经济函数课件

微积分的主要研究对象是函数。这一章复习中学里和函数有关的内容，包括函数的概念、表示法、性质和复合函数、反函数、初等函数、分段函数等，最后再介绍几个简单的经济函数。重点要求大家理解掌握函数有关的知识，为进一步的学习作准备。0§1.1经济变量关系所谓经济变量关系是指经济变量之间的函数关系。由于不同的变量的取值范围不同，需要用集合表示它们的取值范围。下面介绍微积分中常用的几种集合。一、常用数集为简单起见，以后我们讨论的变量取值皆为实数，只在必要时涉及到复数(而且用到复数的这一局部属理论局部，因此如果没学过复数的话可跳过去)。因此，我们对应的数集主要有实数集、有理数集等。它们的关系大致如下：7/5/20231为简便起见，一般把实数集记为R；有理数集记为Q；整数集记为Z；自然数集记为N；正实数集记为R+等。实数有理数无理数正有理数零负有理数正无理数负无理数把这些记住！7/5/20232类型记法集合图示此外，常用的实数集合还有区间，列表如下：闭区间半开半闭区间开区间无穷区间7/5/20233以后的学习中经常还会遇到另一种集合——邻域。由于邻域一般用绝对值表示比较方便，作为准备，我们先复习和绝对值有关的一些知识。中学里实数a绝对值的定义为：从数轴上看，实数a的绝对值表示点a与原点的距离：7/5/20234利用绝对值的几何意义可以解决一些实际问题。下面以解不等式为例说明。例解不等式分析此不等式即求一点x，使它与点1的距离和与点-2的距离之和大于5。先找出与点1的距离和与点-2的距离之和等于5的点2和-3。那么与点1的距离和与点-2的距离之和大于5的集合这种数形结合的方法以后会经常用到，要注意掌握图形与数量式之间的对应关系。应用时弄清楚图形的特征怎样用数量式表示，以及给定一个数量式在图像上能反映出什么特性。这样才能利用数学计算和图像分析各自的优点分析解决问题。7/5/20235定义邻域，中心；半径。开区间左邻域，右邻域，去心邻域或空心邻域，开区间7/5/20236二、函数概念在微积分中常用变化的观点看问题。在观测的过程中很多经济量是不断变化的，这样的量称之为变量，如生产过程中的产量、收入和利润等；也有一些量在这个过程中始终保持不变，这种量称为常量，如生产过程中的库存费等。注意常量和变量是在具体过程中确定的。在一个过程中是常量，换一个过程可能当作变量看待。如商品买卖中考虑售货量与收入之间的关系时，常把价格看作常量；当分析价格对需求和供给的影响时，又要把价格看作变量(自变量)。如果一个量在任何情况下都保持固定，那么称之为绝对常量。下面主要考虑各种经济量之间的关系，即函数关系。7/5/20237定义设D为非空实数集，假设存在一个对应法那么f，使对D中的每一个x，都能由对应法那么f确定唯一的实数y与之对应，那么称f为定义在D上的函数，x称为自变量，y称为因变量，称D为f的定义域，当定义域为区间时也称之为定义区间。有定义，无定义。函数值，记为所有函数值所构成的集合称为函数的值域，记为：7/5/20238★f(x)表示x对应的函数值，f表示函数(对应法那么)，二者不是一个概念。在微积分中，一般通过研究函数的函数值的变化来研究函数的性质，因此常常对f(x)和f不予区分，会出现“函数f(x)〞或“函数y〞等说法；★函数的实质是定义域D上的对应法那么f，因此函数主要由它的定义域和对应法那么来确定(有时称二者为函数的二要素)。至于变量用什么字母表示无关紧要。是同一个函数，其反函数相反，定义域和对应法那么有一个不同，那么对应的函数也不同。注意7/5/20239§1.2函数的表示法与根本特性一、函数的表示法常用的函数表示法有解析法、图示法、表格法等。◆解析法〔公式法〕这是微积分中最常用的一种方法，它以等式确定对应法那么，并把定义域写在数学式的后面。