江苏省南京一中2023年数学高一第二学期期末联考试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．2．已知在角终边上，若，则（）A． B．-2 C．2 D．3．函数，当时函数取得最大值，则（）A． B． C． D．4．在中，a、b分别为内角A、B的对边，如果，，，则（）A． B． C． D．5．“”是“直线(m+1)x+3my+2=0与直线(m-2)x+(m+1)y-1=0相互垂直”的（）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件6．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：①若m∥α，m∥β，则α∥β②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③m⊂α，n⊂β，m、n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．其中正确的命题是（）A．①② B．②③ C．③④ D．④7．若长方体三个面的面积分别为2，3，6，则此长方体的外接球的表面积等于（）A． B． C． D．8．已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为A． B． C． D．9．在区间内随机取一个实数a，使得关于x的方程有实数根的概率为（）A． B． C． D．10．已知为锐角，角的终边过点，则（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若（），则_______（结果用反三角函数值表示）．12．中，，，，则______.13．直线在轴上的截距是__________.14．若直线与圆相交于，两点，且（其中为原点），则的值为________．15．如图，在B处观测到一货船在北偏西方向上距离B点1千米的A处，码头C位于B的正东千米处，该货船先由A朝着C码头C匀速行驶了5分钟到达C，又沿着与AC垂直的方向以同样的速度匀速行驶5分钟后到达点D，此时该货船到点B的距离是________千米.16．已知正数、满足，则的最大值为__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．自变量在什么范围取值时，函数的值等于0?大于0呢?小于0呢?18．已知．若三点共线，求实数的值．19．设数列的前项和为，点均在函数的图像上.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数.20．已知，为两非零有理数列（即对任意的，，均为有理数），为一个无理数列（即对任意的，为无理数）．（1）已知，并且对任意的恒成立，试求的通项公式；（2）若为有理数列，试证明：对任意的，恒成立的充要条件为；（3）已知，，试计算．21．一只红铃虫的产卵数和温度有关，现收集了4组观测数据列于下表中，根据数据作出散点图如下：温度20253035产卵数/个520100325（1）根据散点图判断与哪一个更适宜作为产卵数关于温度的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程（数字保留2位小数）；（3）要使得产卵数不超过50，则温度控制在多少以下？（最后结果保留到整数）参考数据：，，，，，，，，，，5201003251.6134.615.78

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

利用排除法，取，，可排除错误选项，再结合函数的单调性，可证明D正确.【详解】取，，可排除A，B，C，由函数是上的增函数，又，所以，即选项D正确.故选：D.【点睛】本题考查不等式的性质，考查学生的推理论证能力，属于基础题.2、C【解析】

由正弦函数的定义求解．【详解】，显然，∴．故选C．【点睛】本题考查正弦函数的定义，属于基础题．解题时注意的符号．3、A【解析】

根据三角恒等变换的公式化简得，其中，再根据题意，得到，求得，结合诱导公式，即可求解.【详解】由题意，根据三角恒等变换的公式，可得，其中，因为当时函数取得最大值，即，即，可得，即，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及诱导公式的化简求值，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，合理利用三角函数的诱导公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4、A【解析】

先求出再利用正弦定理求解即可.【详解】，，，由正弦定理可得，解得，故选：A.【点睛】本题注意考查正弦定理的应用，属于中档题.正弦定理主要有三种应用：求边和角、边角互化、外接圆半径.5、B【解析】试题分析：当时，直线为和直线，斜率之积等于，所以垂直；当两直线垂直时，，解得：或，根据充分条件必要条件概念知，“”是“直线(m+1)x+3my+2=0与直线(m-2)x+(m+1)y-1=0相互垂直”的充分不必要条件，故选B．考点：1、充分条件、必要条件；2、两条直线垂直的关系．6、D【解析】

利用平面与平面垂直和平行的判定和性质，直线与平面平行的判断，对选项逐一判断即可．【详解】①若m∥α，m∥β，则α∥β或α与β相交，错误命题；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β或α与β相交．错误的命题；③m⊂α，n⊂β，m、n是异面直线，那么n与α相交,也可能n∥α，是错误命题；④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．是正确的命题．故选D．【点睛】本题考查平面与平面的位置关系，直线与平面的位置关系，考查空间想象力，属于中档题.7、C【解析】

