相似三角形经典例题解析

相似三角形经典例题解析

初三（下）相似三角形总结一、如何证明三角形相似例1：如图，点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上，AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽△EGC。例2：已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，证明：△ABC∽△BCD。例3：矩形ABCD中，BC=3AB，E、F是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例4：△ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，证明：DF•AC=BC•FE。例5：已知如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，DM⊥BC于点E，交BA的延长线于点D。证明：（1）MA=MD•ME；（2）AD/MD=2.三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等例6：已知如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且AB/AD=3/1。证明：∠AEF=∠FBD。例7：在平行四边形ABCD内，AR、BR、CP、DP各为四角的平分线，证明：SQ∥AB，RP∥BC。例8：直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BCDE是正方形，AE交BC于F，FG∥AC交AB于G，证明：FC=FG。例3分析：已知∠ABD=∠CBE，∠DBC是公共角。因此，∠DBE=∠ABC。我们需要证明△DBE和△ABC相似，即它们有一对角相等或者夹这个角的两边成比例。从已知条件中可以看出，△CBE∽△ABD，因此有相等的角和成比例的线段，问题就可以得到解决。证明：在△CBE和△ABD中，∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD，因此△CBE∽△ABD。根据相似三角形的性质，我们可以得到以下比例关系：BC/BE=AB/AD即：BC/AB=BE/AD同理，在△DBE和△ABC中，∠CBE=∠ABD，∠DBC是公共角。因此，∠CBE+∠DBC=∠ABD+∠DBC，进而得到∠DBE=∠ABC。根据相似三角形的性质，我们可以得到以下比例关系：BC/AB=BE/AD因此，我们可以得出△DBE∽△ABC。例4分析：本题需要找出相似三角形。相似三角形有几种基本图形，包括“平行线型”、“相交线型”和“旋转型”。观察本题的图形，如果存在相似三角形，只可能是“相交线型”的相似三角形，即△EAF与△ECA。解：设AB=a，则BE=EF=FC=3a。由勾股定理可得AE=2a。在△EAF与△ECA中，∠AEF为公共角，且AE/EC=2/3，EF/CA=1/3。因此，根据相似三角形的性质，我们可以得出△EAF∽△ECA。例5分析：本题需要证明乘积式，并将其变形为比例式，然后利用相似三角形或平行线性质进行证明。证明：过点D作DK∥AB，交BC于点K。因为DK∥AB，所以有DF：FE=BK：BE。又因为AD=BE，所以DF：FE=BK：AD。由于BK：AD=BC：AC，所以DF：FE=BC：AC。因此，有DF•AC=BC•FE。例6分析：本题需要证明两个三角形相似。首先需要证明△MAE∽△MDA，然后利用相似三角形的性质进行证明。解：（1）因为∠BAC=90，M是BC的中点，所以MA=MC，∠1=∠C。又因为DM⊥BC，所以∠C=∠D=90-∠B，因此∠1=∠D。因此，在△MAE和△MDA中，有∠MAE=∠MDA，∠AME=∠AMD，以及∠MEA=∠MDA。因此，根据相似三角形的性质，我们可以得出△MAE∽△MDA。（2）由于△MAE∽△MDA，所以有：MA/MD=ME/MA即：MA^2=ME·MD又因为MA=MC，所以有：MC^2=ME·MD因此，有MC/MD=ME/MC。因此，根据相似三角形的性质，我们可以得出△MDC∽△MEC。45度，且∠ADS=∠ABR=90度，所以△ADS和△ABR是直角三角形。根据相似三角形的性质，有AR：AS=BR：DS。又因为△ADS≌△CBQ，所以DS=BQ。因此，AR：AS=BR：DS可以化简为AR：AS=BR：BQ。由此可得，SQ∥AB。同理可证，RP∥BC。例7分析：图中没有现成的相似形，也不能直接得到任何比例式，因此可以考虑作平行线构造相似形。具体而言，通过观察要证明的结论“AE：ED”，作DG∥BA交CF于G，得到△AEF∽△DEG。由于D为BC的中点，且DG∥BF，因此G为FC的中点，DG为△CBF的中位线。将这些信息代入“AE：ED”，可得到AE：AF=2：1，DG：BF=1：2。因此，证明DG=BF即可得到结论。例8分析：要证明角相等，一般可通过全等三角形、相似三角形、等边对等角等方法来实现。本题要证的两个角分别在两个三角形中，可考虑用相似三角形来证。但要证的两个角所在的三角形显然不可能相似，因此关键在于构造相似三角形。具体而言，作FG⊥BD，垂足为G。设AB=AD=3k，则BE=AF=k，AE=DF=2k，BD=32k。由于∠ADB=45度，∠FGD=90度，因此∠DFG=45度，DG=FG=DF/2=2k，BG=32k-2k=22k。由于∠A=∠FGB=90度，可得到△AEF∽△GBF，从而得到∠AEF=∠FBD。因此，证明∠FBD=∠GDS即可得到结论。例9分析：要证明两线平行，一般采用平行线的判定定理。但本例不具备这样的条件，因此可考虑用比例线段去证明。具体而言，利用比例线段证明平行线最关键的一点就是要明确目标，选择适当的比例线段。要证明SQ∥AB，只需证明AR：AS=BR：DS。在△ADS和△ARB中，由于∠DAB=∠DCP=∠PCB=∠ABC，因此△ADS∽△ABR。又因为△ADS≌△CBQ，所以DS=BQ。因此，AR：AS=BR：BQ可以化简为AR：AS=BR：DS。由此可得，SQ∥AB。同理可证，RP∥BC。FC=FG的结论。因此，我们可以利用△AED∽△AFC和△ABE∽△AGF这两个相似三角形，得到以下比例式：FC/ED=AF/AEFG/BE=AF/AG将两式相除，得到：FC/FG=ED/BE由于ED=BE（正方形的边长相等），所以有FC=FG，证毕。在这道题中，要证明AF∥CD，只需要证明OAOF即可。因此，我们可以利用OCOD和OAOBOE这两个比例式，得到以下比例式：OA/OC=OF/ODOA/OB=OE/OF将两式相乘，得到：OA²=OB·OC·OE·OD由于OA、OB、OC、OD、OE都是正数，所以有OAOF，证毕。已知CO平分∠C，且∠2=∠3，因此可以得到Rt△CAE∽Rt△CDO，从而得到以下比例式：AE/CD=AC/COOD/AC=CD/CO将两式相乘，得到：AE·OD=CD²又因为BF∥CO，所以可以得到Rt△ABD∽Rt△CAD，从而得到以下比例式：AB/AD=AC/CDBF/AD=AC/CO将两式相乘，得到：BF·CD=AD·CO将上述两式联立，消去CD，得到：AE·OD=