湖北省恩施市市六角办事处头道乡中学2021年高三数学理联考试题含解析

湖北省恩施市市六角办事处头道乡中学2021年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设向量=（1,）与=（-1，2）垂直，则等于（

）A

B

C.0

D.-1参考答案：C因为向量，所以，即，即，选C.8．函数为增函数的区间是(

)A.

B.

C.

D.【答案】C【解析】因为，由，解得，即函数的增区间为，所以当时，增区间为，选C.2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是A.(0,3) B.(1,3) C.(0,1] D.(1,2]参考答案：B【分析】通过正弦定理可得的范围即为的范围，通过整理可求得，再利用的范围求得的取值范围，得到最终结果．【详解】即又，即

本题正确选项：B【点睛】本题的关键是运用正弦定理将边长关系变为角的关系；需要注意的是在求解最终结果时，要注意角的范围对三角函数取值范围的影响．

3.如果实数满足等式，那么的最大值是（）A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】圆的方程H3D因为(x,y)为圆上的点，为圆上的点与原点连线的斜率，显然其最大值为过原点与圆相切的切点在第一象限的切线斜率，设倾斜角为α，显然，所以其斜率为，则选D.【思路点拨】本题可抓住代数式的几何意义，利用数形结合进行解答.4.已知，则（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】先求出，再根据求解.【详解】由同角三角函数的基本关系，得，则，∵，∴，∴，∴，故选：D【点睛】本题主要考查同角基本关系和降幂公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.边长为的三角形的最大角与最小角的和是（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：B6.设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是()A．若d<0，则数列{Sn}有最大项；B．若数列{}有最大项，则d<0；C．若对任意n∈N*，均有＞0，则数列{}是递增数列；D．若数列{}是递增数列，则对任意n∈N*，均有＞0；参考答案：D略7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚疼减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起脚疼每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了？”根据此规律，求后3天一共走多少里（）A．156里 B．84里 C．66里 D．42里参考答案：D【考点】数列的应用．【分析】由题意可得：此人每天所走的路形成等比数列{an}，其中q=，S6=378．利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：由题意可得：此人每天所走的路形成等比数列{an}，其中q=，S6=378．则=378，解得a1=192．后3天一共走了a4+a5+a6==192××=42．故选：D．8.若函数，，的零点分别为，，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A的零点为1的零点必定小于零的零点必位于内故答案选

9.某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系，随机抽取高三年级20名学生某次考试成绩统计如表所示：有多少的把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系（

）A.99.9%

B.99%

C.97.5%

D.95%参考答案：B10.已知角的终边经过点p（－3，4），则的值等于

（

）

A．

B．

C．①

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3，6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：（Ⅰ）b2012是数列{an}中的第______项；（Ⅱ）b2k-1=______。（用k表示）17.参考答案：（Ⅰ）5030；（Ⅱ）由以上规律可知三角形数1,3,6,10,…,的一个通项公式为，写出其若干项有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,110,故.从而由上述规律可猜想：（为正整数），，故,即是数列中的第5030项.【点评】本题考查归纳推理，猜想的能力.归纳推理题型重在猜想，不一定要证明，但猜想需要有一定的经验与能力，不能凭空猜想.来年需注意类比推理以及创新性问题的考查.12.将5幅不同的冬奥会宣传作品排成前后两排展出，每排至少2幅，其中A，B两幅作品必须排在前排，那么不同的排法共有

种．参考答案：48

【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、前排2幅，后排3幅，②、前排3幅，后排2幅，每种情况下依次分析前排和后排的排法数目，即可得每种下的排法数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、前排2幅，后排3幅，则前排的必须是A，B，考虑其顺序，有A22=2种情况，剩下的三幅放在后排，有A33=6种情况，则此时有2×6=12种不同的排法，②、前排3幅，后排2幅，需要先在剩下3幅中，选出1幅，与A、B一起放在前排，有C31A33=18种情况，剩下的2幅放在后排，考虑其顺序，有A22=2种情况，则此时有18×2=36种不同的排法，则不同的排法共有12+36=48种；故答案为：48．13.如图，在圆O中，若弦AB＝3，弦AC＝5，则·的值是

