鸽巢问题”的知识，又锻炼了学生的思维能力。本节课的练习设计有层次，与生活联系紧密。学生可以利用活动中的方法迁移类推，加以解释，在整节课的教学活动中使学生充分感受到了数学的魅力。《鸽巢问题》教材分析“数学广角”是人教版六年级下册第五单元的内容。在数学问题中，有一类与“存在性”有关的问题，如任意367名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日。在这类问题中，只需要确定某个物体（或某个人）的存在就可以了，并不需要指出是哪个物体（或哪个人），也不需要说明通过什么方式把这个存在的物体（或人）找出来。这类问题依据的理论，我们称之为“鸽巢原理”。本节课教材借助把4枝铅笔放进3个文具盒中的操作情境，介绍了一类较简单的“鸽巢原理”，即把m个物体任意分放进n个空鸽巢里（m>n，n是非0自然数），那么一定有一个鸽巢中放进了至少2个物体。关于这类问题，学生在现实生活中已积累了一定的感性经验。教学时可以充分利用学生的生活经验，放手让学生自主思考，先采用自己的方法进行“证明”，然后再进行交流，在交流中引导学生对“枚举法”、“反证法”、“假设法”等方法进行比较，使学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题，发展学生的抽象思维能力。让学生通过本内容的学习，帮助学生加深理解，学会利用“鸽巢问题”解决简单的实际问题。在此过程中，让学生初步经历“数学证明”的过程。实际上，通过“说理”的方式来理解“鸽巢原理”的过程就是一种数学证明的雏形，有助于提高学生的逻辑思维能力，为以后学习较严密的数学证明做准备。还要注意培养学生的“模型”思想，这个过程是将具体问题“数学化”的过程，能从纷繁的现实素材中找出最本质的数学模型，是体现学生数学思维和能力的重要方面。《鸽巢问题》评测练习1.把5支铅笔放进3个文具盒中。有哪些不同的放法？用你喜欢的方法写下来。

2.希望小学六（1）班有学生38人，同一个月份出生的学生至少有（

）人。

3.有红、黄、蓝三种颜色的珠子各10颗，放在一个布袋里。一次摸出8颗，至少有（

）颗珠子的颜色相同。

4.给6名学生分书。要使肯定有一个学生至少分到5本，这些书至少有（

）本。

5.在下面每个格子中任意写上“0”至“3”的数字，至少有（

）列的数字是完全一样的。

6.从一副扑克牌中抽去大、小王两张后，在剩余的52张牌中任意取牌，至少要取（

）张才能保证有3张黑桃。

7.把黑、红、蓝三种颜色的袜子各10只混合在一起。如果让你闭上眼睛，最少拿（

）只才能保证一定有一双同色的袜子。如果要保证有两双同色的袜子，则至少要拿出（

）只。

8.在某班学生中，有8个人都订阅了《小朋友》、《少年报》、《儿童时代》三种报刊中的一种或几种。那么，这8个人中至少有（

）个人所订的报刊种类完全相同。《鸽巢问题》课后反思数学广角的教学是为了丰富学生解决问题的方法和策略，使学生感受到数学的魅力。本节课我让学生经历探究“鸽巢原理”的过程，初步了解了“鸽巢原理”，并能够应用于实际，学会思考数学问题的方法，培养学生的数学思维。反思这节课，可取之处有：

一、情境导入，初步感知

兴趣是学习最好的老师。所以在本节课我就设计了表演魔术的游戏来导入新课，在上课开始我就说：我给大家表演一个“魔术”。一副扑克牌，去掉大小王，还剩52张，你们5人每人随意抽一张，我知道至少有2张牌是同花色的。相信吗？想参与这个游戏的请举手。同学们踊跃参加，然后叫举手的两组同学上台抽牌。同学们发现抽的牌中至少有2张牌是同花色的，接着引出了课题。相机引入本节课的重点“总有„„至少„„”。这样设计使学生在生动、活泼的数学活动中主动参与、主动实践、主动思考、主动探索、主动创造；使学生的数学知识、数学能力、数学思想、数学情感得到充分的发展，从而达到动智与动情的完美结合，全面提高学生的整体素质。这个游戏虽简单却能真实的反映“鸽巢原理”的本质。通过小游戏，一下就抓住学生的注意力，有效地调动和激发学生的学习主动性和兴趣，让学生觉得这节课要探究的问题，好玩又有意义。

