第二课时函数最大小值

第三章第二课时 函数的最大(小)值借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解它们的作用和意义.课标要求素养要求通过图象经历函数最值的抽象过程，发展学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究1函数的最大值与最小值最大值最小值条件一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有f(x)

≤

Mf(x)

≥

M∃x0∈I，使得

f(x0)＝M结论称M是函数y＝f(x)的最大值称M是函数y＝f(x)的最小值几何意义f(x)图象上最高点的

纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标最值首先是一个函数值，即存在一个自变量x0，使得f(x0)等于最值.对于定义域内的任意元素x，都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，“任意”两个字不可省略.使函数f(x)取得最大(小)值的自变量的值有时可能不止一个.函数f(x)在其定义域(某个区间)内的最大值的几何意义是其图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是其图象上最低点的纵坐标.点睛点睛))(5)因为不等式x2>－1总成立，所以－1是f(x)＝x2的最小值.(提示

f(x)＝x2的最小值为0.1.思考辨析，判断正误(1)若对任意x∈I，都有f(x)≤M，则M是函数f(x)的最大值.(

×提示

M是存在的，并且∃x0∈I，使得f(x0)＝M.(2)一个函数可能有多个最小值.(

×

)提示

最大(小)值至多有1个.(3)如果函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素.(

√

)(4)如果函数的值域是确定的，则它一定有最值.(

×

)提示

值域确定，但不一定有最值.×解析

根据图象可知，f(x)max＝3.2.函数f(x)＝|x|，x∈[－1，3]，则f(x)的最大值为

3

.

1

113.函数

y＝x－

在[2，3]上的最小值为

2

.解析

∵y＝1x－1在[2，3]上递减，min∴y

＝f(3)＝12.4.函数y＝－3x2＋2在区间[－1，2]上的最大值为

2

.解析

函数y＝－3x2＋2的对称轴为x＝0，又0∈[－1，2]，∴f(x)max＝f(0)＝2.课堂互动题型剖析2题型一 利用图象求函数的最值x2－x（0≤x≤2），【例

1】

已知函数

f(x)＝

2

x－1解

作出f(x)的图象如图：（x>2），求函数f(x)的最大值、最小值.由图象可知，当x＝2

时，f(x)取最大值为2；1

1当x＝2时，f(x)取最小值为－4.所以f(x)的最大值为21，最小值为－4.用图象法求最值的三个步骤思维升华思维升华解析

(1)作出函数f(x)的图象(如图(1)).由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值f(±1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，故f(x)的最大值为1，最小值为0.x2，－1≤x≤1，【训练

1】

(1)已知函数

f(x)＝1x，x>1.则f(x)的最大值、最小值分别为.

1

，0A.2C.－1B.1D.无最大值解析在同一坐标系中，作出函数的图象(如图(2)中实线部分)，则f(x)max＝f(1)＝1，故选B.图(1)图(2)(2)若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值为(

B

)题型二

利用单调性求函数的最值x.(1)求证f(x)在[1，＋∞)上是增函数；证明

设

1≤x1<x2，1

2

1则f(x

)－f(x

)＝

x

＋

2—

x

＋1

1

x

x

1

2＝（x1－x2）（x1x2－1）x

x1

2.∵1≤x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>1，∴x1x2－1>0，∴（x1－x2）（x1x2－1）x1x2<0，即f(x1)<f(x2).∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数.(2)求f(x)在[1，4]上的最大值及最小值.解

由(1)可知f(x)在[1，4]上单调递增，∴当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝2，4

.4

，利用单调性求最值：首先判断函数的单调性；然后利用单调性写出最值.函数的最值与单调性的关系：若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a).思维升华思维升华任取x

，x

∈[1，＋∞)，且1

2

1

2x

<x

，【训练

2】

已知函数

f(x)＝x2＋2x＋ax，x∈[1，＋∞).2(1)当

a＝1

函数

f(x)的最小值；时，求1解

当

a＝2时，f(x)＝1x2＋2x＋2x1＝x＋2x＋2.1所以f(x

)－f(x21)＝(x

－x

)·2

1－

1

12x

x2因为x1<x2

且x1>1，x2>1，所以x1－x2<0，x1x2>1，所以1－2x

x>0，所以(x

－x

)1 2

1

1

1

2

12x

x

21－

<0，所以f(x1)<f(x2)，即函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数.所以函数f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝11