参考答案：8略14.（5分）已知函数f（x）=lnx+2x，若f（x2﹣4）＜2，则实数x的取值范围．参考答案：（﹣，﹣2）∪（2，）【考点】：函数单调性的性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：解法一：不等式即ln（x2﹣4）+＜2，令t=x2﹣4＞0，不等式即lnt+2t＜2①．令h（t）=lnt+2t，由函数h（t）的单调性可得x2﹣4＜1，从而求得x的范围．解法二：根据函数f（x）=lnx+2x在定义域（0，+∞）上式增函数，f（1）=2，由不等式可得x2﹣4＜1，从而求得x的范围．解：解法一：∵函数f（x）=lnx+2x，∴f（x2﹣4）=ln（x2﹣4）+，∴不等式即ln（x2﹣4）+＜2．令t=x2﹣4＞0，不等式即lnt+2t＜2①．令h（t）=lnt+2t，显然函数h（t）在（0，+∞）上是增函数，且h（1）=2，∴由不等式①可得t＜1，即x2﹣4＜1，即x2＜5．由解得﹣＜x＜﹣2，或2＜x＜，故答案为：（﹣，﹣2）∪（2，）．解法二：由于函数f（x）=lnx+2x，∴f（1）=2，再根据函数f（x）=lnx+2x在定义域（0，+∞）上式增函数，∴由f（x2﹣4）＜2可得x2﹣4＜1，求得﹣＜x＜﹣2，或2＜x＜，故答案为：（﹣，﹣2）∪（2，）．【点评】：本题主要考查函数的单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．15.已知向量、满足，，且，则________.

参考答案：16.验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象素（防止OCR），由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成功后才能使用某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络安全.在抗疫期间，某居民小区电子出入证的登录验证码由0，1，2，…，9中的五个数字随机组成.将中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一个“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是7的概率为__________.参考答案：【分析】首先判断出中间号码的所有可能取值，由此求得基本事件的总数以及中间数字是7的事件数，根据古典概型概率计算公式计算出所求概率.【详解】根据“钟型验证码”中间数字最大，然后向两边对称递减，所以中间的数字可能是.当中间是4时，其它4个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.当中间是5时，其它4个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.当中间是6时，其它4个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.当中间是7时，其它4个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.当中间是8时，其它4个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.当中间是9时，其它4个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.所以该验证码的中间数字是7的概率为.故答案为：【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查分类加法计数原理、分类乘法计数原理的应用，考查运算求解能力，属于中档题.17.若“?x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为

．参考答案：1【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】求出正切函数的最大值，即可得到m的范围．【解答】解：“?x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，可得tanx≤1，所以，m≥1，实数m的最小值为：1．故答案为：1．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知一个空间几何体的直观图和三视图（尺寸如图所示）．（I）设点M为棱肋中点，求证：（Ⅱ）线段加上是否存在一点N，使得直线与平面PCD所成角的正弦值等于手？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由，参考答案：（Ⅰ）证明：（方法一）由三视图知，两两垂直，故以为原点，分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．…1分则,所以，易知平面的一个法向量等于，………3分所以,所以， 4分又平面，所以∥平面． 5分（方法二）由三视图知，两两垂直．连结，其交点记为，连结,． 1分因为四边形为矩形，所以为中点．因为为中点，所以∥，且．………2分又因为∥，且，所以∥, 且=．所以四边形是平行四边形，所以∥………4分因为平面，平面所以∥平面． 5分（Ⅱ）解：当点与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为． 6分理由如下：因为，设平面的法向量为，由得 7分取，得平面的一个法向量． 8分假设线段上存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值等于．设，则，． 9分所以 10分． 12分所以，解得或(舍去)．因此，线段上存在一点，当点与点重合时，直线与平面所成角的正弦值等于． 13分19.椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上任一点，为其右焦点，是椭圆的左、右顶点，点满足.①证明：为定值；②设是直线上的任一点，直线分别另交椭圆于两点，求的最小值.参考答案：解：（1）由得，把点代入椭圆方程为，∴得，∴，椭圆的标准方程为；（2）①由（1）知，，而，∴为定值；②设若，则，若，因为，直线，直线，由整理得，∴，得，由整理得，∴，得，由①知，∴，∵（当且仅当即时取等号）∴，即的最小值为3.20.（本小题满分12分）已知（为自然对数）（Ⅰ）当时，求过点处的切线与坐标轴围城的三角形的面积；（Ⅱ）若在(0,1)上恒成立,求实数的取值范围.参考答案：(Ⅰ)当时,,,函数在点处的切线方程为，即…………2分设切线与x、y轴的交点分别为A,B.令得,令得,∴,,

…4分.

…5分(Ⅱ)由得,

…6分令,…8分令,,∵,∴,在为减函数，∴,又∵,∴……………10分∴在为增函数,,因此只需……………12分21.若数列的前项和满足.(1)求证：数列是等比数列；(2)设，求数列的前项和.参考答案：(1)当时，，解得……1分当时，由题意，

，即……3分所以，即

数列是首项为，公比为2的等比数列……6分(2)由（1），，所以……8分……10分……12分22.已知函数，.（Ⅰ）当时，求f(x)的最小值；（Ⅱ）若f(x)有两个零点，求参数a的取值范围参考答案：（Ⅰ）0；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）求函数的定义域，再求导，判别导函数的