有实际意义时即实际变量的变化范围；当没有实际背景时那么取使等式有意义的自变量的变化范围，这时也称之为存在域。7/5/202310在分析问题时，常要先确定(解析法表示的)函数的存在域。这时要求使表达式有意义的自变量的范围，一般考虑分母不为零、偶次根号下非负、对数的真数大于零以及反三角函数的定义域等。例求定义域：例答案7/5/202311◆图示法即用图形直观地表示变量间的对应关系。一般以横轴表示自变量的取值，纵轴表示因变量的取值。此法比较直观，可以清楚地显示出函数的单调性、周期性、奇偶性等等。例的图像如右图：容易看出，当x趋于无限远时图像无限接近x轴。7/5/202312列出自变量和对应因变量的取值。此法可很容易看出每一个自变量对应的函数值，但不易分析函数的特性，另外，当定义域为无限集时难以把所有的自变量都列出来。广告费x(万元)2030405060销售额y(万元)380400460520540◆表格法例某工厂经统计得一种商品广告费与销售额的数据为：由表中很容易能查出五种广告费对应的销售额，但无法直接预知广告费取其它的值时对应的销售额，更无法从总体上确定函数的性质。7/5/202313定义在以后的学习中，最常用的是解析法，经常也用图示法来观察函数图像以进行运算和分析，有时利用表格法配合其它信息来画函数图像。除了以上三种方法以外，还有其它的表示方法。如：用描述的语言来说明自变量与因变量的对应关系。其对应法那么为“不大于自变量的最大整数〞。如7/5/202314二、函数的根本特性1、函数的奇偶性定义(1)f(-x)=-f(x)，那么称f(x)为奇函数；(2)f(-x)=f(x)，那么称f(x)为偶函数。我在中学里学过，“奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称〞。你明白这句话的意思吗？判断一个函数f(x)是否为奇偶函数，应先计算出f(-x)，并尽量化简以便与f(x)比较，最后利用定义判断。读作“任意(Arbitrary)〞，表示“任何一个〞7/5/202315例判断奇偶性：以下结果是我总结出来的，以后可以直接用，尤其对做选择、填空挺好的。解题过程7/5/2023162、单调性定义(严格)单调增加；(严格)单调减少；单调增加与单调减少的函数统称为单调函数，使函数单调的区间称为单调区间。例单调性主要反映了函数值自变量的增加时函数值的变化趋势。从图像上看，单调递增的函数的图像呈左下-右上走向，而单调递减的函数呈左上-右下走向。解题过程7/5/202317函数的单调性要指明单调区间，否则默认为在其定义区间上单调。函数的单调性一般在区间上讨论。要注意不能由两个区间上有相同的单调性就得到在这两个区间的并集上单调。如7/5/2023183、有界性定义有界；无界。有上界；有下界。读作“存在(Exist)〞，表示“有一个〞7/5/202319有界性反响了函数在某一个区间上的函数值是否有界限。从图像上看，假设函数在区间I上有界，那么I上对应的函数图像(或者说，能找到平行于x轴的两条直线，使这一段函数图像夹在两条直线之间)；而无界函数的图像会向上或向下无限伸展。显然有：定理函数在I上有界当且仅当它既有上界又有下界。有界上

；有上界无下界有下界无上界无界有界7/5/202320定义4、周期性周期函数，满足上式的最小的T称为最小正周期。谁耐烦说什么“最小正周期〞，简称“周期〞就是了。并非所有的周期函数都有(最小正)周期，如常量函数y=1。从图像上看，周期函数的图像在长为周期的相邻区间上有相同的形状。因此，对于周期函数，只需要在长为周期的区间内研究它的性质，那么它的全部性质就会全部掌握了，这就大大减少了研究的范围。如正弦函数y=sinx，得到在区间(0,2π)的单调性、最大最小值等性质后，整个R上的性质就都清楚了。