弹性力学简明教程-第四版-徐芝纶第五章学硕xin课件

例题第一节差分公式的推导第二节应力函数的差分解第三节应力函数差分解的实例第四节弹性体的形变势能和外力势能第五节位移变分方程第六节位移变分法教学参考资料第五章用差分法和变分法解平面问题第七节位移变分法例题弹性力学的基本解法是，根据静力平衡条件、形变与位移之间的几何条件和形变与应力之间的物理条件，建立微分方程和边界条件。近似解法

因此，弹性力学问题属于微分方程的边值问题。通过求解，得出函数表示的精确解答。§5-1差分公式的推导

——本节只介绍原理

对于工程实际问题，由于荷载和边界较复杂，难以求出函数式的解答。为此，人们探讨弹性力学的各种近似解法，主要有变分法、差分法和有限单元法。近似解法

差分法是微分方程的一种数值解法。它不是去求解函数，而是求函数在一些结点上的值。

fxo差分法

差分法的内容是：差分法将微分方程用差分方程（代数方程）代替，于是，求解微分方程的问题化为求解差分方程的问题。将导数用有限差商来代替，将微分用有限差分来代替，

导数差分公式的导出：导数差分公式在平面弹性体上划分等间距h的两组网格，分别∥x、y轴。网格交点称为结点，h称为步长。应用泰勒级数公式将在点展开，(a)抛物线差分公式─略去式(a)中以上项，分别用于结点1、3，抛物线差分公式结点3：结点1：抛物线差分公式式(b)又称为中心差分公式，并由此可导出高阶导数公式。从上两式解出o点的导数公式，

应用泰勒级数导出差分公式，可得出统一的格式，避免任意性，并可估计其误差量级，式(b)的误差为。抛物线差分公式对于单连体，按应力函数求解时，应满足:§5-2应力函数的差分解按求解

——本节只介绍原理按求解(3)求出后，由下式求应力（假设无体力）：差分法求解1.应力公式(c)的差分表示。对于o点，

差分法求解：相容方程(5-10)化为：对每一内结点，为未知，均应列出式(5-10)的方程。2.相容方程(a)的差分表示相容方程

对边界内一行结点列式(5-10)时，需要求出边界点和边界外一行结点（虚结点）的值。

为了求虚结点的值，需要求出边界点的，值。

3.应用应力边界条件(b)，求出边界点的、、值。边界条件（1）在边界上选定基点A求解步骤3.应力函数差分解的步骤然后计算边界上各结点的、、；令求解步骤（2）由边界结点的、值，求出边界外一行虚结点的值；（3）对边界内所有结点列出式(5-10)的方程，联立求各结点的值；（4）求出边界外一行虚结点的值；（5）按式(5-9)求各结点的应力。§5－3应力函数差分解的实例问题

此题无函数式解答。应用差分法求解。

正方形深梁,上边受均布荷载，下边两角点处有支承反力维持平衡，试求其应力。

——本节只介绍结果1.本题具有对称性，取y轴如图，并取以反映对称性。取网格如图。

比较：材料力学解─AM上为直线分布，弹性力学解─AM上为曲线分布，

由此也说明，材料力学解法只适用于杆件。比较

（1）是解微分方程边值问题和弹性力学问题的有效方法；（2）简便易行，且总能求出解答；（3）可配合材料力学、结构力学解法，精确地分析结构的局部应力状态。

差分法优点：差分法评价（1）对于曲线边界和不等间距网格的计算较麻烦；（2）比较适用于平面问题或二维问题；（3）凡是近似解，在求导运算时会降低精度。如的误差为，则应力的误差为。

