课时（六十六）离散型随机变量的分布列均值与方差作业

课时作业(六十六)离散型随机变量的分布列、均值与方差一、单项选择题1．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示()A．甲赢三局B．甲赢一局输两局C．甲、乙平局三次D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次2．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(k,24)，k＝2，4，5，6，7，则P(1<X≤5)＝()A．eq\f(11,24)B．eq\f(7,12)C．eq\f(2,3)D．eq\f(13,24)3．[2023·广东佛山模拟]已知离散型随机变量X的分布列如下：X135Pm则其数学期望E(X)＝()A．1B．C．2＋3mD．4．已知随机变量X的分布列如下，则X的标准差为()X135Pm．eq\r(3.2)C．．eq\r(3.56)5．[2023·安徽合肥模拟]若离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且P(X＝1)＝p，4－5P(X＝0)＝p，则p＝()A．eq\f(2,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,4)6．一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等、乙等和次品的概率分别为，和，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利()A．36元B．37元C．38元D．39元7．[2023·辽宁锦州期末]随机变量X的分布列是X－112Pabeq\f(1,3)若E(2X＋1)＝2，则D(X)＝()A．1B．4C．eq\f(11,7)D．eq\f(7,4)8．[2023·江苏南通期末]投资甲、乙两种股票，每股收益(单位：元)分别如下表：甲种股票收益分布列乙种股票收益分布列收益－102收益012概率概率则下列说法正确的是()A．投资甲种股票期望收益大B．投资乙种股票期望收益大C．投资甲种股票的风险更高D．投资乙种股票的风险更高9．(能力题)某项上机考试的规则是：每位学员最多可上机考试3次，一旦通过，则停止考试；否则一直到3次上机考试结束为止．某学员一次上机考试通过的概率为p(p≠0)，考试次数为X，若X的数学期望E(X)，则p的取值可能是()A．eq\f(1,2)B．eq\f(5,12)C．eq\f(7,12)D．eq\f(3,4)10．(能力题)设0<a<1，随机变量ξ的分布列如下表：ξ012Peq\f(1,2)eq\f(a,2)eq\f(1－a,2)当a在(0，1)内增大时，则()A．D(ξ)减小B．D(ξ)增大C．D(ξ)先减小后增大D．D(ξ)先增大后减小二、多项选择题11．[2023·广东云浮期末]已知随机变量X的分布列为X－101Peq\f(1,3)m3m下列结论正确的有()A．m＝eq\f(1,6)B．E(X)＝eq\f(1,6)C．E(2X－1)＝eq\f(1,3)D．D(X)＝eq\f(29,36)12．(能力题)[2023·河北沧州期末]2022年6月，上海市要求复工复产的相关人员须持48小时核酸检测阴性证明方能进入工厂．现有两种检测方式：(1)逐份检测；(2)混合检测：即将其中k份核酸样本混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸全为阴性，如果检测结果为阳性，则需要对这k份核酸再逐份检测．假设检测的核酸样本中，每份样本的检测结果相互独立，且每份样本是阳性的概率都为p(0<p<1)，若k＝20，则能使得混合检测比逐份检测更方便的p的值可能是(参考数据：lg2＝，＝－)()A．．．．三、填空题13．已知随机变量ξ的分布列如下表所示，ξ的期望E(ξ)＝，则a＝________．ξ0123Pab14.(能力题)一个盒子里有2个黑球和3个白球，现从盒子里随机每次取出1个球，每个球被取出的可能性相等，取出后不放回，直到某种颜色的球全部取出．设取出黑球的个数ξ，则P(ξ＝1)＝________，E(ξ)＝________．四、解答题15．甲、乙两名同学同时参加学校象棋兴趣小组，在一次比赛中，甲、乙两名同学与同一位象棋教练进行比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得2分；如果甲输而乙赢，则甲得－2分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分．设甲赢教练的概率为，乙赢教练的概率为0.4.求：(1)在一轮比赛中，甲得分X的分布列；(2)在两轮比赛中，甲得分Y的分布列及均值．16．(能力题)[2023·辽宁省实验中学模拟]对乙肝病毒携带者的检测是通过空腹抽血化验乙肝五项的检测完成的．现5人中有1位携带乙肝病毒，需要通过抽血化验来确定病毒携带者，血液检测呈阳性的为病毒携带者，有如下两种化验方案：方案1：将每个人的血液逐个化验，直到查出病毒携带者为止；方案2：先取3个人的血液进行混合检测，若呈阳性，对这3个人的再逐个检验，直到查出携带者；若不呈阳性，则检测余下的2个人中的1个人的样本．(1)若采用方案1，检测到第二人即检测出携带者的概率是多少？(2)通过所学知识，分析方案1和方案2，哪个方案更好？优生选做题17．[2023·辽宁沈阳模拟]某学校最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏，班主任把8个小球(只是颜色有不同)放入一个袋子里，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个，现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分，红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分为获胜，否则为负．