7＋2＋2＝2.(2)若对任意的x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围.解

因为

f(x)＝x2＋2x＋ax>0

在[1，＋∞)上恒成立，所以x2＋2x＋a>0在[1，＋∞)上恒成立.记y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，所以y＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上单调递增，故当x＝1时，y取得最小值，最小值为3＋a.所以当3＋a>0，即a>－3时，f(x)>0恒成立，所以实数a的取值范围为(－3，＋∞).角度1

不含参数的二次函数的最值，最小值为题型三

二次函数的最值________.解析

∵f(x)＝x2－4x＋7＝(x－2)2＋3，∴此二次函数的对称轴为x＝2，∴原函数的最大值为f(6)＝19，最小值为f(2)＝3.19【例3－1】

函数f(x)＝x2

－4x＋7(0≤x≤6)的最大值为3角度2

含参数的二次函数的最值【例3－2】

已知函数f(x)＝x2－ax＋1，a(1)求f(x)在[0，1]上的最大值；解

(1)因为函数

f(x)＝x2－ax＋1

的图象开口向上，其对称轴为

x＝2，a

1当a

1所以区间[0，1]的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值，当2≤2，即a≤1

时，f(x)的最大值为f(1)＝2－a；2>2，即a>1

时，f(x)的最大值为f(0)＝1.(2)当a＝1时，求f(x)在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值.∴f(x)min＝f(t＋1)＝t2＋t＋1；解

当

a＝1

时，f(x)＝x2－x＋1，其图象的对称轴为

x＝12.2min①当

t≥1

f(x)在[t，t＋1]上是增函数，∴f(x)

＝f(t)＝t2－t＋1；时，1

1②当t＋1≤2，即t≤－2时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，1

1

1

1③当t<2<t＋1，即－2<t<2时，函数f(x)在t，2上单调递减，1在

，t＋1上单调递增，2所以f(x)

min

f21＝

＝34.含参数的二次函数最值问题的解法解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，再依a的符号确定抛物线的开口方向，依对称轴x＝－h得出顶点的位置，再根据x的定义区间结合大致图象确定最大或最小值.对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型：

(1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值；对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值；区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数.通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.思维升华思维升华【训练3】

已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3.(1)当x∈[－2，0]时，求f(x)的最值；(2)当x∈[－2，3]时，求f(x)的最值；解

f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1，开口向上.(1)当x∈[－2，0]时，f(x)在[－2，0]上是减函数，故当x＝－2时，f(x)有最大值f(－2)＝11；当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3.(2)当x∈[－2，3]时，f(x)在[－2，3]上先递减后递增，故当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2.又|－2－1|>|3－1|，∴f(x)的最大值为f(－2)＝11.(3)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t).解

①当t>1时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，所以当x＝t时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3.②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，f(x)在[t，t＋1]上先递减后递增，故当x＝1时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(1)＝2.③当t＋1<1，即t<0时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，所以当x＝t＋1时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(t＋1)＝t2＋2，t2－2t＋3，t>1，综上得g(t)＝2，0≤t≤1，2t

＋2，t<0.题型四

函数最值——实际应用【例4】某公司生产一种电子仪器的固定成本为20

000

元，每生产一台仪器需增加投入100

元，已知总收益满足函数：R(x)＝400x－1

（0≤x≤400），2x2其80

000

（x>400）.中x

是仪器的月产量.(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；解

设月产量为

x

台，则总成本为

20

000＋100x，从而f(x)＝2－1x2＋300x－20

000（0≤x≤400），60

000－100x

（x>400）.(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)解

当

0≤x≤400

时，f(x)＝－1

x－300)2＋25

000；2(∴当x＝300时，f(x)max＝25

000，当x>400时，f(x)＝60

000－100x是减函数，f(x)<60

000－100×400<25

000.∴当x＝300时 ，f(x)max＝25

000.即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25

000元.对于实际应用问题，首先要审清题意，确定自变量和因变量的条件关系，建立数学模型，列出函数关系式，进而分析函数的性质，从而解决问题.同时要注意自变量的取值范围.思维升华思维升华【训练4】近年来，“共享单车”的出现为人们“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240

