江西省宜春市万载中学2021-2022学年高一数学理测试题含解析

江西省宜春市万载中学2021-2022学年高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；关于上述样本的下列结论中，正确的是 （

） A．②、③都不能为系统抽样 B．②、④都不能为分层抽样C．①、④都可能为系统抽样 D．①、③都可能为分层抽样参考答案：D2.若集合A={0，1，2，3}，B={1，2，4}，则集合A∪B=（）A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{1，2} D．{0}参考答案：A【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】按照并集的定义直接写出A∪B即可．【解答】解：∵A={0，1，2，3}，B={1，2，4}，∴A∪B={0，1，2，3，4}故答案为：A【点评】本题考查集合的运算，求并集及运算．属于基础题．3.（5分）已知α为第二象限角，sinα+cosα=，则sin2α=（） A． ﹣ B． C． ﹣ D． 参考答案：考点： 二倍角的正弦；三角函数的化简求值．专题： 计算题；三角函数的求值．分析： 原式两边平方，由二倍角的正弦公式即可化简求值．解答： ∵α为第二象限角，sinα+cosα=，∴两边平方可解得：1+sin2α=，∴sin2α=﹣．故选：A．点评： 本题主要考查了二倍角的正弦公式的应用，属于基本知识的考查．4.在△ABC中，，，则的值是（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】利用正弦定理的推论即可求解.【详解】因为，，由正弦定理.故选：A【点睛】本题考查了正弦定理的推论，属于基础题.5.过点的直线的斜率为，则a等于（）A.－8 B.10 C.2 D.4参考答案：B【分析】直接应用斜率公式，解方程即可求出的值.【详解】因为过点的直线的斜率为，所以有，故本题选B.【点睛】本题考查了直线斜率公式，考查了数学运算能力.6.下列函数中是偶函数且在上单调递增的是

（

▲

）A

B

C

D

参考答案：D略7.已知,则向量在方向上的射影为(

)A. B. C.1 D.参考答案：A【分析】通过已知关系式，利用向量数量积即可求出向量在方向上的投影。【详解】，，，，解得：，向量在方向上的投影为，故答案选A。8.已知扇形的圆心角为弧度，半径为2，则扇形的面积是

A．

B．

C．

D．参考答案：D9.设函数，则的值为A.—1

B.0

C.1

D.2参考答案：C.故选C.10.化简的结果为()A．5B.C．－D．－5参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P。如果将容器倒置，水面也恰好过点（图2）。有下列四个命题：A.正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B.将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点C.任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点D.若往容器内再注入升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是：

（写出所有真命题的代号）.

参考答案：D略12.函数的值域为

.

参考答案：

13.=

参考答案：14.给出下列命题：

①存在实数,使；②存在实数，使；③函数是偶函数；④是函数的一条对称轴方程；⑤若是第二象限的角，且，则；⑥在锐角三角形ABC中，一定有；

其中正确命题的序号是_

____。参考答案：③④⑥略15.的值域是_______；参考答案：略16.已知,则实数的取值范围为

.参考答案：略17.在四边形ABCD中，已知AD⊥DC，AB⊥BC，AB=1，AD=2，∠BAD=120°，则BD=

，AC=

．参考答案：，．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】由余弦定理求出BD，利用AC为直径，根据正弦定理，即可求出．【解答】解：△ABD中，由余弦定理可得BD==∵AD⊥DC，AB⊥BC，∴A，B，C，D四点共圆，AC为直径，∴AC==．故答案为：，．【点评】本题考查余弦定理、正弦定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分别为PB，PD的中点．(Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；(Ⅱ)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．

参考答案：(Ⅰ)如图连接BD]∵M，N分别为PB，PD的中点，∴在PBD中，MN∥BD．又MN平面ABCD，

∴MN∥平面ABCD；(Ⅱ)如图建系：A(0，0，0)，P(0，0，)，M(，，0)，N(，0，0)，C(，3，0)．

22设Q(x，y，z)，则．

∵，∴．由，得：．

即：．对于平面AMN：设其法向量为．∵．则．

∴．同理对于平面AMN得其法向量为．记所求二面角A—MN—Q的平面角大小为，则．∴所求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值为．19.（12分）三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱相等，AA1⊥底面ABC，E是AA1的中点．（Ⅰ）求证：BE⊥CB1；（Ⅱ）在AB上找一点P，使P﹣CBE的体积等于C﹣ABE体积的．参考答案：考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．专题： 空间位置关系与距离．分析： （Ⅰ）取AB的中点H，连结CH，HB1，由已知得CH⊥BE，BE⊥B1H，由此能证明BE⊥CB1．（Ⅱ）===，根据相似三角形的关系得=，由此能求出点P在有向线段BA的三分之一处．解答： （Ⅰ）证明：取AB的中点H，连结CH，HB1，∵△ABC是等边三角形，∴CH⊥BE，∵四边形AA1B1B是正方形，且E，H分别是AA1，AB的中点，∴BE⊥B1H，∵BE∩B1H=D，∴BE⊥平面CHB1，∵CB1?平面CHB1，∴BE⊥CB1．（Ⅱ）解：∵VC﹣ABE=VA﹣CBE，∴==，其中d1，d2分别是点P，A到BE的距离，∵=，∴根据相似三角形的关系得=，∴BP=，∴点P在有向线段BA的三分之一处．点评： 本题考查异面直线垂直的证明，考查点P的位置的确定，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.经研究发现,某地鲑鱼最大的游速是2.5m/s,且在未达到最大游速时,游速y可以表示为函数,单位是m/s,x是表示鲑鱼的耗氧量的单位数.又当鲑鱼达到最大游速时，由于体能与环境的原因,游速不随耗氧量的单位数x增加而改变.1)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数;2)求鲑鱼游速y关于耗氧量单位数x的函数关系;3)在未达到最大游速时,某条鲑鱼想把游速提高1m/s,那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？参考答案：解:1)令y=0,则

-------1分

一条鱼静止时耗氧量为100个单位.

-------3分2)由，得

------5分

-------9分3)当时，由即

-------10分即＝1,得.

-------11分所以耗氧量的单位数为原来的9倍．

-------12分21.

某学校一位教师要去某地参加全国数学优质课比赛，已知他乘火车、轮船、汽车、飞机直接去的概率分别为0.3、0.1、0.2、0.4.（Ⅰ）求他乘火车或乘飞机去的概率；（Ⅱ）他不乘轮船去的概率；参考答案：解：记A=“他乘火车去”，B=“他乘轮船去”，C=“他乘汽车去”，D=“他乘飞机去”，

由题意可知：P(A)=0.3，P(B)=0.1，P(C)=0.2,P(D)=0.4,且事件A、B、C、D两两互斥

（1）“他乘火车或乘飞机去”即为事件A∪D.P(A∪D)=P(A)+P(D)=0.3+0.4=0.7即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7………………6分

(2)“他不乘轮船去”的事件为，所以P()=1-P(B)=1-0.1=0.9

即他不乘轮船去的概率为0.9

……………12分略22.（本小题满分10分）

设数列的前项和为，数列满足：，（）。已知对任意的都成立。

（1）求的值；

（2）设数列的前项和为，问是否存在互不相等的正整数，使得成等差数列，且成等比数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。参考答案：解：（1）当时，；

当时，，也适合上式。

所以。（2分）

因为对任意的都成立，，

所以，

所以，且，

所以，数列是首项为1，公比为3的等比数列。

所以，（4分）

即，

因为，

所以

所以对任意的都成立，

所以。（6分）

（2）由（1）得，

所