《八年级数学期中培优》全等、等腰与勾股综合：手拉手模型、半角模型与鸡爪模型应用

《八年级数学期中培优》全等、等腰与勾股综合：手拉手模型、半角模型与鸡爪模型应用

八年级数学期中培优：全等、等腰与勾股综合1.在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°。(1)当点A、C、D在同一条直线上时，AC=12，EC=5。证明：由于AC=BC，所以△ABC是等腰三角形，∠ACB=90°。又因为∠ACB=∠ECD=90°，所以△DEC也是直角三角形。设AF⊥BD，连接CF并延长CF交AD于点G。根据勾股定理，AB²=AC²-BC²=12²-BC²，DE²=DC²-EC²=DC²-5²。因为△ABC和△DEC是相似的，所以BD/DC=AB/DE，即BD²=AC²-DC²=12²-DC²=AB²-DE²。所以AF²=AB²-BD²=DE²，即AF=DE。(2)当点A、C、D不在同一条直线上时，求证：AF⊥BD。证明：连接AF、CF，因为AC=BC，所以△ABC是等腰三角形，∠ACB=90°。又因为∠ACB=∠ECD=90°，所以△DEC也是直角三角形。所以△ABC和△DEC是相似的，所以BD/DC=AB/DE，即BD²=AB²-DE²。又因为AC=BC，所以AF⊥BD。(3)在(2)的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，求∠AFG的度数。因为AC=BC，所以△ABC是等腰三角形，∠ACB=90°。又因为∠ACB=∠ECD=90°，所以△DEC也是直角三角形。因为△ABC和△DEC是相似的，所以BD/DC=AB/DE，即BD²=AB²-DE²。所以AF²=AB²-BD²=DE²，即AF=DE。所以△AFG和△DEG是全等的，所以∠AFG=∠DEG=∠DEC=45°。2.如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90，D在AB边上一点。(1)求证：△ACE≌△BCD。证明：因为△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，所以AC=BC，CE=CD。又因为∠ACB=∠ECD=90°，所以△ACB和△ECD是相似的，所以∠ACE=∠BCD。又因为AC=BC，CE=CD，所以△ACE≌△BCD。(2)已知：AD=5，BD=12。求DE的长。因为△ACB和△ECD是等腰直角三角形，所以AC=BC，CE=CD。又因为∠ACB=∠ECD=90°，所以△ACB和△ECD是相似的，所以DE/BC=CE/AC，即DE=BC×CE/AC=12×5/AC=60/AC。3.如图，ΔABC，ΔCDE是边等三角形，C为线段AE上一不动点。①CN∥AB；②AD=BE；③∠AOE=120度；④CM=CN；⑤OC平分∠AOE；⑥OB+OC=OA；⑦DM=CN。结论①、②、④、⑤、⑥、⑦都是正确的。4.(1)操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF。你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论。线段AF与BD相等，证明如下：因为△ABC是等边三角形，所以AC=BC，∠ACB=60°。又因为△DCF是等边三角形，所以∠DCF=60°，所以∠DCA=∠FCB。所以△ABD和△FBC是相似的，所以BD/AF=BC/CF=BC/CD=1/2。所以BD=AF。(2)类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与(1)相同，猜想AF与BD在(1)中的结论是否仍然成立？结论仍然成立，证明如下：当点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，设BD=x，AB=a，则AD=2a-x。因为△ABC和△DCF是等边三角形，所以AC=BC，CF=BC，∠ACB=∠DCF=60°。所以△ABD和△FBC是相似的，所以BD/AF=BC/CF=BC/CD=x/(2a-x)。所以x=AF。(3)深入探究：Ⅰ.如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论。结论：AF²+BF′²=AB²。证明如下：设BD=x，AB=a，则AD=2a-x。因为△ABC和△DCF是等边三角形，所以AC=BC，CF=BC，∠ACB=∠DCF=60°。所以△ABD和△FBC是相似的，所以BD/AF=BC/CF=BC/CD=x/(2a-x)。所以AF=x/(2a-x)×AB，BF′=(2a-x-x)/(2a-x)×AB=AB-x/(2a-x)×AB。所以AF²+BF′²=x²/(2a-x)²×AB²+AB²-x²/(2a-x)²×AB²=AB²。Ⅱ.如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，I中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论。结论不成立，新的结论为：AF²-BF′²=AB²。证明如下：设BD=x，AB=a，则AD=2a-x。因为△ABC和△DCF是等边三角形，所以AC=BC，CF=BC，∠ACB=∠DCF=60°。所以△ABD和△FBC是相似的，所以BD/AF=BC/CF=BC/CD=x/(2a-x)。所以AF=x/(2a-x)×AB，BF′=(2a-x-x)/(2a-x)×AB=AB-x/(2a-x)×AB。所以AF²-BF′²=x²/(2a-x)²×AB²-AB²+x²/(2a-x)²×AB²=AB²。5.在△ABC中，AB=AC，D是线段BC的延长线上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE。