六年级数学上册典型例题-第五单元圆的面积问题拓展部分（解析版）

六年级数学上册典型例题系列之

第五单元圆的面积问题拓展部分(解析版)

编者的话：

《六年级数学上册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点

考题总结和编辑而成的，其优点在于选题典型，考点丰富，变式多样。

本专题是第五单元圆的面积问题拓展部分。本部分内容是在《圆

的面积问题基础部分》和《圆的面积问题提高部分》内容的基础上进

行总结和编辑的，其内容主要以求较复杂的不规则图形面积为主，主

要介绍了五种方法求阴影部分的面积，题型上多考察思维拓展类图形

题，综合性较强，题目难度大，建议根据学生掌握情况选择性讲解,

共划分为五个考点，欢迎使用。

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【♦或二】则腌部分的■不长方再.正方形与■幅

含.

季施MR：8¥1*9

【考点一】求阴影部分的面积：s阴影二s整体-S空白。

【方法点拨】

减法拓展思路是把不规则图形阴影部分面积拓展到包含阴影部分的规则图形中

进行分析，通过计算这个规则图形的面积和规则图形中除阴影部分面积之外多

余的面积，运用“总的”减去“部分的”方法解得答案。

【典型例题】

求阴影部分的面积。

解析：S阴影=S圆环+2

3.14X(5.5-42)4-2=3.14X14.254-2=22.3725(平方厘米)

【对应练习1】

在下图中(单位:厘米)，两个阴影部分面积的和是多少平方厘米?

解析：s阴影=S小半圆+S中半圆+S三角形-S大半圆

3.14x(16+2)24-2+3.14*(124-2)24-2+12x164-2-3.14x(204-2)24-2

=100.48+56.52+96-157

=96(平方厘米)

【对应练习21

已知ABCD是正方形，ED=DA=AF=2厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？

CB

DAF

解析:

如图，将①移到②得：阴影部分面积等于梯形

CEFB的面积减去三角形CED、三角形CDA、

扇形AFG的面积，据此解答即可.

DjF

解：如图，

----J---3----V

阴影部分面积：

（2+2x3）x2x-^-2X2X-^-22x-^-3.14x22x

45

360,

145

=8x2x--2-2-3.14X4X-TTT,

zJDU

=8-2-2-1.57,

=2.43（平方厘米）；

答：阴影部分的面积是2.43平方厘米.

【对应练习31

求下面图形中阴影部分的面积。（单位：厘米）

10

解析：S正方形-S圆=4个弯角的面积；S圆-4个弯角=S阴影

10X10-3.14X5M1.5（平方厘米）

78.5-21.5=57（平方厘米）

【考点二】求阴影部分的面积：长方形、正方形与圆的结合。

【方法点拨】

正方形的面积可以用对角线之积的一半来解决；长方形的面积可以看作两个三

角形之和。

【典型例题】

如图，OABC是正方形，扇形的半径是6厘米，求图中阴影部分的面积？

解析：正方形的面积：6X64-2=18（平方厘米）

扇形面积：3.14X62xi=28.26（平方厘米）

4

阴影部分面积：28.26-18=10.26（平方厘米）

【对应练习】

在图中，长方形的长是宽的2倍，半圆的面积是6.28平方厘米，求阴影部分的

面积。

解析：

r三6.28X2-r3.14=4

阴影部分可看作是两个三角形的面积之和，即

-2X2=4（平方厘米）

【考点三】求阴影部分的面积：辅助线法。

【方法点拨】

在通常手段无法求出阴影部分面积时，尝试使用添加辅助线的方法解决。

【典型例题】

ABC是等腰直角三角形。D是半圆周的中点，BC是半圆的直径，已知AB=BC=10,

那么阴影部分的面积是多少？

解析：如图作出辅助线,则阴影部分的面积为三角形AED的面积减去正方形BEDO

的面积再加上圆面积的-

4

1.1)

(10+104-2)X(104-2)X--(104-2)2+-X3.14X(10-2)2

24

=37.5-25+19.625=32.125(平方厘米)

【对应练习】

右图中4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心。如

果每个圆的半径都是1厘米,那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？

解析：

方法一：

【解析】此题直接求阴影部分的面积，这是一个不规则组合图形的图形，没法入手进行计算，所以可以在图中画出一些辅助线，

将要求的图形转化成计算规则图形的面积.阴影部分的面积=四个圆的面积•四个白色部分的面积x2,图中四个白色部分的图形一

样大小，只要求出图中四个白色部分的面积，然后利用圆的面积公式即可解决问题；

如上图，连接所得到的三角形是一个是一个直角边为圆的半径的直角三角形，红色部分的面积正好是白色部分的一半，红色部分

的面积=圆心角为90。的扇形的面积•直角三角形的面积，

由此即可求得红色部分的面积，由此即可解决问题.

2

3.14X1X-^_-1X1X1,

3602

=0.785-0.5,

=0.285（平方厘米），

四个白色部分的面积为：0.285x2x4=2.28（平方厘米），

所以阴影部分的面积为：

3.14X12X4-2.28X2,

=12.56-4.56,

=8（平方厘米），

方法二：

如上图，把大正方形外边的八部分补到中间空白部

分，拼成一个完整的大正方形，

圆的直径是：1x2=2（厘米）

（2x2）x（2x2）4-2

=4x4+2

=8（平方厘米）

答：阴影部分的总面积是8平方厘米.

【考点四】求阴影部分的面积：容斥原理。

【方法点拨】

重叠、分层思路是图形中不规则的阴影部分看作几个规则图形用不同的方法重

叠的结果，利用分层把重叠部分分出来，组成重叠图形各项个规则图形的面积

总和减去分掉的那面积，就是剩下所求那部分面积。

【典型例题】

下图中的三角形是等腰直角三角形，阴影部分的面积是多少平方厘米？

解析：3.14X（64-2）2-6X6+2=10.26（平方厘米）

【对应练习1】

求阴影部分的面积。（单位：厘米）

2

解析：S阴影=S小扇形+S大扇形-S长方形

3.14X32X1+3.14X22X1-3X2=7.065+3.14-6=4.205（平方厘米）

44

【对应练习21

求阴影部分的面积。（单位：厘米）

4

解析：3.14X22+2X4-4X4=9.12（平方厘米）

【考点五】求阴影部分的面积：差不变原理。

【方法点拨】

差不变思想，即利用等式的性质来求面积：

如果5甲=5乙，那么S甲+S空白=$乙+5空白，反之亦可。

【典型例题】

如图，是一个等腰直角三角形和一个半径为4厘米、圆心角为90。的扇形拼成

的图形，利用差不变思想计算下图中两个阴影部分的差是多少平方厘米？

解析：甲、乙两部分同时加上空白扇形，就相当于,圆-三角形。

4

3.14X42X1-4X44-2=4.56（平方厘米）

4

【对应练习1】

下图中的长方形的长、宽分别是4厘米、2厘米，求阴影部分甲的面积比阴影部

分乙的面积大多少平方厘米？

解析：

同时加上空白部分，甲与乙的差相当于扇形与长方形的面积差

|xirx42-4x2=47r-8=4.5坪方厘米.

4

【对应练习2】

如图，三角形ABC是直角三