并规定如下：①一个人摸球，另一人不摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先从袋子中摸出1球，若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，摸球人的得分为两次摸出的球的记分之和．(1)若由甲摸球，如果甲先摸出了绿色球，求该局甲获胜的概率；(2)若由乙摸球，如果乙先摸出了红色球，求该局乙得分ξ的分布列和数学期望E(ξ)；(3)有同学提出比赛不公平，提出你的看法，并说明理由．课时作业（六十六）离散型随机变量的分布列、均值与方差1．解析：甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，所以{ξ＝3}有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．故选D.答案：D2．解析：由题意得：P（1<X≤5）＝P（X＝2）＋P（X＝4）＋P（X＝5）＝eq\f(2＋4＋5,24)＝eq\f(11,24).故选A.答案：A3．解析：∵分布列中出现的所有的概率之和等于1，∴＋m＋＝1解得m＝，∴E（X）＝1×＋3×＋5×＝2.4.故选D.答案：D4．解析：由题意得E（X）＝1×＋3×＋5×（1－－）＝，∴X的方差为（1－）2×＋（3－）2×＋（5－）2×＝＋＋＝，∴X的标准差为eq\r(3.56).故选D.答案：D5．解析：因为X的分布列服从两点分布，所以P（X＝0）＋P（X＝1）＝1，由P（X＝1）＝p，4－5P（X＝0）＝p，所以4－5[1－P（X＝1）]＝p，所以p＝eq\f(1,4)，故选D.答案：D6．解析：由题意可得：设这台机器每生产一件产品可获利X，则X可能取的数值为50，30，－20，所以X的分布列为：P（X＝50）＝，P（X＝30）＝，P（X＝－20）＝，所以这台机器每生产一件产品平均预期可获利为：50×＋30×－20×＝37（元）.故选B.答案：B7．解析：依题意a＋b＋eq\f(1,3)＝1，a＋b＝eq\f(2,3)①，E（X）＝－a＋b＋eq\f(2,3)，E（2X＋1）＝2（－a＋b＋eq\f(2,3)）＋1＝－2a＋2b＋eq\f(7,3)＝2，整理得a－b＝eq\f(1,6)②，由①②解得a＝eq\f(5,12)，b＝eq\f(1,4)，且E（X）＝－eq\f(5,12)＋eq\f(1,4)＋eq\f(2,3)＝eq\f(1,2).所以D（X）＝（－1－eq\f(1,2)）2×eq\f(5,12)＋（1－eq\f(1,2)）2×eq\f(1,4)＋（2－eq\f(1,2)）2×eq\f(1,3)＝eq\f(7,4).故选D.答案：D8．解析：甲收益的期望E（X）＝－1×＋0×＋2×＝，方差D（X）＝（－1－）2×＋（－）2×＋（2－）2×＝，乙收益的期望E（Y）＝0×＋1×＋2×＝，方差D（Y）＝（0－）2×＋（1－）2×＋（2－）2×＝，所以E（X）＝E（Y），D（X）>D（Y），则投资股票甲乙的期望收益相等，投资股票甲比投资股票乙的风险高．故选C.答案：C9．解析：考试次数X的所有可能取值为1，2，3，P（X＝1）＝p，P（X＝2）＝（1－p）p，P（X＝3）＝（1－p）2，∴E（X）＝p＋2（1－p）p＋3（1－p）2，即4p2－12p＋5>0，解得p<eq\f(1,2)或p>eq\f(5,2)，又0<p<1，故0<p<eq\f(1,2).故选B.答案：B10．解析：由题意，E（ξ）＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(a,2)＋2×eq\f(1－a,2)＝1－eq\f(a,2)，所以D（ξ）＝（0－1＋eq\f(a,2)）2×eq\f(1,2)＋（1－1＋eq\f(a,2)）2×eq\f(a,2)＋（2－1＋eq\f(a,2)）2×eq\f(1－a,2)＝－eq\f(1,4)a2－eq\f(1,2)a＋1＝－eq\f(1,4)（a＋1）2＋eq\f(5,4)，所以D（ξ）在（0，1）上随a增大而减小．故选A.答案：A11．解析：由分布列的性质得：eq\f(1,3)＋4m＝1，解得m＝eq\f(1,6)，A正确；E（X）＝－1×eq\f(1,3)＋0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，E（2X－1）＝2E（X）－1＝－eq\f(2,3)，B正确，C不正确；D（X）＝eq\f(1,3)×（－1－eq\f(1,6)）2＋eq\f(1,6)×（0－eq\f(1,6)）2＋eq\f(1,2)（1－eq\f(1,6)）2＝eq\f(29,36)，D正确．故选ABD.答案：ABD12．解析：设混合检测样本需要检测的总次数为Y，Y的可能值为1和21，P（Y＝1）＝（1－p）20，P（Y＝21）＝1－（1－p）20，Y的分布列为：Y121P（1－p）201－（1－p）20E（Y）＝1×（1－p）20＋21×[1－（1－p）20]＝21－20（1－p）20，设逐份检测样本需要检测的总次数为X，则E（X）＝20，要使得混合检测方式优于逐份检测方式，有E（Y）<E（X），则有21－20（1－p）20<20⇔（1－p）20>eq\f(1,20)⇔lg（1－p）>－eq\f(1,20)lg20，又－eq\f(1,20)lg20＝－eq\f(1＋lg2,20)＝－eq\f(1＋0.3010,20)＝－＝lg，即lg（1－p）>lg，因此1－，解得，即，C，D不满足，A，B满足．故选AB.答案：AB13．解析：因为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(E（ξ）＝＝a＋2b＋0.6,a＋b＝0.7))，∴a＝0.5.答案：14．