湖南省益阳市第十五中学高三数学理测试题含解析

湖南省益阳市第十五中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.

“”是“”的（

）A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：答案：A2.如图，正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B．恒有平面A′GF⊥平面BCEDC．三棱锥A′—FED的体积有最大值D．异面直线A′E与BD不可能垂直参考答案：D3.某几何体的三视图如图所示，图中网格小正方形边长为1，则该几何体的体积是（）A．4 B． C． D．12参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】画出图形，说明几何体的形状，然后利用三视图的数据求解即可．【解答】解：由三视图可知几何体的图形如图．是三棱柱截去两个四棱锥的几何体，原三棱柱的高为：4，底面是等腰直角三角形，直角边长为2．截去的四棱锥如图：几何体的体积为：﹣=．故选：B．4.在△ABC中，分别是角A、B、C的对边，且,c=5,a=7’则△ABC的面积等于

(A)

(B)

(C)

(D)10参考答案：C略5.若纯虚数（a+i）2（i为虚数单位）在复平面内对应的点在直线x﹣y+1=0的下方，则实数a的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣ D．参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】直线与圆；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义可得a，再利用线性规划的有关知识即可得出a．【解答】解：（a+i）2=a2﹣1+2ai为纯虚数，∴，解得a=±1，∴纯虚数（a+i）2（i为虚数单位）在复平面内对应的点为（0，±2），∵所对应的点在直线x﹣y+1=0的下方，应该满足x﹣y+1＞0，∴取（0，﹣2），∴a=﹣1．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、线性规划的有关知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.函数，，的零点分别是a，b，c则（

）A．a＜b＜c

B．c＜b＜a

C．c＜a＜b

D．b＜a＜c参考答案：A7.函数的定义域是

(A)

(B)

(C)

(D)

参考答案：D8.已知分别为数列与的前项和，若，则的最小值为（

）A.1023

B.1024

C.1025

D.1026参考答案：B考点：分组求和，裂项相消法求和，等比数列的和．【名师点睛】数列求和方法较多，根据数列的不同特征应采取不同的方法，常用方法有：分组求和法、裂项相消法、错位相减法、并项求和法、倒序相加法．9.已知某空间几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是 A．2cm3

B．cm3

C．1cm3 D．6cm3参考答案：A10.右图中，为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，为该题的最终得分，当时，等于(

)(A)

10

(B)

9

(C)

8

(D)

7参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若直线与圆相切，则的最小值是

.参考答案：212.一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率是_______。参考答案：13.平面向量与的夹角为，，则_______.参考答案：14.已知等比数列{an}满足a1=2，a1+a3+a5=14，则++=

．参考答案：【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知条件利用等比数列的性质求出公比，由此能求出答案．【解答】解：∵等比数列{an}满足a1=2，a1+a3+a5=14，∴2+2q2+2q4=14，解得q2=2或q2=﹣3（舍），∴++=++=，故答案为：．15.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，

若对满足的、，有，则

▲

．参考答案：16.称离心率为的双曲线为黄金双曲线．如图是双曲线的图象，给出以下几个说法： ①双曲线是黄金双曲线； ②若，则该双曲线是黄金双曲线； ③若F1，F2为左右焦点，A1，A2为左右顶点，B1（0，b），B2（0，-b）且∠F1B1A2=90°，则该双曲线是黄金双曲线； ④若MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON=90°，则该双曲线是黄金双曲线． 其中正确命题的序号为

参考答案：①②③④17.已知函数f（x）=，若f（3﹣2a2）＞f（a），则实数a的取值范围是．参考答案：a＞1或a＜﹣．略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=x3﹣9x，函数g（x）=3x2+a．（Ⅰ）已知直线l是曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线，且l与曲线y=g（x）相切，求a的值；（Ⅱ）若方程f（x）=g（x）有三个不同实数解，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数和切线的斜率和方程，设l与曲线y=g（x）相切于点（m，n），求出g（x）的导数，由切线的斜率可得方程，求得a的值；（Ⅱ）记F（x）=f（x）﹣g（x）=x3﹣9x﹣3x2﹣a，求得导数和单调区间，极值，由题意可得方程f（x）=g（x）有三个不同实数解的等价条件为极小值小于0，极大值大于0，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x3﹣9x的导数为f′（x）=3x2﹣9，f（0）=0，f′（0）=﹣9，直线l的方程为y=﹣9x，设l与曲线y=g（x）相切于点（m，n），g′（x）=6x，g′（m）=6m=﹣9，解得m=﹣，g（m）=﹣9m，即g（﹣）=+a=，解得a=；（Ⅱ）记F（x）=f（x）﹣g（x）=x3﹣9x﹣3x2﹣a，F′（x）=3x2﹣6x﹣9，由F′（x）=0，可得x=3或x=﹣1．当x＜﹣1时，F′（x）＞0，F（x）递增；当﹣1＜x＜3时，F′（x）＜0，F（x）递减；当x＞3时，F′（x）＞0，F（x）递增．可得x=﹣1时，F（x）取得极大值，且为5﹣a，x=3时，F（x）取得极小值，且为﹣27﹣a，因为当x→+∞，F（x）→+∞；x→﹣∞，F（x）→﹣∞．则方程f（x）=g（x）有三个不同实数解的等价条件为：5﹣a＞0，﹣27﹣a＜0，解得﹣27＜a＜5．19.在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以为极点轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆的极坐标方程；（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长.参考答案：（1）；（2）2．试题解析：（1）圆的普通方程为，又所以圆的极坐标方程为.（2）设，则由，解得设，则由，解得所以.考点：参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，直线的极坐标方程．20.在直角坐标系xOy中，曲线C1：（θ为参数，r为大于零的常数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣8ρsinθ+15=0．（Ⅰ）若曲线C1与C2有公共点，求r的取值范围；（Ⅱ）若r=1，过曲线上C1任意一点P作曲线C2的切线，切于点Q，求|PQ|的最大值．参考答案：【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）曲线C1消去参数r，求出曲线C1的直角坐标方程，由曲线C2的极坐标方程求出曲线C2的直角坐标方程，若C1与C2有公共点，则r﹣1≤|C1C2|≤r+1，由此能求出r的取值范围．（Ⅱ）设P（cosα，sinα），由|PQ|2=|PC2|2﹣|C2Q|2=|PC2|2﹣1，得|PQ|2=cos2α+（sinα﹣4）2﹣1=16﹣8sinα≤16+8=24，由此能求出|PQ|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C1：（θ为参数，r为大于零的常数），∴消去参数r，得曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=r2（r＞0），∵曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣8ρsinθ+15=0，∴曲线C2的直角坐标方程为x2+（y﹣4）2=1．若C1与C2有公共点，则r﹣1≤≤r+1，解得3≤r≤5，故r的取值范围是[3，5]．（Ⅱ）设P（cosα，sinα），由|PQ|2=|PC2|2﹣|C2Q|2=|PC2|2﹣1，得|PQ|2=cos2α+（sinα﹣4）2﹣1=16﹣8sinα≤16+8=24，当且仅当sinα=﹣1时取最大值，故|PQ|的最大值为2．21.(本小题满分15分)已知数列中各项均为正数，是数列的前项和，且.（1）求数列的通项公式

（2）对，试比较与的大小.参考答案：解：，当时，，又中各项均为正数解得，………2分当时，………4分，即即，，中各项均为正数，即（），，（），………6分又时，，数列的通项公式是，（）.…………8分(2)对，是数列的前项和，，

………………10分…12分，…………14分

22.已知集合,B=,（1）当时，求；

（2）求使的实数a的取值范围.参考答案：解：（1）当a=