设长方体过一个顶点的三条棱长分别为，，，由已知面积求得，，的值，得到长方体对角线长，进一步得到外接球的半径，则答案可求．【详解】设长方体过一个顶点的三条棱长分别为，，，则，解得，，．长方体的对角线长为．则长方体的外接球的半径为，此长方体的外接球的表面积等于．故选：C．【点睛】本题考查长方体外接球表面积的求法，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意长方体的对角线长为长方体外接球的直径.8、D【解析】

画出图象及直线，借助图象分析．【详解】如图，当直线位于点及其上方且位于点及其下方，或者直线与曲线相切在第一象限时符合要求．即，即，或者，得，，即，得，所以的取值范围是．故选D．【点睛】根据方程实根个数确定参数范围，常把其转化为曲线交点个数，特别是其中一条为直线时常用此法．9、C【解析】

由关于x的方程有实数根，求得，再结合长度比的几何概型，即可求解，得到答案.【详解】由题意，关于x的方程有实数根，则满足，解得，所以在区间内随机取一个实数a，使得关于x的方程有实数根的概率为.故选：C.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”，然后根据求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.10、B【解析】

由题意利用任意角的三角函数的定义求得和，再利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用两角差的余弦公式求得的值．【详解】角的终边过点，，又为锐角，由，可得故选B．【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，考查两角差的余弦，是基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据反三角函数以及的取值范围，求得的值.【详解】由于，所以，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查已知三角函数值求角，考查反三角函数，属于基础题.12、【解析】

根据，得到的值，再由余弦定理，得到的值.【详解】因为，所以，在中，，，由余弦定理得.所以.故答案为：【点睛】本题考查二倍角的余弦公式，余弦定理解三角形，属于简单题.13、【解析】

把直线方程化为斜截式，可得它在轴上的截距．【详解】解：直线，即，故它在轴上的截距是4，故答案为：．【点睛】本题主要考查直线方程的几种形式，属于基础题．14、【解析】

首先根据题意画出图形，再根据求出直线的倾斜角，求斜率即可.【详解】如图所示直线与圆恒过定点，不妨设，因为，所以，两种情况讨论，可得，.所以斜率.故答案为：【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，同时考查了数形结合的思想，属于简单题.15、3【解析】

先在中，由余弦定理算出和，然后在中由余弦定理即可求出.【详解】由题意可得，在中，所以由余弦定理得：即，所以因为所以所以所以在中有：即故答案为：3【点睛】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，是基本知识的考查．16、【解析】

直接利用均值不等式得到答案.【详解】，当即时等号成立.故答案为：【点睛】本题考查了均值不等式，意在考查学生的计算能力.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、当或时，函数的值等于0；当时，函数的值大于0；当或时，函数的值小于0.【解析】

将问题转化为解方程和解不等式，以及，分别求解即可.【详解】由题：由得：或；由得：；由得：或，综上所述：当或时，函数的值等于0；当时，函数的值大于0；当或时，函数的值小于0.【点睛】此题考查解二次方程和二次不等式，关键在于熟练掌握二次方程和二次不等式的解法，准确求解.18、【解析】

计算出由三点共线解出即可．【详解】解：，∵三点共线，∴，∴【点睛】本题考查3点共线的向量表示，属于基础题．19、（Ⅰ）（Ⅱ）10【解析】

解：（I）依题意得，即．当n≥2时，;当所以．（II）由（I）得，故=．因此，使得<成立的m必须满足，故满足要求的最小正整数m为10.20、（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】

（1）根据不等式可得，把代入即可解出（2）根据化简，利用为有理数即可解决（3）根据题意可知，本题需分为奇数和偶数时讨论，通过求出．【详解】（1）∵，∴，即，∴，∵，∴，∴．（2）∵，∴，∴，∵，，为有理数列，为无理数列，∴，∴，以上每一步可逆．（3），∴．∵，∴，当时，∴当时，∴，∴为有理数列，∵，∴，∴，∵，，为有理数列，为无理数列，∴，∴，∴当时，∴当时，∴，∴．【点睛】本题数列的分类问题，数列通项式的求法、有关数列的综合问题等．本题难度、计算量较大，属于难题．21、（I）选择更适宜作为产卵数关于温度的回归方程类型；（II）；（III）要使得产卵数不超过50，则温度控制在以下.【解析】

（I）由于散点图类似指数函数的图像，由此选择.（II）对；两边取以为底底而得对数，将非线性回归的问题转化为线性回归的问题，利用回归直线方程的计算公式计算出回归直线方程，进而化简为回归曲线方程.（III）令，解指数不等式求得温度的控制范围.【详解】（I）依散点图可知，选择更