缺点：差分法评价§5－4弹性体的形变势能和外力势能弹性力学变分法，又称为能量法。因其中的泛函就是弹性体的能量。泛函─是以函数为自变量（宗量）的一种函数。变分法─是研究泛函及其极值的求解方法。应力变分法─取应力函数为自变量，并以余能极小值条件导出变分方程。本章只介绍位移变分法。位移变分法─取位移函数为自变量，并以势能极小值条件导出变分方程。弹性力学变分法，是区别于微分方程边值问题的另一种独立解法。其中分为：形变势能（2）因为应力和应变均从0增长到，故单位体积上，应力所做的功是非线性关系─线性关系─（1）作用于微小单元上的应力，是邻近部分物体对它的作用力，可看成是作用于微小单元上的“外力”。1.应力的功和形变势能（内力势能）线性的应力-应变关系非线性的应力-应变关系（3）对于平面应力问题

或平面应变问题

单元体积上应力所做的功都是

(c)形变势能利用物理方程，平面应力问题的形变势能密度，可用形变表示为（4）假设没有非机械能和动能的转化，则应力所做的功全部转化为弹性体的

内力势能，又称为形变势能，或应变

能，存贮于物体内部。形变势能─单位体积的形变势能（形变势能密度）。（5）整个弹性体的形变势能

形变势能对于平面应变问题，将，。可用位移表示为（6）将几何方程代入式(e)，则平面应力问题的形变势能(5-16)2.形变势能的性质（1）是应变或位移的二次泛函，

故不能应用叠加原理。（2）应变或位移发生时，总是正的，即（3）的大小与受力次序无关。（4）对应变的导数，等于对应的应力：

(5-15)形变势能的性质外力势能─外力做了功，必然消耗了相同值的势能。当取时的外力功和能为零，则有：(5-18)外力功和外力势能3.弹性体上的外力功和外力势能外力功：

4.弹性体的总势能，是外力势能和内力（形变）势能之和：(5-19)§5－5位移变分方程

在位移变分法中，所取泛函为总势能，其自变量（宗量）为位移状态函数

，。⑴用位移表示的平衡微分方程（在A中）⑵用位移表示的应力边界条件（在上）⑶位移边界条件（在上）。实际位移其中⑴、⑵属于静力平衡条件，⑶属于约束条件。 对于实际位移，可将⑶看成是必要条件，而⑴、⑵是充分条件。1.实际平衡状态的位移、，必须满足

2.虚位移状态

⑴虚位移（数学上称为位移变分），

表示在约束条件允许下，平衡状态附近的微小位移增量。

虚位移（在上） 虚位移不是实际外力作用下发生的，而是假想由其他干扰产生的。因此，虚位移状态

就构成实际平衡状态附近的一种邻近状态。虚位移微分

─是在同一状态下，研究由于位置(坐标)改变而引起函数的改变。其中的自变量为坐标变量

x,y；

而因变量为函数，如位移，有

(a)⑵变分与微分的比较变分与微分变分─是在同一点位置上，由于状态改变而引起泛函的改变。其中的自变量为状态函数，如位移；而因变量为泛函，如，，，有

变分与微分(b)由于微分和变分都是微量，所以(I).它们的运算方式相同；(II).变分和微分可以交换次序，如

变分与微分(c)当发生虚位移（位移变分）时，虚位移上功和能外力势能的变分：外力的虚功（外力功的变分）：3.在虚位移上弹性体的功和能

(5-20)(5-21)虚位移上功和能根据几何方程可得到虚位移引起的虚应变，为：从而引起形变势能的变分，为：(5-22)上式中的应力分量，在虚位移发生之前已经存在，应作为恒力计算，故无系数。（1）在封闭系统中，假设没有非机械能的改变，也没有动能的改变，则按照能量守恒定律，在虚位移过程中形变势能的增加应等于外力势能的减少（即等于外力所做的虚功）。即位移变分方程4.弹性力学中位移变分方程的导出(d)（2）位移变分方程

将式(5-20)代入式(d)，可得该式表示：在实际平衡状态发生位移的变分时，所引起的形变势能的变分，等于外力功的变分。位移变分方程(5-23)位移变分方程该式表示，在实际平衡状态发生虚位移时，