二、活动中恰当引导，建立模型

采用列举法，让学生把4枝铅笔放入3个笔筒中的所有情况通过摆一摆、画一画或写一写等方式都列举出来，运用直观的方式，发现并描述，理解最简单的“鸽巢原理”即“铅笔数比笔筒数多1时，总有一个笔筒里至少有2枝笔”。

在例2的教学时，让学生借助直观操作发现列举法适用于数字较小时，有局限性，而假设法应用范围广，假设把书尽量多的“平均分”到各个抽屉，看每个抽屉能分到多少本书，剩下的书不管放到哪个抽屉里，总有一个抽屉比平均分得的本数多1本，可以用有余数的除法这一数学规律来表示。大量列举之后，再引导学生总结归纳这一类“鸽巢原理”的一般规律，让学生借助直观操作、观察、表达等方式，让学生经历从不同的角度认识鸽巢原理。特别是通过学生归纳总结的规律：到底是“商＋余数”还是“商＋１”，引发学生的思维步步深入，并通过讨论和说理活动，使学生经历了一个初步的“数学证明”的过程，培养了学生的推理能力和初步的逻辑能力。三、通过练习，解释应用

适当设计形式多样化的练习，可以引起并保持学生的练习兴趣。如“从扑克牌中去掉两张王牌，在剩下的52张中任意抽出18张，至少有几张是同花色的。任意抽出20张，至少有几张是数字相同的。把红白两种球各10个放在同一个盒子里，要保证有两个球的颜色相同，至少要摸出几个球？（3个球），要保证摸出的球有一个是红色的，至少要摸出多少个球？（11个球）。15只鸽子飞回4个鸽舍中，至少有（

）只鸽子飞回同一个鸽舍，为什么？教会学生用算式来说明理由，简洁明了，因为15÷4=4„„3

4+1=5，所以15只鸽子飞回4个鸽舍，总有5只鸽子飞进同一个鸽笼。六年级4班由67个同学，总有多少个同学的属相相同？学校有367个同学，总有各位同学同一天过生日？练习内容紧密联系生活，让学生体会数学来源于生活。练习由易到难，层层递进，符合学生的认知规律。在练习中，学生兴趣盎然，达到了预期的效果。

不足之处是学生的语言表达能力还有待提高。课堂中，数学语言精简性直接影响着学生对新知识的理解与掌握。例如，教材中“不管怎么放，总有一只抽屉里至少放进了几本书？”对于这句话，学生听起来很拗口，也很难理解；通过思考，我将这句话变成“不管怎么放，至少有几本书放进了同一个抽屉中？”这样对学生来说，相对显得通俗易懂。因此，在以后的课堂教学中，我要严谨准确地使用数学语言，发现并灵活掌握各种数学语言所描述的条件及其相互转化，以加深对数学概念的理解和应用，增强提问的指向性、目的性。《鸽巢问题》课标分析一、课标要求《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“学段目标”的“第二学段”中提出：“会独立思考，体会一些数学的基本思想”“在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果”“经历与他人合作交流解决问题的过程，尝试解释自己的思考过程”。《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“课程内容”的“第二学段”中提出：“探索给定情境中隐含的规律或变化趋势”“结合实际情境，体验发现和提出问题、分析和解决问题的过程”“通过应用和反思，进一步理解所用的知识和方法，了解所学知识之间的联系，获得数学活动经验”。二、课标解读（一）让学生初步经历“数学证明”的过程在数学上，一般是用反证法对“抽屉原理