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文档简介
第七节二元函数的泰勒公式问题的提出二元函数的泰勒公式小结一、问题的提出(0
<
q
<
1).一元函数的泰勒公式：f
(
x)
=
f
(
x0
)
+
f
(
x0)(
x
-
x0
)0020
0
2n+1++n(
x
-
x
)
0
0
(n
+
1)!f
(
n+1)
(x
+q(
x
-
x
))(
x
-
x
)
0
n!f
¢(
x
)
f
(
n
)
(
x
)(
x
-
x
)
+
+意义：可用n次多项式来近似表达函数f
(x)，且误差是当x
finx0
时比(
x
-
x0
)
高阶的无穷小．问题：能否用多个变量的多项式来近似表达一个给定的多元函数，并能具体地估算出误差的大小.即设z
=f
(x,y)在点(x0
,y0
)的某一邻域内连续且有直到n
+1阶的连续偏导数,(x0
+h,y0
+h)为此邻域内任一点,能否把函数f
(x0
+h,y0
+k
)近似地表达为h
=x
-x0
,k
=y
-y0
的n
次多项h2
+
k
2式，且误差是当
r
=
fi
0时比
rn
高阶的无穷小．如何转化为一元函数的问题?f
(
x0
+
h,
y0
+
k
)
=考虑(x0
,y0
)和(x0
+h,y0
+k
)的连线连线上的点(x0
+th,y0
+tk
)0
£
t
£
1f
(x,y)在此连线上为一元函数，构造辅助函数F
(t
)
=
f
(
x0
+
th,
y0
+
tk)F
(t
)在t
=0附近有连续导数0
0(
x
,
y
)0
0(
x
+
h,
y
+
k
)F
(t
)
=
F
(0)
+
F
¢(qt
)t取t
=1,有F
(0)
=
f
(
x0
,
y0
),F
(1)
=
F
(0)
+
F
¢(q
)F
(t
)
=
f
(
x0
+
th,
y0
+
tk)零阶麦克劳林展开式：F
¢(t
)
=
fx¢(
x0
+
th,
y0
+
tk
)h
+
f
y¢(
x0
+
th,
y0
+
tk)kF
¢(q)
=
fx¢(
x0
+qh,
y0
+qk)h
+
f
y¢(
x0
+qh,
y0
+qk
)kf
(
x0
+
h,
y0
+
k
)
=
f
(
x0
,
y0
)+
fx¢(
x0
+qh,
y0
+qk)h
+
f
y¢(
x0
+qh,
y0
+qk
)k零阶泰勒展开式F
(1)
=
f
(
x0
+
h,
y0
+
k
)f
(
x0
+
h,
y0
+
k
)
-
f
(
x0
,
y0
)=
fx¢(
x0
+qh,
y0
+qk
)h
+
f
y¢(
x0
+qh,
y0
+qk
)k类似一元函数的微分中值定理上式称为二元函数的拉格朗日中值公式.2!一阶麦克劳林展开式：F
(t
)=F
(0)+F
¢(0)t
+F
¢(qt
)
t
2取t
=1,有2!F
(1)
=
F
(0)
+
F
¢(0)
+
F
¢(q)相同的方法导出一阶泰勒展开式：F
(t
)=f
(x0
+th,y0
+tk)F
(0)
=
f
(
x0
,
y0
),F
¢(t
)
=
fx¢(
x0
+
th,
y0
+
tk
)h
+
f
y¢(
x0
+
th,
y0
+
tk)kF
¢(0)
=
fx¢(
x0
,
y0
)h
+
f
y¢(
x0
,
y0
)kF
(1)
=
f
(
x0
+
h,
y0
+
k
)¢F
(t
)
=2xx
0
0
xy
00+
f
¢(
x
+
th,
y
+
tk
)k
2yy
0
0f
¢(
x
+
th,
y
+
tk
)h
+
2
f
¢(
x+
th,
y
+
tk
)hk0
0F
¢(t
)
记作=¶
¶
h
+
k f
(
x+
th,
y
+
tk
)¶x
¶y
F
¢(t
)
=
fx¢(
x0
+
th,
y0
+
tk
)h
+
f
y¢(
x0
+
th,
y0
+
tk)kF
¢(t
)
=
f
¢(
x
+
th,
y
+
tk
)h2
+
2
f
¢(
x
+
th,
y
+
tk
)hkxx
0
0
xy
0
02f
(
x0
+
th,
y0
+
tk
)¶
¶
=
h
¶x
+
k
¶y
记做yy
0
0+
f
¢(
x
+
th,
y
+
tk
)k
2f
¢(
x
+qh,
y
+qk
)k
2
)yy
0
02!1f
(x0
+
h,
y0
+
k)
=
f
(x0
,
y0
)
+
f
x
(x0
,
y0
)h
+
f
y
(x0
,
y0
)k02xx
0
0h,
y
k
)hk
++q
+qh,
y
k)h
+
2
f
xy¢(x0+q
+q+
(
f
¢(x一阶泰勒展开式：1
2!