万元，根据行业规定，每座城市至少要投资80

万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P(单位：万元)与投入资金a(单位：万元)满足P＝4

2a－6，乙城市收益Q(单位：万元)与投入资金a(单位：万元)满足Q＝41a＋2，80≤a≤120，设甲城市的投入资金32，120<a≤160.为x(单位：万元)，两城市的总收益为f(x)(单位：万元).(1)当投资甲城市128

万元时，求此时公司总收益；解

(1)当

x＝128

时，此时甲城市投资

128

万元，乙城市投资

112

万元，所以总1收益

f(128)＝4 2×128－6＋4×112＋2＝88(万元).(2)试问如何安排甲、乙两座城市的投资，才能使公司总收益最大？解

设甲城市投资

x

万元，则乙城市投资(240－x)万元，x≥80，240－x≥80，依题意得

解得

80≤x≤160.2x＋56.当80≤x<120

时，120<240－x≤160，f(x)＝4

2x－6＋32＝4

2x＋26<26＋16

15.当120≤x≤160

时，80≤240－x≤120f(x)＝4

2x－6＋1

－x)＋2

1

＋44(240

＝－4x令

t＝

x，则

t∈[2

30，4

10]，1

1所以

y＝－4t2＋4

2t＋56＝－4(t－8

2)2＋88，当

t＝8 2，即

x＝128

时，y

的最大值为

88.因为

88>26＋16

15，所以当甲城市投资

128

万元，乙城市投资

112

万元时，公司总收益最大，且最大收益为88

万元.求函数最值的常用方法与技巧图象法求函数最值.①画出函数y＝f(x)的图象；②观察图象，找出图象的最高点和最低点；③写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值.运用函数单调性求最值是求函数最值的常用方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性几乎成为首选方法.

(3)①注意对问题中求最值的区间与函数的单调区间之间的关系进行辨析；②注意对问题中求最值的区间的端点值的取舍.课堂小结课堂小结分层训练素养提升3一、选择题1.函数f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(

)CA.f(－2)，0C.f(－2)，2B.0，2D.f(2)，2解析

由图象可知，此函数的最小值是f(－2)，最大值是2.x，则2.已知

f(x)＝1

y＝f(x)在区间[2，8]上的最小值与最大值分别为(

A

)1

1

1A.8与2

B.3与

11

1C.9与31

1D.8与31解析

y＝x在[2，8]上单调递减，故1当x＝8

时，ymin＝8，当x＝2

时，ymax＝12.3.函数f(x)＝11－x（1－x）的最大值是(

C

)5A.44

4B.5

C.33D.42

123

3解析

因为

1－x(1－x)＝x

－x＋1＝x－2

＋4≥4，所以1－x（1－x）1

≤443.故f(x)的最大值为3.4.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量x的单位：辆).若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(A.90万元

C.120万元C

)B.60万元

D.120.25万元解析

设公司在甲地销售

x

台，则在乙地销售(15－x)台，公司获利为

L＝－x22

192

192＋21x＋2(15－x)＝－x

＋19x＋30＝－x－2

＋30＋4

，∴当x＝9

或10

时，L最大为120

万元.A5.函数f(x)＝xx－1x∈1

2，2的值域为()11

1

A.－1，2

B.[－1，2]

C.2，2

D.2，1x

x2

x－1

1

1

解析

f(x)＝ ＝1－

，当

x∈

，2

时，函数

f(x)为增函数，1

112∴当x＝2时，函数取得最小值，最小值为f2＝－1＝1

1－2＝－1，当x＝2

时，函数取得最大值，最大值为f(2)＝11

1－2＝2，

1即函数f(x)的值域为－1，2，故选A.二、填空题6.函数y＝x＋1，x∈[－3，－1]，－x－1，x∈（－1，4]的最小值为

－5

，最大值为.0解析

由题意可知，当x∈[－3，－1]时，ymin＝－2；当x∈(－1，4]时，ymin＝－5，故最小值为－5，同理可得，最大值为0.7.函数

g(x)＝2x－

x＋1的值域为

.