7/5/202321§1.3复合函数与反函数一、复合函数定义函数复合函数，这时x为自变量，y为因变量，u为中间变量。7/5/202322复合函数的映射图示7/5/202323例掌握复合函数，必须掌握两个方面：⑴三个变量x、u、y之间的对应关系；⑵三个函数的定义域、值域之间的关系。第一个方面，要深刻理解函数值的数学式表示。例例解题过程解题过程解题过程7/5/202324二、反函数定义x=f-1(y)，称之为y=f(x)的反函数。一个函数和它的反函数的图像关于什么对称来着？x轴？y轴？原点？记不清了。7/5/202325★反函数x=f-1(y)中y为自变量，x为因变量。一般根据习惯记为y=f-1(x)；★反函数y=f-1(x)不是f(x)的倒数，它表示的是由x到y的对应法那么f-1：x→y；★不是每一个函数都有反函数。如y=sinx

x∈R，对于y=½，★单调函数一定有反函数。注意的反函数)；7/5/202326例求反函数时，首先从y=f(x)中反解出x(用y的表达式表示)，再互换x、y，写出定义域(反函数的定义域即原函数的值域)。解题过程7/5/202327§1.4初等函数与分段函数一、根本初等函数下面的几个根本初等函数是以后主要研究对象，其中大部分在中学已经学过了，现在简单地复习一下。要求掌握它们的定义域、值域、图像，性质等。1、常量函数是偶函数，同时是周期函数，但没有(最小正)周期。7/5/2023282、幂函数7/5/2023293、指数函数a>10<a<1指数函数是非奇非偶非周期函数。当a>1时单调递增，当0<a<1时单调递减。图像如右：7/5/2023304、对数函数a>10<a<1对数函数是指数函数的反函数，也是非奇非偶非周期函数。当a>1时单调递增，当0<a<1时单调递减。图像如右：7/5/202331中学的公式还记得吗？由于常需要把一般的指数与对数的底数化为e，以下这两个公式以后会用到，把它们记住!以后的学习中主要用以e为底的指数和对数，这里的e是无理数：e，称为自然对数。7/5/2023325、三角函数7/5/2023337/5/2023344、反三角函数三角函数都是周期函数，都没有反函数。这里的反三角函数所对应的原函数的定义域为三角函数的一个单调区间。7/5/202335例以后的计算分析中，常会用到三角变换(尤其遇到有根号或平方时)，这时假设遇到的数值不是特殊角的函数值，对应的角需用反三角函数表示。因此，对反三角函数，除了掌握它们的定义域、值域、图像、性质外，还需清楚如何用反三角函数表示角度(即三角函数值时用反三角函数表示相应的角度)。具体用反三角函数表示角度的方法为：假设角的范围在对应三角函数的定义域内，那么直接用反三角函数表示；假设角的范围不在对应三角函数的定义域内，那么首先通过诱导公式把角化为在三角函数的定义域内的角。解题过程7/5/202336二、初等函数定义由根本初等函数经有限次复合或有限次四那么运算而得的函数称为初等函数。如7/5/202337三、分段函数定义在定义域的各个不相交的子集中用不同的表达式表示的函数称为分段函数。如1、定义7/5/2023382、定义域分段函数的定义域为所有x所在区间的并。例如其定义域为7/5/202339例某商店某商品库存量为n。商店每销售一单位商品可获利500元，假设供大于求，那么销价处理，每处理一单位商品亏损100元；假设供不应求，那么可从外部调剂供给，此时每单位仅获利200元，试将获利表示为销售量的函数。答案例答案3、对应法那么7/5/202340例4、复合函数求由分段函数与初等函数的复合而成的复合函数，关键要深刻理解分段函数的对应法那么的表示方法。例答案解题过程7/5/202341例5、反函数求分段函数的反函数，由x的对应区间上的每一个表达式解出x(用y表示)，同时得到相应y的变化范围；然后把x写成y的函数(用分段函数的形式表示出来)；最后把x与y互换。