¶x
¶y00h,
y
k
)f
(x
+q
+q0
0f
(x
,
y
)0
000¶
2¶+
h
+
k¶
+
k¶¶x
¶yf
(x
+
h,
y
+
k
)
=
f
(x
,
y
)
+
h0
<q
<
12!00h,
y
k
)f
(x
+q
+q¶
2R1
=+
k¶¶x
¶yh1
10
00
00f
(x0
+
h,
y
+
k
)=
f
(x
,
y
)
+
h¶
+
k
f
(x
,
y
)
+
R¶¶x
¶y二元函数一阶泰勒展开式（带有Langrange余项）或表示为：Langrange余项00h,
y
k
)f
(x
+q
+q¶
21+
k¶¶x
¶yhR
=1
+
f
¢(x
+qh,
y
+qk
)k
2
)yy
0
0假定f(x,y)具有连续的偏导数：偏导数连续则偏导数有界2!2!10h,
y
k
)hk2xy
0xx
0
0+q
+q¢h,
y
k
)h
+
2
f
(x+q
+q¢=
(
f
(x2M|
R1
|<
2!
(h
+
k
)r
=
h2
+
k
22£
(cos
a
+
sin
a)Mr222)
=
o(r)2!2!Mr2£
(R1
=
o(r)Peano余项0
0f
(x
,
y
)
+
o(r)0
000
¶
+
k¶x
¶yf
(x
+
h,
y
+
k)
=
f
(x
,
y
)
+
h¶二元函数一阶泰勒公式（Peano余项）当（x0
,y0）=（0,0）时，泰勒公式又称为麦克劳林公式。如：
¶
¶f
(h,
k)
=
f
(0,0)
+
h
+
k
f
(0,0)
+
o(r)¶x
¶y二元函数一阶麦克劳林公式（Peano余项）定理设z
=f
(x,y)在点(x0
,y0
)的某一邻域内连续且有直到n
+1阶的连续偏导数,(x0
+h,y0
+h)为此邻域内任一点,则有二、二元函数的泰勒公式(0
<
q
<
1)0
020
00
0
0
0
f
(
x
+qh,
y
+qk
),¶y
0
01
h
¶
+
k
¶
(n
+
1)!
¶xn+1+
n!
¶x
¶y
2!
¶x
¶y+
1
h
¶
+
k
¶
f
(
x
,
y
)
+
+
1
h
¶
+
k
¶
f
(
x
,
y
)0
0¶x
¶y
f
(
x
+
h,
y
+
h)
=
f
(
x
,
y
)
+
h
¶
+
k
¶
f
(
x
,
y
)
n其中记号0
0¶x
¶y
h
¶
+
k
¶
f
(
x
,
y
)
表示hf
x
(x0
,y0
)+kf
y
(x0
,y0
),20
0¶x
¶y
h
¶
+
k
¶
f
(
x
,
y
)
表示h2
f
(
x
,
y
)
+
2hkf
(
x
,
y
)
+
k
2
f
(
x
,
y
),x
x
0
0
xy
0
0
yy
0
0一般地,记号f
(x0
,y0
)表示m¶
h
+
k¶x
¶y
¶.(
x0
,
y0
)¶m
pmp=0¶x
p¶ym
-
ppmh
kp m
-
pC证
引入函数F
(t
)
=
f
(
x0
+
ht
,
y0
+
kt
), (0
£
t
£
1).显然F
(0)
=
f
(
x0
,
y0
),F
(1)
=
f
(
x0
+
h,
y0
+
k
).由F
(t
)的定义及多元复合函数的求导法则,可得F
(t
)
=
hf
x
(
x0
+
ht
,
y0
+
kt
)
+
kf
y
(
x0
+
ht
,
y0
+
kt
)0
0
¶x
¶y
=
h
¶
+
k
¶
f
(
x
+
ht
,
y
+
kt
),F
(t
)
=
h2
f
(
x
+
ht
,
y
+
kt
)xx
0
02+
2hkf
xy
(
x0
+
ht
,
y0
+
kt
)
+
k f
yy
(
x0
+
ht
,
y0
+
kt
)
f
(
x0
+
ht
,
y0
+
kt
).n+1(
x0
+ht
,
y0
+kt
)p=0hpkn+1-
ppn+1¶
p¶x
p¶yn+1-
pn+1Cn+1F
(
n+1)
(t
)
=
¶x
¶y
=
h
¶
+
k
¶
利用一元函数的麦克劳林公式，得F
(
n+1)
(q
),
(0
<
q
<
1).(n
+
1)!1+
1
F
(
n
)
(0)
+n!2!F
(1)
=
F
(0)
+
F
¢(0)
+
1
F
¢(0)
+将F
(0)=f
(x0
,y0
),F
(1)=f
(x0
+h,y0
+k
)及上面求得的F
(t
)直到n阶导数在t
=0的值,以及
F
(n+1)(t
)在t
=q
的值代入上式.即得(1)f
(
x0
,
y0
)
+
Rn
,0
020
00
0
0
0n
n!
