湖南省郴州市资兴市三都中学高三数学理期末试卷含解析

湖南省郴州市资兴市三都中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数在定义域内零点可能落在下列哪个区间内

A．(0，1)

B．(2，3)

C．(3，4)

D．(4，5)参考答案：C2.在△ABC中，E为AC上一点，，P为BE上任一点，若，则的最小值是A.9 B.10C.11 D.12参考答案：D【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件首先确定的关系，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可知：，三点共线，则：，据此有：，当且仅当时等号成立.综上可得：的最小值是12.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.若奇函数的定义域是，则等于()A．3 B．－3 C．0 D．无法计算参考答案：C4.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为（）A．π B．2π C．3π D．4π参考答案：C【考点】球内接多面体．【分析】过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC及其内切圆⊙O1和外切圆⊙O2，且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，由题意⊙O1的半径为r=1，进而求出圆锥的底面半径和高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC及其内切圆⊙O1和外切圆⊙O2，且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，由题意⊙O1的半径为r=1，∴△ABC的边长为2，∴圆锥的底面半径为，高为3，∴V=．故选：C．5.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（

）

（1），；

（2），；

（3），；

（4），；

（5），。A．（1），（2） B．（2），（3） C．（4）

D．（3），（5）参考答案：C略6.函数是

(

)A．最小正周期为，值域为的函数

B．最小正周期为，值域为的函数C．最小正周期为，值域为的函数

D．最小正周期为,值域为的函数

参考答案：C【知识点】三角函数的周期；三角函数的值域解析：，最小正周期为,因为,所以,即值域为,故选C.【思路点拨】先把原函数化简整理，再利用周期公式求解即可，然后求出值域。

7.设向量=（x﹣1，x），=（x+2，x﹣4），则“⊥”是“x=2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】⊥，可得?=0，解出即可得出．【解答】解：∵⊥，∴（x﹣1）（x+2）+x（x﹣4）=0，化为：2x2﹣3x﹣2=0，解得x=﹣或2．∴“⊥”是“x=2”的必要不充分条件．故选：B．8.在“学雷锋，我是志愿者”活动中，有名志愿者要分配到个不同的社区参加服务，每个社区分配名志愿者，其中甲、乙两人分到同一社区，则不同的分配方案共有（A）种

（B）种

（C）种

（D）种参考答案：B9.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B详解：由程序框图知．故选B．

10.已知，则f(x)>1的解集为()A．(－1,0)∪(0，e)B．(－∞，－1)∪(e，＋∞)C．(－1,0)∪(e，＋∞)D．(－∞，1)∪(e，＋∞)参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若二次函数的图象和直线y=x无交点，现有下列结论： ①方程一定没有实数根； ②若a>0，则不等式对一切实数x都成立； ③若a<0，则必存存在实数x0，使； ④若，则不等式对一切实数都成立； ⑤函数的图像与直线也一定没有交点。 其中正确的结论是

（写出所有正确结论的编号）.参考答案：①②④⑤略12.若的二项展开式中，所以二项式系数之和为64，则

；该展开式中的常数项为

（用数字作答）.参考答案：，.试题分析：由题意得，，由二项展开通项公式可知，令，故常数项为，故填：，.考点：二项式定理.13.抛物线y2=8x上到顶点和准线距离相等的点的坐标为．参考答案：（1，±2）【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线方程设P点坐标，分别表示出其到准线方程和到原点的距离，使其相等进而求得a，则P的坐标可得．【解答】解：设点P坐标为（a2，a）依题意可知抛物线的准线方程为x=﹣2a2+2=，求得a=±2∴点P的坐标为（1，±2）故答案为：（1，±2）．【点评】本题主要考查了两点间的距离公式、抛物线的简单性质，属基础题．14.已知抛物线x2=4y的焦点F的坐标为

；若M是抛物线上一点，|MF|=5，O为坐标原点，则cos∠MFO=．参考答案：

【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，即可得到抛物线的焦点坐标．利用抛物线的方程与定义，即可得出结论．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，∴=1∴抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）．∵M是抛物线上一点，|MF|=5，∴M（±4，4），∴cos∠MFO=﹣．故答案为15.若对任意，（）有唯一确定的与之对应，则称为关于的二元函数。定义：满足下列性质的二元函数为关于实数的广义“距离”:

（1）非负性：,当且仅当时取等号;（2）对称性：;

