人教版高中数学必修三13算法案例-秦九韶算法课件

秦九韶算法秦九韶和《数书九章》

秦九韶（约公元1202年－1261年），字道古，南宋末年人，出生于鲁郡（今山东阜一带人）据史书记载，他“性及机巧，星象、音律、算术以至营造无不精究”，还尝从李梅亭学诗词。他在政务之余，以数学为主线进行潜心钻研，且应用范围至为广泛：天文历法、水利水文、建筑、测绘、农耕、军事、商业金融等方面。秦九韶与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。

秦九韶秦九韶和《数书九章》

宋淳祜四至七年（公元1244至1247），秦九韶在湖州为母亲守孝三年期间，把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑，写成了举世闻名的数学巨著《数书九章》。《数书九章》全书共九章九类，十八卷，每类9题共计81个算题。该书著述方式，大多由“问曰”、“答曰”、“术曰”、“草曰”四部分组成：“问曰”，是从实际生活中提出问题；“答曰”，是给出答案；“术曰”，是阐述解题原理与步骤；“草曰”，是给出详细的解题过程。另外，每类下还有颂词，词简意赅，用来记述本类算题主要内容、与国计民生的关系及其解题思路等。

秦九韶秦九韶和《数书九章》

他在《数书九章》序言中说，数学“大则可以通神明，顺性命；小则可以经世务，类万物”。所谓“通神明”，即往来于变化莫测的事物之间，明察其中的奥秘；“顺性命”，即顺应事物本性及其发展规律。在秦九韶看来，数学不仅是解决实际问题的工具，而且应该达到“通神明，顺性命”的崇高境界。从历史上来看，秦九韶的《数书九章》可与《九章算术》相媲美；从世界范围来看，秦九韶的《数书九章》也不愧为世界数学名著。

秦九韶

问题1：怎样求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值？x=5f=2﹡x^5-5﹡x^4-4﹡x^3+3﹡x^2-6﹡x+7PRINTfEND方法一

此算的优点是简单,易懂；缺点是不通用,不能解决任意多项多求值问题,而且计算效率不高.15次乘法运算,5次加法运算

方法二:先计算x2的值，然后依次计算x2·x，(x2·x)·x，((x2·x)·x)·x的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果.

与第一种做法相比,这种做法中，乘法的运算次数减少了,因而能提高运算效率.而且对于计算机来说,做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多,因此第二种做法能更快地得到结果.

问题1：怎样求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值？9次乘法运算,5次加法运算

方法三：能否有更好的算法,解决任意多项式的求值问题?f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7=((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7=(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7

问题1：怎样求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值？

方法三：能否有更好的算法,解决任意多项式的求值问题?f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7=((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7=(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7v0=2v1=v0x-5=2×5-5=5

问题1：怎样求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值？①

方法三：能否有更好的算法,解决任意多项式的求值问题?f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7=((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7=(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7v0=2v1=v0x-5=2×5-5=5

问题1：怎样求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值？①v2=v1x-4=5×5-4=21②

方法三：能否有更好的算法,解决任意多项式的求值问题?f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7=((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7=(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7v0=2v1=v0x-5=2×5-5=5

问题1：怎样求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值？①v2=v1x-4=5×5-4=21②③v3=v2x+3=21×5+3=108

方法三：能否有更好的算法,解决任意多项式的求值问题?f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7=((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7=(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7v0=2v1=v0x-5=2×5-5=5

问题1：怎样求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值？①v2=v1x-4=5×5-4=21②③v3=v2x+3=21×5+3=108④v4=v3x-6=108×5-6=534

方法三：能否有更好的算法,解决任意多项式的求值问题?f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7=((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7=(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7v0=2v1=v0x-5=2×5-5=5

问题1：怎样求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值？①v2=v1x-4=5×5-4=21②③v3=v2x+3=21×5+3=108④v4=v3x-6=108×5-6=534v5=v4x+7=534×5+7=2677⑤

方法三：能否有更好的算法,解决任意多项式的求值问题?f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7=((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7=(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7v0=2v1=v0x-5=2×5-5=5

问题1：怎样求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值？①v2=v1x-4=5×5-4=21②③v3=v2x+3=21×5+3=108④v4=v3x-6=108×5-6=534v5=v4x+7=534×5+7=2677⑤5次乘法运算,5次加法运算秦九韶算法

问题2：如何求多项式

f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值？f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0

=(anxn-1+an-1xn-2+…+a2x+a1)x+a0=((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0

=…=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.析：

问题2：如何求多项式

f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值？f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0

=(anxn-1+an-1xn-2+…+a2x+a1)x+a0=((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0

=…=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.析：v0v1

问题2：如何求多项式

f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值？f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0

=(anxn-1+an-1xn-2+…+a2x+a1)x+a0=((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0

=…=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.析：v0v1v0=anv1=v0x+an-1

问题2：如何求多项式

f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值？f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0

=(anxn-1+an-1xn-2+…+a2x+a1)x+a0=((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0

=…=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.析：v0v1v0=anv1=v0x+an-1v2v2=v1x+an-2

问题2：如何求多项式

f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值？f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0

=(anxn-1+an-1xn-2+…+a2x+a1)x+a0=((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0

=…=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.析：v0v1v0=anv1=v0x+an-1v2v2=v1x+an-2……vi=vi-1+an-i

问题2：如何求多项式

f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值？f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0

=(anxn-1+an-1xn-2+…+a2x+a1)x+a0=((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0

=…=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.析：v0v1v0=anv1=v0x+an-1v2v2=v1x+an-2……vi=vi-1+an-i……vn=vn-1x+a0……第一步，计算v1=anx+an-1.

第二步，计算v2=v1x+an-2.第n步，计算vn=vn-1x+a0.即：第i步，计算vi=vi-1+an-i循环体秦九韶法求n次多项式的值需要多少次乘法，多少次加法运算？

用秦九韶算法求多项式的值，其算法步骤如何设计？

第一步，输入多项式的次数n，最高次项的系数an和x的值.

第二步，令v=an，i=n-1.

第三步，输入i次项的系数ai.

第四步，v=vx+ai，i=i-1.

第五步，判断i≥0是否成立.若是，则返回第二步；否则，输出多项式的值v.算法分析：开始结束输