外力在虚位移上所做的虚功等于

应力在虚应变上所做的虚功。（3）虚功方程

将式(5-20)和式(5-22)代入式(d)中，可得(5-25)其中,为形变势能的变分；为外力功的变分。位移变分方程（4）最小势能原理其中,U为弹性体的形变势能;W为弹性体的外力功。可以证明，式(e)可以写成式(d)可写成(e)(f)由于弹性体的总势能为故式(f)可以表示为

再将总势能对其变量（位移或应变）作二次变分运算，可得

也就是：(5-24)位移变分方程最小势能原理：数学表示如图(a)，物理意义如图(b)uu（实际位移）(a)(b)位移变分方程

这就是最小势能原理。它表示在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移状态中，实际存在的一组位移对应于总势能为极小值。证明：位移变分方程等价于证明：位移变分方程等价于平衡微分方程和应力边界条件。利用几何方程将方程(5-22)改写为：应用分部积分公式又一形式和格林公式其中，s为平面域A的边界，l、m为边界外法线的方向余弦。对第一项计算因为在边界约束处，虚位移∴即有：对第二项计算与第一项计算类似处理，有对第三项计算又一形式三项相加：此外，由式（5-23）又有因为，是任意的独立变分，为了满足上式，必须有虚位移的系数为零。又一形式上式两边相等，有（在A中）（在上）得到如下平衡微分方程和应力边界条件：

由此可见，从位移变分方程可以导出平衡微分方程和应力边界条件，或者说，位移变分方程等价于平衡微分方程和应力边界条件。⑴实际平衡状态的位移必须满足

a.上的约束(位移)边界条件；

b.上的应力边界条件；c.域A中的平衡微分方程。5.结论结论⑵位移变分方程可以等价地代替静力条件b和c。结论⑶由此得出一种变分解法，即预先使位移函数满足上的位移边界条件，再满足位移变分方程，必然也可以找出对应于实际平衡状态的位移解答。

1.微分和变分各是由什么原因引起的？2.试比较位移变分方程、虚功方程和极小势能原理不同的物理解释。3.试证明二阶变分。思考题

位移变分法取位移为基本未知函数。位移函数应预先满足上的位移边界条件，然后再满足位移变分方程。§5-6位移变分法(5-26)瑞利-里茨法（1）因位移函数是未知的，在变分法中采用设定位移试函数的方法，令

1.瑞利-里茨法

其中和均为设定的x，y的函数，并在边界上，令

（在上）（在上）瑞利-里茨法∴u，v已满足了上的位移边界条件。

而，用来反映位移状态的变化， 故位移的变分为瑞利-里茨法(a)瑞利-里茨法位移的变分通过，的变分来反映，故形变势能的变分为（2）位移(5-26)还必须满足位移变分方程(5-23)将式(b)，(a)代入位移变分方程(5-23)，整理得到：因为虚位移（位移变分）中的，是任意的独立变分，为了满足上式，必须有其系数为零。瑞利-里茨法式(5-27)是瑞利-里茨变分方程。它是关于，的线性代数方程组，由上式可解出和，代入式（5-26）从而得到位移的解答。

2.伽辽金法（介绍原理）——设定位移试函数如式(5-26)所示，但令u,v

不仅满足上的位移边界条件，而且也满足上的应力边界条件（用u,v表示）。伽辽金法例1

图示矩形板a×b，在上边及右边受有均布压力及，而左边和下边受有法向连杆的约束。§5-7位移变分法例题

应用瑞利-里茨法，设定位移满足两个约束边界条件

例题(a)(b)

应力边界条件及平衡微分方程由下列变分方程代替（体力）：(c)对式(c)右边的积分，应包含所有的应力边界条件，积分时要将边界方程代入。例题在处：，，例题在处：，，(d)(e)将式(a)代入U，计算式(c)的左边项：利用方程（5-16）例题得到：其中：根据式(c)、(d)、(e)、(f)可得：例题积分可得：(f)解得，为：例题对于图示的简单问题，该解答正好是其精确解。将，代入式(a)，可得位移解答：第五章例题例题1例题2例题3例题例题1