¶x
¶y+
1
h
¶
+
k
¶
2!
¶x
¶y+
1
h
¶
+
k
¶
f
(
x
,
y
)
+
¶x
¶y
f
(
x
+
h,
y
+
k
)
=
f
(
x
,
y
)
+
h
¶
+
k
¶
f
(
x
,
y
)其中(2)证毕(0
<
q
<
1).f
(
x0
+qh,
y0
+qk
),1
h
¶
+
k
¶
(n
+
1)!
¶x
¶yn+1R
=n公式(1)称为二元函数f
(x,y)在点(x0
,y0
)的n阶泰勒公式,而Rn的表达式(2)称为拉格朗日型余项.M(n
+
1)!rn+1
(cosa
+
sina
)n+1(3)=n(
2)n+1(n
+
1)!(h
+
k
)n+1
=M(n
+
1)!R
£Mrn+1
,其中r
=h2
+
k
2
.n由(3)式可知,误差R是当r
fi
0时比rn
高阶的无穷小.由二元函数的泰勒公式知,Rn
的绝对值在点(x0
,y0
)的某一邻域内都不超过某一正常数M
.于是,有下面的误差估计式:当n
=0时,公式(1)成为f
(
x0
+
h,
y0
+
k
)+
kf
y
(
x0
+qh,
y0
+qk
)上式称为二元函数的拉格朗日中值公式.推论如果函数f
(x,y)的偏导数f
x
(x,y),f
y
(x,y)在某一邻域内都恒等于零,则函数f
(x,y)在该区域内为一常数.=
f
(
x0
,
y0
)
+
hf
x
(
x0
+qh,
y0
+qk
)在泰勒公式(1)
中,
如果取
x0
=
0,
y0
=
0,则(1)式成为n阶麦克劳林公式.f
(0,0)+
1
x
¶
+
y
¶
f
(0,0)
+
+
1
x
¶
+
y
¶
2!
¶x
¶y
n!
¶x
¶y
n+12¶y
1
x
¶
+
y
¶
(n
+
1)!
¶x
f
(qx,qy),(0
<
q
<
1)n+¶x
¶y
f
(
x,
y)
=
f
(0,0)
+
x
¶
+
y
¶
f
(0,0)
(5)解例：将f
(x,y)=sin(x2
+y2
)展成带皮亚诺余项的二阶麦克劳林公式f
(0,
0)
=
0,
fx
(0,
0)
=
f
y
(0,
0)
=
0fxx
(0,
0)
=
2,
fxy
(0,
0)
=
0,
f
yy
(0,
0)
=
2,f
(
x,
y)
=\
sin(
x2
+
y2
)
=
(
x2
+
y2
)
+
o(
x2
+
y2
)2
2
2
2fx
(
x,
y)
=
2
x
cos(
x
+
y
),
f
y
(
x,
y)
=
2
y
cos(
x
+
y
)f
xx
(
x,
y)
=
2cos(
x2
+
y2
)
-4
x2
sin(
x2
+
y2
)2
2fxy
(
x,
y)
=
-4
xy
sin(
x
+
y
),2
2
2
2
2f
yy
(
x,
y)
=
2cos(
x
+
y
)
-4
y
sin(
x
+
y
)()2222!xxxyyyf
(
x,
y)
=
f
(0,
0)
+
fx¢(0,
0)
x
+
f
y¢(0,
0)
y
1f
¢(0,
0)x++
2
f
¢(0,
0)xy
+
f
¢(0,
0)
y+
o(r
)2!1
(2x2
+
2
y2
)
+
o(
x2
+
y2
)练习求函数f
(x,y)=ln(1
+x
+y)的三阶麦克劳林公式.解,1
+
x
+
y1
fx
(
x,
y)
=
f
y
(
x,
y)
=,(1
+
x
+
y)21f
xx
(
x,
y)
=
f
xy
(
x,
y)
=
f
yy
(
x,
y)
=
-=
(1
+
x
+
y)3
,¶3
f
2!(
p
=
0,1,2,3),¶x
p¶y3-
p¶4
f,(1
+
x
+
y)43!¶x
p¶y4-
p=
-(
p
=
0,1,2,3,4),x
y¶x
¶y
\
x
¶
+
y
¶
f
(0,0)
=
xf
(0,0)
+
yf
(0,0)
=
x
+
y,
2¶x
¶y
x
¶
+
y
¶
f
(0,0)
+
3
xy2
f
(0,0)
+
y3
f
(0,0)
=
2(
x
+
y)3
,xyy
yyy3=
x2
f
(0,0)
+
2
xyf
(0,0)
+
y2
f
(0,0)xx
xy
yy=
-(
x
+
y)2
,3+
y
f
(0,0)
=
x
f¶x
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