解题过程7/5/202342§1.5经济函数分析一、需求函数与供给函数用数学研究经济问题，首先应把经济现象“数学化〞，即把经济量用数学字母表示，并尽量用数学关系式刻画经济量间的相互关系，这就需要找出各个经济量的函数关系。下面介绍几种常用的也是最根本的经济函数。需求律和供给律是经济学研究的根本规律。为研究需求量和供给量的变化规律，下面先给出它们的严格定义，再讨论需求函数与供给函数。7/5/202343定义在特定的时间内消费者打算并能够购置的某种商品的数量称为需求量，记为Qd。在特定的时间内厂商愿意并能够出售的某种商品的数量称为供给量，记为Qs。制定价格时，一般把价格P看作变量，这时市场需求量与生产供给量受价格的影响，因此也是价格的函数，即需求函数与供给函数，分别记为Qd=f(P)与Qs=g(P)。定义使一种商品的市场需求量与生产供给量相等的价格称为均衡价格，记为p0。7/5/202344例鸡蛋收购每千克3元，每月能收购5000千克，提高0.1元那么收购量可增加500千克，求鸡蛋的线性供给函数。答案Qs=-10000+5000P。例某商品的需求函数和供给函数分别为求均衡价格。答案最简单的需求函数和供给函数是线性函数：7/5/202345二、总收入函数、总本钱函数和总利润函数在生产者看来，总希望尽可能降低产品的生产本钱、增加和提高收入和利润。而本钱(C)、收入(R)和利润(L)跟产量或销售量Q有关，可以看作Q的函数，分别称为总本钱函数、总收入函数和总利润函数。总本钱函数C(Q)由固定本钱C0和可变本钱C1(Q)组成：其中C1(0)=0。定义平均本钱函数。7/5/202346例某厂生产某种商品的日产量为100吨，固定本钱为130万元。每生产一吨本钱增加6万元。为了不亏损每吨售价至少多少万元？答案7.3例某厂生产某种商品，销量在100件以内时每件150元，超过100件到200件时按九折出售，超出200件时按八折出售，求该产品的总收入函数。答案7/5/202347三、效用函数效用函数是用来度量消费者消费一定数量的商品组合时所获得的总满足程度的变量，分为基数效用与序数效用。基数效用理论认为，消费者消费一定数量的商品所获得的效用量可以用一个确定的数值来度量的。设消费者消费商品数量为x，所获得的效用为U，那么U是x的函数，称为效用函数，记为通常，效用函数U=f(x)为单调递增函数。常用的效用函数有7/5/202348四、消费函数与储蓄函数宏观经济学中,用Y表示国民收入，C表示居民的消费支出，S表示居民的储蓄(可支配收入中没有被消费的局部)。Y=C+S。决定居民消费支出的变量主要是人们的节俭偏好、收入和利率等。假定除收入Y外，其他影响消费的因素不变，那么消费支出C是国民收入Y的函数，称为消费函数，记作C=C(Y)消费函数常用线性函数C=a+bY来描述，其中a代表收入为0的消费，称为自发消费，b是收入每增加一个单位时相应的消费增加量。7/5/202349函数S=S(Y)=Y-C(Y)称为储蓄函数。S=-a+(1-b)Y当消费函数为C=a+bY时，储蓄函数为其中-a称为自发储蓄，1-b是收入每增加一个单位时相应的储蓄增加量。7/5/202350五、其他1、直线折旧设一台机器的价值为v元，使用期限为n年，该机器使用寿命终结时的价值为c元，那么可折旧的价值为v-c元，平均每年的折旧费为假设t年后的折旧余额记为y，那么7/5/2023512、库存模型先举个例子来说明。例某商店年销售40000件某种小器皿，为节约库存量，分批进货，设每批的订货费用(订合同手续费、差旅费、通讯费、运费等)为600元，每件器皿的库存费为每月0.2元，试给出库存费与进货费之和C与批量x的