试证明，在同样的应变分量，和下，平面应变情况下单位厚度的形变势能大于平面应力情况下的形变势能。例题对于平面应变情况，只需将上式中的，变换为：解：平面应力情况下，单位厚度的形变势能为：例题(a)(b)例题(e)则有：将式(b)-(d)代入式(a)，得到平面应变情况下的形变势能：(c)(d)

从式(e)可见，在平面应变情况下，形变势能中的第所有项均大于平面应力情况下的值。因此，平面应变的形变势能大于平面应力的形变势能U。例题aabqbx

y例题2图中所示的薄板，厚度，三边固定，一边受到均布压力q的作用。试用瑞利-里茨的位移变分法求解。取：解：在瑞利-里茨法中，设定位移试函数应满足位移边界条件，并应反映图示问题的对称性。取上式反映了位移对称于y

轴的要求：v为x的偶函数，u为x的奇函数。满足位移边界条件：

仅取各一项进行运算:例题因为体力：面力只作用在处，有：则：(a)(b)利用方程（5-16），将式位移函数代入，得

例题其中：例题取：形变势能密度为积分得到形变势能为(c)将式(a)-(c)代入式瑞利-里茨变分方程

得到：(d)例题求应力解答，由物理方程：解得：位移解答：例题对称轴上（）：（最大）例题在边界：（最大）本题中，由于u，v中各只取一项，且取，因此，求出的位移解的精度较低；而由近似解的位移求应力时，其应力精度要降低一阶，其精度更差些。对于实际问题，应取更多的项数进行计算。例题3一端固定、一端简支的梁受均布荷载q作用，如图所示。试用瑞利-里茨的位移变分法求解梁的挠度。解：在瑞利-里茨法中，设定位移试函数应满足位移边界条件。取需满足位移边界条件：满足位移试函数变为：梁的总势能为：由结构力学公式有：由极小势能原理：位移变分方程根据，的任意性，有即有：位移解答：位移变分方程解得：代入式(a)：第五章教学参考资料

（一）本章学习重点及要求1.弹性力学的基本解法，是根据静力平衡条件，形变和位移之间的几何条件和形变与应力之间的物理条件建立微分方程和边界条件，并由此求解应力、形变和位移。从数学上看，弹性力学问题可化为微分方程的边值问题，通过求解，得出函数式的精确解答。教学参考资料 但是对于工程实际问题，由于荷载、边界等较为复杂，难以求出函数式的解答。从弹性力学基本理论建立以来，为了解决工程实际问题，人们就探讨了各种可供应用的近似解法。弹性力学中最主要的近似解法是变分法、差分法和有限单元法分法。教学参考资料

2.差分法是微分方程的一种近似数值解法。在差分法中，将连续函数用一些结点上的函数值来代替，并从而将微分方程及其边界条件变换为差分(代数)方程，使问题易于求解。在这种方法中，采用了将函数离散的手段。教学参考资料3.变分法是弹性力学中另一独立的求解方法。

在变分法中根据平衡状态时的能量处于极小值的条件，建立变分方程，并进行求解。弹性力学中的变分方程和微分方程是互通的，可以互相导出。 由于变分法得出的常常是近似的解答，所以也将变分法归入弹性力学的近似解法。

教学参考资料4.有限单元法是20世纪中期发展起来的弹性力学近似解法。在有限单元法中,首先将区域离散化，把连续体变换为离散化结构；然后将连续体的能量极小值条件应用到离散化结构，从而建立求解的方法。有限单元法应用计算机进行计算，可以有效地解决各种复杂的工程问题。教学参考资料

5.对于工程技术人员来讲，这些弹性力学的近似解法，是用来解决实际问题的有效手段。因此，读者不仅要理解，而且要能应用这些近似解法。教学参考资料

1.变分法是研究泛函及其极值的求解方法。

弹性力学中的位