山西省运城市盐化中学东校2021-2022学年高一数学理测试题含解析

山西省运城市盐化中学东校2021-2022学年高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数中既不是奇函数又不是偶函数的是（

）A．

B

C．

D

参考答案：A2.（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，则四面体P﹣ABC中共有（）个直角三角形． A． 4 B． 3 C． 2 D． 1参考答案：A考点： 直线与平面垂直的性质．专题： 计算题；空间位置关系与距离．分析： 由在Rt△ABC中，∠ABC=90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，能推导出BC⊥平面PAB．由此能求出四面体P﹣ABC中有多少个直角三角形．解答： 解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∴BC⊥PA，BC⊥AB，∵PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．∴四面体P﹣ABC中直角三角形有△PAC，△PAB，△ABC，△PBC．故选A．点评： 本题考查直线与平面垂直的性质的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的灵活运用．3.若a，b为实数，下列命题正确的是A.若a>|b|，则a2>b2B.若|a|>b，则a2>b2C.若a>b，则a2>b2D.若a2>b2，则a>b参考答案：A4.若变量x，y满足约束条件，则的最大值是（

）A．5

B．4

C．1

D．－5参考答案：B画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．

由，得，故，∴．故选B．

5.已知集合A、B是全集U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是（

）A、A∪B

B、C∪(A∩B)C、C∪(A∪B)

D、A∩B参考答案：C略6.已知α是三角形的一个内角，且，则这个三角形是（） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．不等腰的直角三角形 D．等腰直角三角形 参考答案：A【考点】三角形的形状判断． 【专题】计算题． 【分析】把所给的等式两边平方，得2sinαcosα=﹣＜0，在三角形中，只能cosα＜0，只有钝角cosα＜0，故α为钝角，三角形形状得判． 【解答】解：∵（sinα+cosα）2=，∴2sinαcosα=﹣， ∵α是三角形的一个内角，则sinα＞0， ∴cosα＜0， ∴α为钝角，∴这个三角形为钝角三角形． 故选A． 【点评】把和的形式转化为乘积的形式，易于判断三角函数的符号，进而判断出角的范围，最后得出三角形的形状． 7.已知函数，则的（

）A.最小值为3

B.最大值为3

C.最小值为

D.最大值为参考答案：D8.在△ABC中，a2﹣c2+b2=ab，则角C的大小为（）A．30° B．45° C．60° D．120°参考答案：C【考点】HR：余弦定理．【分析】利用余弦定理表示出cosC，将已知的等式代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．【解答】解：∵a2﹣c2+b2=ab，∴cosC===，又C为三角形的内角，则C=60°．故选C9.设集合，集合B为函数的定义域，则(

)A．(1，2)

B．C．

D．参考答案：D10.已知全集U={1，3，5，7，9}，A={1，5，7}，则（

）

A．{1，3}

B.{3，7，9}

C.{3，5，9}

D.{3，9}参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（4分）若A（﹣2，3），B（3，﹣2），C（，m）三点共线，则m的值为

参考答案：．考点： 三点共线．专题： 计算题．分析： 由三点共线的性质可得AB和AC的斜率相等，由=，求得m的值．解答： 由题意可得KAB=KAC，∴=，∴m=，故答案为．点评： 本题考查三点共线的性质，当A、B、C三点共线时，AB和AC的斜率相等．12.若幂函数的图象经过点,则的值是_____________．参考答案：略13.函数y=sin（ωx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，若，则ω的值为． 参考答案：【考点】正弦函数的图象． 【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图像与性质． 【分析】由解析式求出函数的周期与最值，做出辅助线过p作PM⊥x轴于M，根据周期的大小看出直角三角形中直角边的长度，解出∠APM与∠BPM的正弦、余弦函数值，利用cos∠APB=﹣，求出ω的值． 【解答】解：如图，函数y=sin（ωx+φ）， ∴AB=T=，最大值为1， 过P作PM⊥x轴于M，则AM是四分之一个周期，有AM=，MB=，MP=1， ∴AP=，BP=， 在直角三角形AMP中，有cos∠APM=，sin∠APM=， 在直角三角形BMP中cos∠BPM=，sin∠BPM=． cos∠APB=cos（∠APM+∠BPM）=﹣=﹣． ∴=﹣， 化简得：64ω4﹣160π2ω2+36π4=0，解得ω=． 故答案为：． 【点评】本题考查三角函数的图象的应用与两角和的余弦函数公式的应用，本题解题的关键是看出函数的周期，把要求正弦的角放到直角三角形中，利用三角函数的定义得到结果，是中档题． 14.设函数，若，则实数a=

参考答案：-4或2当时，方程可化为；解得：当时，方程可化为；解得：（舍去），或综上可知，实数或.所以答案应填：-4,2..

15.若直线始终平分圆的周长，则的最小值为________参考答案：9【分析】平分圆的直线过圆心，由此求得的等量关系式，进而利用基本不等式求得最小值.【详解】由于直线始终平分圆的周长，故直线过圆的圆心，即，所以.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用基本不等式求最小值，属于基础题.16.计算：

．参考答案：4原式故答案为4

17.

当函数取得最大值时，___________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在平面四边形ABCD中，已知，，AB=6，在AB上取点E，使得，连接EC、ED，若，。（1）求的值；（2）求CD的长。参考答案：（1）；（2）CD=7.试题分析：（1）在中，直接由正弦定理求出；（2）在中，，，可求出，在中，直接由余弦定理可求得.试题解析：（1）在中，据正弦定理，有.∵，，，∴.（2）由平面几何知识，可知，在中，∵，，∴.∴.在中，据余弦定理，有∴点睛：此题考查了正弦定理、余弦定理的应用，利用正弦、余弦定理可以很好得解决了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键．在中，涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.19.已知锐角满足，若，（1）求的表达式；（2）当时，求（1）中函数的最大值.参考答案：在时是增函数

在上是减函数…14分当时，…………16分20.小华参加学校创意社团，上交一份如图所示的作品：边长为2的正方形中作一内切圆⊙，在⊙内作一个关于正方形对角线对称的内接“十”字形图案.垂直于该“十”字形图案的一条边，点为该边上的一个端点.记“十”字形图案面积为，=.试用表示，并由此求出的最大值.参考答案：解：∵正方形边长为2，∴，sin，cos

……………2分故十字形面积2cos×2sin+2×2sin×(cos-sin)=8sincos-4sin2(∈(0,))

……………6分4sin2-2(1-cos2)

……………8分=4sin2+2cos2-2=2=其中cos=,sin=,∈(0,)

……10分∴当2+=时，取最大，最大值为.

……12分

略21.（本小题满分6分）设集合，，若（1），求的取值范围．（2），求的取值范围．参考答案：，....................2分,..........................................................4分，......................................6分22.（本小题满分12分）已知数列的前n项和为,,且(),数列满足,,对任意,都有．（1）求数列、的通项公式;（2）令.①求证:;②若对任意的，不等式恒成立，试求实数λ的取值范围．参考答案：（1）,∵，∴()，两式相减得，()∴，即(),

∴()，又,也满足上式，故数列的通项公式()．由，知数列是等比数列，其首项、公比均为，∴数列的通项公式．（若列出、、直接得而没有证明扣1分）（2）（1）∴

①∴

②由①-②,得,∴又恒正,故是递增数列,

∴

.