2022-2023学年湖南省永州市东安县第一中学数学高一下期末学业质量监测模拟试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若数列前12项的值各异，且对任意的都成立，则下列数列中可取遍前12项值的数列为（）A． B． C． D．2．已知数列中，，，则等于()A． B． C． D．3．已知扇形的弧长是8，其所在圆的直径是4，则扇形的面积是（）A．8 B．6 C．4 D．164．若正项数列的前项和为，满足，则（）A． B． C． D．5．不等式的解集为,则的值为(

)A． B．C． D．6．已知等差数列{an}的前n项和为，满足S5=S9，且a1＞0，则Sn中最大的是（）A． B． C． D．7．要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向左平移个单位8．一个长方体长、宽分别为5，4，且该长方体的外接球的表面积为，则该长方体的表面积为（）A．47 B．60 C．94 D．1989．某协会有200名会员，现要从中抽取40名会员作样本，采用系统抽样法等间距抽取样本，将全体会员随机按1~200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号，…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第1组至第3组抽出的号码依次是（）A．3，8，13 B．2，7，12 C．3，9，15 D．2，6，1210．若向量满足：与的夹角为，且，则的最小值是（）A．1 B． C． D．2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，则____________________________．12．已知等差数列的前项和为，若，则_____13．已知数列的首项，，.若对任意，都有恒成立，则的取值范围是_____14．已知3a＝2，则32a＝____，log318﹣a＝_____15．函数在的值域是__________________.16．_________________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．某学校为了了解高三文科学生第一学期数学的复习效果.从高三第一学期期末考试成绩中随机抽取50名文科考生的数学成绩，分成6组制成如图所示的频率分布直方图.（1）试利用此频率分布直方图求的值及这50名同学数学成绩的平均数的估计值；（2）该学校为制定下阶段的复习计划，从被抽取的成绩在的同学中选出3位作为代表进行座谈，若已知被抽取的成绩在的同学中男女比例为，求至少有一名女生参加座谈的概率.18．在中，内角所对的边分别为，已知，且.（1）求；（2）若，求的值.19．某运动爱好者对自己的步行运动距离（单位：千米）和步行运动时间（单位：分钟）进行统计，得到如下的统计资料：如果与存在线性相关关系，（1）求线性回归方程（精确到0.01）；（2）将分钟的时间数据称为有效运动数据，现从这6个时间数据中任取3个，求抽取的3个数据恰有两个为有效运动数据的概率．参考数据：，参考公式：，．20．已知数列{an}中，a1＝1且an﹣an﹣1＝3×（）n﹣2（n≥2，n∈N*）.（1）求数列{an}的通项公式：（2）若对任意的n∈N*，不等式1≤man≤5恒成立，求实数m的取值范围.21．已知直线与平行.（1）求实数的值：（2）设直线过点，它被直线，所截的线段的中点在直线上，求的方程.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

根据题意可知利用除以12所得的余数分析即可.【详解】由题知若要取遍前12项值的数列,则需要数列的下标能够取得除以12后所有的余数.因为12的因数包括3,4,6,故不能除以12后取所有的余数.如除以12的余数只能取1,4,7,10的循环余数.又5不能整除12,故能够取得除以12后取所有的余数.故选：C【点睛】本题主要考查了数列下标整除与余数的问题,属于中等题型.2、A【解析】

变形为，利用累加法和裂项求和计算得到答案.【详解】故选：A【点睛】本题考查了累加法和裂项求和，意在考查学生对于数列方法的灵活应用.3、A【解析】

直接利用扇形的面积公式求解.【详解】扇形的弧长l=8，半径r=2，由扇形的面积公式可知，该扇形的面积S=1故选A【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.4、A【解析】

