高中数学-反证法 教学课件设计

路边苦李

王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.

王戎是怎样知道李子是苦的呢?请说明你的理由。小故事:显然这与故事中的李树长满果子相矛盾。说明李子是甜的这个假设是错的还是对的？

假如李子不是苦的，也就是说李子是甜的，那么按照惯例长在大路边的李子应该经常会被过路人吃掉，那么，树上的李子还会有这么多吗？所以，李子是苦的2.2.2反证法学习目标1.了解反证法是间接证明的一种基本方法．2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．一、问题情境小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了。小华对婷婷说：“昨天晚上下雨了。”你能对小华的判断说出理由吗？

假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。小华的理由：我们可以把这种说理方法总结一下：1．反证法假设原命题______(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明________，从而证明了__________，这种证明方法叫做反证法．2．反证法常见矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与________、____、____、____等矛盾．知新益能不成立假设错误原命题成立已知条件公理定义定理题型一用反证法证明否定性命题结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类命题的反面比较具体，适于应用反证法．

【例1】已知：如图△ABC中，D、E两点分别在AB和AC上求证：CD、BE不能互相平分

（平行四边形对边平行）证明：假设CD、BE互相平分连结DE，故四边形BCED是平行四边形∴BD∥CE这与BD、CE交于点A矛盾假设错误，∴CD、BE不能互相平分变式训练1已知a＋b＋c＝0，求证：ab＋bc＋ca不大于零．证明：假设ab＋bc＋ca>0，因为a2＋b2＋c2≥0.则(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)>0.所以(a＋b＋c)2>0，即a＋b＋c≠0，这与a＋b＋c＝0矛盾，所以假设不成立，故ab＋bc＋ca≤0.

当命题中出现“至少……”、“至多……”、“不都……”、“都不……”、“没有……”、等指示性词语时，宜用反证法．注意“至少有一个”、“至多有一个”、“都是”的否定形式分别为“一个也没有”、“至少有两个”、“不都是”．考点二

用反证法证明“至多”，“至少”问题

【例2】已知a≥－1，求证三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数解．结论以“有且只有一个”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性简单明了．【方法引导】证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．考点三用反证法证明唯一性问题【例3】求证方程2x＝3有且仅有一个实根．【变式训练3】已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根.假设结论的反面正确推理论证得出结论回顾与归纳反证法反设归谬结论

得出矛盾（已知、公理、定理等）

假设不成立，原命题成立.课堂练习1.写出下列各结论的反面：（1）a//b；

（2）a≥0；（3）b是正数；（4）a⊥ba<0b是0或负数a不垂直于ba∥b2.已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。求证：PB≠PCABCP证明：假设PB=PC。在△ABP与△ACP中

AB=AC(已知）

AP=AP（公共边）

PB=PC（已知）

∴△ABP≌△ACP（S.S.S)∴∠APB=∠APC(全等三角形对应边相等）这与已知条件∠APB≠∠APC矛盾，假设不成立.∴PB≠PC

全课总结1、知识小结：反证法证明的思路：假设命题不成立→正确的推理,得出矛盾→肯定待定命题的结论2、难点提示:

利用反证法证明命题时,一定要准确而全面的找出命题结论的反面。注意:用反证法证题时,应注意的事项

:

（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏；（2）推