17－

8

，＋∞解析

设

x＋1＝t(t≥0)，则

x＋1＝t2，即

x＝t2－1，2

1217∴y＝2t

－t－2＝2t－4

－

8

，t≥0，1

17∴当t＝4时，ymin＝－8

，

17∴函数g(x)的值域为－8

，＋∞.8.函数y＝－x2

＋6x＋9在区间[a，b](a<b<3)上有最大值9，最小值－7，则a＝

－2

，b＝

0

.解析

y＝－(x－3)2＋18，∵a<b<3，∴函数y在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9，解得b＝0(b＝6不合题意，舍去).由－a2＋6a＋9＝－7，解得a＝－2(a＝8不合题意，舍去).三、解答题9.已知函数f(x)＝ax2－4ax＋b(a>0)在区间[0，1]上有最大值1和最小值－2.(1)求a，b的值；解

∵f(x)＝a(x－2)2＋b－4a，又a>0，∴函数图象开口向上，对称轴x＝2，∴f(x)在[0，1]上是减函数；∴f(0)＝b＝1，且f(1)＝b－3a＝－2，∴a＝b＝1.(2)若在区间[－1，1]上，不等式f(x)>－x＋m恒成立，求实数m的取值范围.解

f(x)>－x＋m⇔x2－4x＋1>－x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在[－1，1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上的最小值大于0即可.∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1>0得，m<－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1).10.某公司生产的A种产品，它的成本是2元/件，售价是3元/件，月销售量为10(万件).为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告.根据经验，每月投入的广告费是x(万元)时，产品的月销售量将是原销售量的t倍，且t是x的二次函数，它们的关系如下表：x(万元)012…t11.51.8…(1)求t关于x的函数关系式；解

设二次函数的解析式为t＝ax2＋bx＋c(a≠0).4a＋2b＋c＝1.8，

c＝1，

a＝－0.1，由关系表得a＋b＋c＝1.5，

解得b＝0.6，c＝1.∴所求函数的解析式为t＝－0.1x2＋0.6x＋1(x≥0).(2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出月利润S(万元)和广告费x(万元)的函数关系式；(3)如果投入的月广告费x在区间[1，2]内，问广告费为多少万元时，公司可获得的最大月利润为多少万元？解

(2)根据题意得S＝10t·(3－2)－x，∴S＝－x2＋5x＋10(x≥0)，2

5265∴S＝－x

＋5x＋10＝－x－2

＋

4

.(3)∵1≤x≤2，S随x的增大而增大，∴当x＝2时，S取得最大值为16.故当月广告费为2万元时，公司可获得最大的月利润为16万元.11.(多选题)若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，m]，值域为[－8，－4]，则实数m的值可能是(ABC

)A.2

B.3

C.4

D.5解析

函数y＝x2－4x－4的图象关于x＝2对称，且f(2)＝－8，f(0)＝f(4)＝－4，如图，y＝x2－4x－4在(－∞，2)上单调递减，(2，＋∞)上单调递增，由图可知，m∈[2，4]，所以实数m的取值范围是[2，4]，故选ABC.12.当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是

(－∞，0)

.解析

令f(x)＝－x2＋2x，则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.又∵x∈[0，2]，∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.∴a<0.13.已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；解

(1)由已知，设f(x)＝a(x－1)2＋1(a>0)，由f(0)＝3，得a＝2，故f(x)＝2x2－4x＋3.(2)要使函数不单调，则2a<1<a＋1，1即0<a<2.

所以a

的取值范围是0，1.

2(3)在区间[－1，1]上，y＝f(x)的图象恒在