利用，化简，即可得到，令，所以，,令，所以原式为数列的前1000项和，求和即可得到答案。【详解】当时，解得，由于为正项数列，故，由，所以，由，可得①，所以②②—①可得，化简可得由于，所以，即，故为首项为1，公差为2的等差数列，则，令，所以，令所以原式故答案选A【点睛】本题主要考查数列通项公式与前项和的关系，以及利用裂项求数列的和，解题的关键是利用，求出数列的通项公式，有一定的综合性。5、B【解析】

根据一元二次不等式解集与对应一元二次方程根的关系列方程组，解得a，c的值.【详解】由题意得为方程两根，所以，选B.【点睛】一元二次方程的根与对应一元二次不等式解集以及对应二次函数零点的关系，是数形结合思想，等价转化思想的具体体现，注意转化时的等价性.6、B【解析】

由S5=S9可得a7+a8=0，再结合首项即可判断Sn最大值【详解】依题意，由S5=S9，a1＞0，所以数列{an}为递减数列，且S9-S5=a6+a7+a8+a9=2（a7+a8）=0，即a7+a8=0，所以a7＞0，a8＜0，所以则Sn中最大的是S7，故选：B．【点睛】本题考查等差数列Sn最值的判断，属于基础题7、D【解析】

直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可；【详解】解：函数，要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位．故选：D．【点睛】本题考查三角函数图象平移的应用问题，属于基础题．8、C【解析】

根据球的表面积公式求得半径，利用等于体对角线长度的一半可构造方程求出长方体的高，进而根据长方体表面积公式可求得结果.【详解】设长方体高为，外接球半径为，则，解得：长方体外接球半径为其体对角线长度的一半解得：长方体表面积本题正确选项：【点睛】本题考查与外接球有关的长方体的表面积的求解问题，关键是能够明确长方体的外接球半径为其体对角线长度的一半，从而构造方程求出所需的棱长.9、B【解析】

根据系统抽样原理求出抽样间距，再根据第5组抽出的号码求出第1组抽出的号码，即可得出第2组、第3组抽取的号码．【详解】根据系统抽样原理知，抽样间距为200÷40=5，

当第5组抽出的号码为22时，即22=4×5+2，

所以第1组至第3组抽出的号码依次是2，7，1．

故选：B．【点睛】本题考查了系统抽样方法的应用问题，是基础题．10、D【解析】

设作图，由可知点在以线段为直径的圆上，由图可知，，代入所求不等式利用圆的特征化简即可.【详解】如图，设，取线段的中点为，连接OE交圆于点D，因为即，所以点在以线段为直径的圆上(E为圆心)，且，于是.故选：D【点睛】本题考查向量的线性运算，垂直向量的数量积表示，几何图形在向量运算中的应用，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

分子、分母同除以，将代入化简即可.【详解】因为，所以,故答案为.【点睛】本题主要考查同角三角函数之间的关系的应用，属于基础题.同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.12、1．【解析】

利用等差数列前项和公式能求出的值．【详解】解：∵等差数列的前项和为，若，

．

故答案为：．【点睛】本题考查等差数列前项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13、【解析】

代入求得，利用递推关系式可得，从而可证得和均为等差数列，利用等差数列通项公式可求得通项；根据恒成立不等式可得到不等式组：，解不等式组求得结果.【详解】当时，，解得：由得：是以为首项，为公差的等差数列；是以为首项，为公差的等差数列，恒成立，解得：即的取值范围为：本题正确结果：【点睛】本题考查根据数列的单调性求解参数范围的问题，关键是能够根据递推关系式得到奇数项和偶数项分别成等差数列，从而分别求得通项公式，进而根据所需的单调性得到不等关系.14、42.【解析】

由已知结合指数式的运算性质求解，把化为对数式得到，代入，再由对数的运算性质求解.【详解】∵，∴，由，得，∴.故答案为：，.【点睛】本题考查指数式与对数式的互化，考查对数的运算性质，属于基础题.15、【解析】

利用反三角函数的性质及，可得答案.【详解】解：，且，，∴，故答案为：【点睛】本题主要考查反三角函数的性质，相对简单.16、3【解析】

分式上下为的二次多项式,故上下同除以进行分析.【详解】由题,,又,故.