解析：ξ＝0，1，2，ξ＝0表示取球3次，3次取白球，则P（ξ＝0）＝eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)),Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)))＝eq\f(6,60)＝eq\f(1,10)，ξ＝1表示取球4次，3次取白球，前3次中有1次取黑球，则P（ξ＝0）＝eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)),Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)))＝eq\f(6,60)＝eq\f(1,10)，P（ξ＝1）＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)),Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5)))＝eq\f(3×6×2,120)＝eq\f(3,10)，P（ξ＝2）＝1－eq\f(1,10)－eq\f(3,10)＝eq\f(3,5)，故E（ξ）＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,10)eq\f(3,2)15．解析：（1）由题设，X的可能取值为－2，0，2，P（X＝－2）＝×＝，P（X＝0）＝×＋（1－）×（1－）＝，P（X＝2）＝×（1－）＝0.3.X的概率分布为X－202P（2）由题设，Y的可能取值为－4，－2，0，2，4，P（Y＝－4）＝×＝，P（Y＝－2）＝×＋×＝，P（Y＝0）＝×＋×＋×＝，P（Y＝2）＝×＋×＝，P（Y＝4）＝×＝0.09.Y的概率分布为Y－4－2024P所以E（Y）＝－4×＋（－2）×＋0×＋2×＋4×＝0.4.16．解析：（1）设“检测到第二人即检测出携带者”为事件A，所以，根据独立事件的概率乘法公式，P（A）＝eq\f(4,5)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,5).（2）设方案1需要化验的次数为X，则X的所有可能取值为1，2，3，4，所以，P（X＝1）＝eq\f(1,5)，P（X＝2）＝P（A）＝eq\f(1,5)，P（X＝3）＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,5)，P（X＝4）＝1－P（X＝1）－P（X＝2）－P（X＝3）＝eq\f(2,5)，所以，X的分布列为X1234Peq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(2,5)E（X）＝eq\f(1,5)×1＋eq\f(1,5)×2＋eq\f(1,5)×3＋eq\f(2,5)×4＝2.8.设方案2需要化验的次数为Y，则Y的所有取值为2，3，当Y＝2时，有两种可能，第一种，先检验的3人没有乙肝病毒携带者，做剩下的2人检测时得到结果，此时概率为P＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(4,5)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(2,5)；第二种，先检验的3人有乙肝病毒携带者，进而依次检验时第一次就检验到病毒携带者，此时概率为P＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)))×eq\f(1,3)＝eq\f(1,5)，所以，P（Y＝2）＝eq\f(2,5)＋eq\f(1,5)＝eq\f(3,5)，P（Y＝3）＝eq\f(2,5).Y的分布列为Y23Peq\f(3,5)eq\f(2,5)所以，E（Y）＝2×eq\f(3,5)＋3×eq\f(2,5)＝，因为E（X）＝2.8>E（Y）＝，所以方案2的平均检测次数少于方案1，故方案2更好．17．解析：（1）记“甲第一次摸出了绿色球，甲获胜”为事件A，则P（A）＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(1))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7)))＝eq\f(9,21)＝eq\f(3,7).（2）如果乙第一次摸出了红色球，则可以再从袋中摸出3个球，则得分情况有6分，7分，8分，9分，10分，11分，P（ξ＝6）＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7)))＝eq\f(1,35)，P（ξ＝7）＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7)))＝eq\f(9,35)，P（ξ＝8）＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7)))＝eq\f(9,35)，P（ξ＝9）＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(1))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7)))＝eq\f(4,35)，P（ξ＝10）＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(1))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7)))＝eq\f(9,35)，P（ξ＝11）＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(1)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7)))＝eq\f(3,35)，所以ξ的分布列为：P67891011ξeq\f(1,35)eq\f(9,35)eq\f(9,35)eq\f(4,35)eq\f(9,35)eq\f(3,35)所以ξ的数学期望E（ξ）＝6×eq\f(1,35)＋7×eq\f(9,35)＋8×eq\f(9,35)＋9×eq\f(4,35)＋10×eq\f(9,35)＋11×eq\f(3,35)＝eq\f(60,7).（3）由（1）可知，若先摸出绿球，则摸球人获胜的概率P1＝eq\f(3,7)，由（2）可知，若先摸出红球，则摸球人获胜的概率P2＝e