(1)如图，点D在线段BC的延长线上移动，若∠BAC=30，则∠DCE=60。证明：因为AB=AC，所以△ABC是等腰三角形，∠BAC=∠BCA。因为∠DAE=∠BAC，所以∠DAE=∠BCA。又因为AE=AD，所以△ADE是等腰三角形，所以∠AED=∠DAE=∠BCA。又因为∠AED+∠DEC=180°，所以∠DEC=2∠BCA=60°，所以∠DCE=60°。(2)设∠BAC=α，∠DCE=β。因为AB=AC，所以△ABC是等腰三角形，∠BAC=∠BCA。因为∠DAE=∠BAC，所以∠DAE=∠BCA。又因为AE=AD，所以△ADE是等腰三角形，所以∠AED=∠DAE=∠BCA。又因为∠AED+∠DEC=180°，所以∠DEC=2∠BCA=2α。所以β=∠DCE=∠DEC-∠DEB=2α-∠DEB。又因为△ADE和△ABC是相似的，所以DE/AC=AD/AB，即DE/AC=sinα。所以∠DEB=180°-∠AED-∠DEC=180°-2α-β。所以DE/AC=sinα=sin(180°-2α-β)/sinβ，即sinαsinβ=sin(2α+β)。12、已知等边三角形ABC，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上的一动点，△DMN为等边三角形。(1)当点M在点B左侧时，EN与MF垂直，点F不在直线NE上。(2)当点M在BC上时，EN与MF仍然垂直，点F不在直线NE上，可利用图②证明。(3)当点M在点C右侧时，EN与MF仍然垂直，点F在直线NE上。13、等边三角形ABD和等边三角形CBD的长均为a，E是AD上异于A、D两点的一动点，F是CD上一动点，满足AE+CF＝a。(1)当E、F移动时，△BEF是等腰直角三角形。(2)当E在AD的中点时，△BEF面积最小。14、(1)连接EF可得到三角形AEF，由于∠EAF=45°，∠GAF=∠GFA=22.5°，因此△GAF为等腰直角三角形，DE+BF=EF。(2)猜想DE+BF=EF/2，证明：连接AC并延长交于点H，由于△ABD和△CBD为等边三角形，因此AH=HD，BH=HE，CH=HF，因此DE+BF=EF/2。(3)在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足EAFDAB/2，猜想DE+BF=EF/2，证明与(2)相同，连接AC并延长交于点H，由于AB=AD，因此AH=HD，BH=HE，CH=HF，因此DE+BF=EF/2。1、当∠B与∠D互余时，可使得DE+BF=EF。2、在直角三角形Rt△ABC中，AC=BC，D为AB的中点，EDF为直角，分别交AC、BC于点E、F。（1）当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于点E时，有S△DEF+S△CEF=S△ABC。（2）当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时，在图(2)和图(3)这两种情况下，上述结论不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC之间的数量关系需要重新推导。3、在直角三角形Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于D点，M、N是AC、BC上的动点，且∠MDN=90°。①结论：AM=CN；②结论：四边形MDNC的面积为定值；③结论：AM²+BN²=MN²；④结论：NM平分∠CND。其中正确的结论为①②③，即选项A。4、在直角三角形Rt△ABC中，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动，且保持AE=CF，连接DE、DF、EF。①结论：△DFE是等腰直角三角形；②结论：四边形CEDF不可能为正方形；③结论：四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；④结论：点C到线段EF的最大距离为2。其中正确结论的个数为3个，即选项C。5、在等腰直角三角形Rt△ABC中，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，BE=12，CF=5。由勾股定理可知，AB=AC=2√13，BC=2√26。根据勾股定理，DE=DF=BC/2=√26，由此可得EF=2DE=2√26。6、在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=1/2∠BAD。需要证明EF=BE+FD。根据正弦定理，有BE/DE=sin∠BED，FD/DF=sin∠DFC，EF/DE=sin∠EFD=sin(90°-∠BED-∠DFC)=cos(∠BED+∠DFC)。又因为∠BED+∠DFC=∠BAC，所以cos(∠BED+∠DFC)=sin(90°-∠BAC)=sin∠BAD。因此，EF/DE=sin∠BAD=BE/DE+FD/DF，即EF=BE+FD，结论得证。在四边形ABCD中，若∠B+∠D=180°且∠EAF=1/2∠BAD，则上述结论不成立。7、略。在平面内，旋转变换是指某一图形绕一个定点按顺时针或逆时针旋转一定的角度而得到新位置图形的一种变换。本题活动一给出了一个Rt△ABC，其中D为斜边AB上的一点，AD=2，BD=1，且四边形DECF是正方形，需要求阴影部分的面积。小明运用图形旋转的方法，将△DBF绕点D逆时针旋转90°，得到△DGE，可以发现阴影部分与正方形DECF的面积相等，因此阴影部分的面积为1。本题活动二给出了一个四边形ABCD，其中AB=AD，∠BAD=∠C=90°，BC=5，CD=3，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，需要求