（3）三角形不等式：对任意的实数均成立．给出三个二元函数:①;②;③．请选出所有能够成为关于的广义“距离”的序号_______________．参考答案：【知识点】新定义概念；不等式；函数.B1，E2【答案解析】②解析：解解：对于①，不妨令x-y=2，则有此时有（x-y）2=4，而故f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）不成立，所以不满足三角不等式，故①不满足,对于②，f（x，y）=|x-y|≥0满足（1）；f（x，y）=|x-y|=f（y，x）=|y-x|满足（2）；f（x，y）=|x-y|=|（x-z）+（z-y）|≤=f（x，z）+f（z，y）满足（3），故②能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数

对于③，由于x-y＞0时，无意义，故③不满足

故答案为：②【思路点拨】通过令特殊值的形式说明关系式是否成立，根据不等式的关系进行证明.16.已知，且为第二象限角，则的值为_____________.参考答案：略17.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值___________;参考答案：【知识点】简单线性规划．E5【答案解析】3

解析：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域△ABC，A（2，0），B（1，1），C（3，3），则目标函数z=2x+y的最小值为3．故答案为：3．【思路点拨】先根据条件画出可行域，设z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=2x+y，过可行域内的点B（1，1）时的最小值，从而得到z最小值即可．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.为了调查某高中学生每天的睡眠时间，现随机对20名男生和20名女生进行问卷调查，结果如下：睡眠时间（小时）[4，5）[5，6）[6，7）[7，8）[8，9）人数15653男生睡眠时间（小时）[4，5）[5，6）[6，7）[7，8）[8，9）人数24842女生（I）现把睡眠时间不足5小时的定义为“严重睡眠不足”，从睡眠时间不足6小时的女生中随机抽取3人，求此3人中恰有一人为“严重睡眠不足”的概率；（II）完成下面2×2列联表，并回答是否有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”？

睡眠时间少于7小时睡眠时间不少于7小时合计男生

女生

合计

（其中n=a+b+c+d）参考答案：【考点】独立性检验．【专题】计算题；概率与统计．【分析】（I）睡眠时间不足6小时的女生共6人，其中“严重睡眠不足”的有2人，结合古典概型概率计算公式，可得答案．（II）根据所给数据可完成2×2列联表，利用公式求出K2，与临界值比较，可得结论【解答】解：（I）睡眠时间不足6小时的女生共6人，其中“严重睡眠不足”的有2人，从中抽取3个，则共有C63=20种不同的抽取方法；其中恰有一人为“严重睡眠不足”抽取方法有：C42?C21=12种，故此3人中恰有一人为“严重睡眠不足”的概率P==，（II）由题意可得满足条件的2×2列联表如下图所示：

睡眠时间少于7小时睡眠时间不少于7小时合计男生12820女生14620合计261440∴=≈0.44，∵0.44＜2.706．∴没有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”．【点评】本题考查的知识点是古典概型，2×2列联表，考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，属于基础题．19.（本小题满分12分）

正项等差数列满足a1＝4，且a2，a4＋2，2a7－8成等比数列．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）令，求数列的前n项和Tn．参考答案：（Ⅰ）;（Ⅱ）.试题分析：（Ⅰ）根据成等比,可得,根据等差数列的通项公式将其转化为关于公差的一元二次方程,可得的值,根据该数列为正项等差数列可知.从而可得.（Ⅱ）将变形,用裂项相消法可求得.试题解析：解：（Ⅰ）设数列公差为，由已知得：，化简得：，解得：或（舍），所以． …5分（Ⅱ），所以． …12分考点：1等差数列的通项公式,前项和公式;2裂项相消法求和.20.已知函数（Ⅰ）若求在处的切线方程；（Ⅱ）求在区间[1,e]上的最小值；（III）若在区间(1,e)上恰有两个零点，求a的取值范围．参考答案：（I）在处的切线方程为………..3分（Ⅱ）由由及定义域为，令①若在上，，在上单调递增，因此,在区间的最小值为.②若在上，，单调递减；在上，，单调递增，因此在区间上的最小值为③若在上，，在上单调递减，因此,在区间上的最小值为.综上，当时，；当时，；当时，.

……………….9分(III)由（II）可知当或时，在上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点.当时，要使在区间上恰有两个零点，则∴即，此时，.所以，的取值范围为…………..14分21.已知函数．

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若不等式对任意实数恒成立，求的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）当时，即，当时，得，即，所以；当时，得成立，所以；当时，得，即，所以.故不等式的解集为.（Ⅱ）因为，由题意得，则或，解得或,

故的取值范围是.略22.设数列的各项都是正数，为数列的前项和，且对任意，都有,,,(常数，是以为底数的自然对数，)（1）求数列、的通项公式；（2）用反证法证明