故答案为：3.【点睛】本题考查了分式型多项式的极限问题，注意：当时,三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；平均数的估计值（2）【解析】

（1）根据各小矩形面积和为1可求得的值；由频率分布直方图，结合平均数的求法即可求解.（2）根据频率分布直方图先求得成绩在的同学人数，结合分层抽样可得男生4人，女生2人，设男生分别为；女生分别为，利用列举法可得抽取3人的所有情况，进而得至少有一名女生的情况，即可由古典概型概率公式求解.【详解】（1）由题，解得，由频率分布直方图，得这50名同学数学成绩的平均数的估计值为：（2）由频率分布直方图知，成绩在的同学有人，由比例可知男生4人，女生2人，记男生分别为；女生分别为，则从6名同学中选出3人的所有可能如下：共20种，其中不含女生的有4种，设至少有一名女生参加座谈为事件，则至少有一名女生参加座谈的概率.【点睛】本题考查了频率分布直方图的性质及平均数求法，分层抽样及各组人数的确定方法，列举法求古典概型的概率，属于基础题.18、（1）；（2）.【解析】

（1）根据诱导公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式，结合已知等式，化简，结合，可得A的值；（2）由已知根据余弦定理可得，利用正弦定理可得联立即可解得λ的值．【详解】（1），，；（2），，而，，而，所以有.【点睛】本题考查了诱导公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式、余弦定理，考查了数学运算能力.19、（1）（2）【解析】

（1）先计算所给数据距离、时间的平均值，，利用公式求，再利用回归方程求.（2）由（1）计算的个数，先求从6个中任取3个数据的总的取法，再计算抽取的3个数据恰有两个为有效运动数据的取法，利用古典概型概率计算公式可得所求.【详解】解：（1）依题意得，所以又因为，故线性回归方程为．（2）将的6个值，代入（1）中回归方程可知，前3个小于30，后3个大于30，所以满足分钟的有效运动数据的共有3个，设3个有效运动数据为，另3个不是有效运动数据为，则从6个数据中任取3个共有20种情况（或一一列举），其中，抽取的3个数据恰有两个为有效运动数据的有9种情况，即，，所以从这6个时间数据中任取3个，抽取的3个数据恰有两个为有效运动数据的概率为.【点睛】本题考查线性回归方程的建立，古典概型的概率，考查数据处理能力，运用知识解决实际问题的能力，属于中档题.20、（1）an＝3﹣2×（）n﹣1（2）{m|1≤m}【解析】

（1）由已知，根据递推公式可得，，……，，所有式子累加可得；（2）在（1）得出的基础之上解不等式可得实数的取值范围.【详解】（1）由已知，根据递推公式可得an﹣an﹣1＝3×（）n﹣2，an﹣1﹣an﹣2＝3×（）n﹣3，…，a2﹣a1＝3×（）0，由累加法得，当n≥2时，an﹣a1＝3×（）0+3×（）1+…+3×（）n﹣2，代入a1＝1得，n≥2时，an＝11+2×（1﹣（）n﹣1），又a1＝1也满足上式，故an＝3﹣2×（）n﹣1.（2）由1≤man≤5，得1≤man＝m（3﹣2（）n﹣1）≤5.因为3﹣2（）n﹣1＞0，所以，当n为奇数时，3﹣2（）n﹣1∈[1，3）；当n为偶数时，3﹣2（）n﹣1∈（3，4]，所以3﹣2（）n﹣1最大值为4，最小值为1.对于任意的正整数n都有成立，所以1≤m.即所求实数m的取值范围是{m|1≤m}.【点睛】本题主要考查数列的递推公式知识和不等式的相关知识，式子繁琐，易错，属于中档题.21、(1).(2)【解析】

（1）利用两直线平行的条件