2022-2023学年河北省衡水市赵家圈镇中学高二数学理联考试题含解析

2022-2023学年河北省衡水市赵家圈镇中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.将点的直角坐标(－2，2)化为极径是正值，极角在0到之间的极坐标是（

）A．(4，)

B．(4，)

C．(4，)

D．(4，) 参考答案：A略2.直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是()．A．3x＋2y－1＝0

B．3x＋2y＋7＝0

C．2x－3y＋5＝0

D．2x－3y＋8＝0参考答案：A3.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C4.过椭圆上一点H作圆x2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，过A，B的直线l与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，则△POQ面积的最小值为（）A． B． C．1 D．参考答案：D【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．【分析】由点H在椭圆上，知H（3cosθ，2sinθ），由过椭圆上一点H（3cosθ，2sinθ）作圆x2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，知直线AB的方程为：（3cosθ）x+（2sinθ）y=2，由此能求出△POQ面积最小值．【解答】解：∵点H在椭圆上，∴H（3cosθ，2sinθ），∵过椭圆上一点H（3cosθ，2sinθ）作圆x2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，∴直线AB的方程为：（3cosθ）x+（2sinθ）y=2，∵过A，B的直线l与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，∴P（，0），Q（0，），∴△POQ面积S==×，∵﹣1≤sin2θ≤1，∴当sin2θ=1时，△POQ面积取最小值．5.已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，?=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A．2 B．3 C． D．参考答案：B【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及?=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m，0），由?y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1?y2=﹣m，∵?=2，∴x1?x2+y1?y2=2，结合及，得，∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1?y2=﹣2，故m=2．不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，∴S△ABO+S△AFO═×2×（y1﹣y2）+×y1，=．当且仅当，即时，取“=”号，∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B．6.一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，一学生到达该路口时，见到红灯的概率是(

) A． B． C． D．参考答案：A考点：几何概型．专题：计算题．分析：本题是一个那可能事件的概率，试验发生包含的事件是总的时间长度为30+5+40秒，满足条件的事件是红灯的时间为30秒，根据等可能事件的概率得到答案．解答： 解：由题意知本题是一个那可能事件的概率，试验发生包含的事件是总的时间长度为30+5+40=75秒，设红灯为事件A，满足条件的事件是红灯的时间为30秒，根据等可能事件的概率得到出现红灯的概率．故选A．点评：本题考查等可能事件的概率，是一个由时间长度之比确定概率的问题，这是几何概型中的一类题目，是最基础的题．7.下列函数中，既是奇函数，又在（1，+∞）上递增的是（）A．y=x3﹣6x B．y=x2﹣2x C．y=sinx D．y=x3﹣3x参考答案：D【考点】函数的单调性与导数的关系；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】根据导数符号判断函数单调性的方法，奇函数的定义，二次函数图象的对称性，以及正弦函数的单调性即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．y=x3﹣6x，y′=3（x2﹣2）；∴时，y′＜0，即该函数在上递减；∴该函数在（1，+∞）上不递增，即该选项错误；B．y=x2﹣2x的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；C．y=sinx在（1，+∞）上没有单调性，∴该选项错误；D．y=x3﹣3x，（﹣x）3﹣3（﹣x）=﹣（x3﹣3x）；∴该函数为奇函数；y′=3（x2﹣1），x＞1时，y′＞0；∴该函数在（1，+∞）上递增，∴该选项正确．故选：D．8.设P为椭圆上一点，F1、F2为焦点，如果，，则椭圆的离心率为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D9.已知数列为等比数列，是它的前项和,若，且与的等差中项为，则（

）．

A．

B．

C．

D．参考答案：C略10.等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=6，a1=4，则公差d等于（）A．1 B． C．﹣2 D．3参考答案：C【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】由题意可得S3=6=（a1+a3），且a3=a1+2d，a1=4，解方程求得公差d的值．【解答】解：∵S3=6=（a1+a3），且a3=a1+2d，a1=4，∴d=﹣2，故选C．【点评】本题考查等差数列的定义和性质，通项公式，前n项和公式的应用，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.与圆C：x2+y2﹣2x+4y=0外切于原点，且半径为2的圆的标准方程为

．参考答案：（x+2）2+（y﹣4）2=20【考点】圆的标准方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】根据圆和圆的位置关系，求出圆心与半径，即可得到结论．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x+4y=0可化为圆C：（x﹣1）2+（y+2）2=5，设所求圆的圆心为C′（a，b），∵圆C′与圆C外切于原点，∴a＜0①，∵原点与两圆的圆心C′、C三点共线，∴=﹣2，则b=﹣2a②，由|C′C|=3，得=3③，联立①②③解得a=﹣2，则圆心为（﹣2，4），∴所求圆的方程为：（x+2）2+（y﹣4）2=20．故答案为：（x+2）2+（y﹣4）2=20．【点评】本题考查圆的方程，切点与两圆的圆心三点共线是关键，考查方程思想与运算能力，属于中档题．12.若，则的值为

．参考答案：413.若在(－1,+∞)上是减函数，则b的取值范围是

．参考答案：(－∞,－1]试题分析：转化为在上恒成立，即在上恒成立，令，所以，则的取值范围是(－∞,－1].14.在△ABC中，若，则________．参考答案：215.椭圆＋＝1上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为_____________参考答案：24略16.已知向量，若，则x=

；若则x=．参考答案：,﹣6.【考点】向量语言表述线线的垂直、平行关系．【分析】两个向量垂直时，他们的数量积等于0，当两个向量共线时，他们的坐标对应成比列，解方程求出参数的值．【解答】解：若，则?=．若，则==，∴x=﹣6，故答案为，﹣6．17.的内角的对边分别为，若，则=______.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴正半轴上，抛物线上一点的横坐标为2，且该点到焦点的距离为2．（1）求抛物线的标准方程；（2）与圆x2+（y+2）2=4相切的直线l：y=kx+t交抛物线于不同的两点M、N，若抛物线上一点C满足=λ（+）（λ＞0），求λ的取值范围．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意，设抛物线方程为x2=2py，由该点到焦点的距离为2可得，从而求p，可得抛物线的标准方程；（2）由题意可得k2=t+，由直线方程与抛物线联立可得△=16（k2+t）＞0，从而求t的取值范围，进而由韦达定理可得，从而求λ的取值范围．【解答】解：（1）x2=2py，，，p=2，∴x2=4y…（2），∴k2=t+①，△=16（k2+t）＞0②由①②可知，t∈（﹣∞，﹣8）∪（0，+∞）…设C（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=4k，∴．∴，代入x2=4y得16k2λ2=4λ（4k2+2t）．∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵t＞0或t＜﹣8，∴或∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查了圆锥曲线的方程的求法及圆锥曲线与直线的运算，属于中档题．19.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A的极坐标为（，），直线的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线上．（1）求a的值及直线的直角坐标方程；（2）圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线与圆的位置关系．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）运用代入法，可得a的值；再由两角差的余弦公式和直角坐标和极坐标的关系，即可得到直角坐标方程；（2）求得圆的普通方程，求得圆的圆心和半径，由点到直线的距离公式计算即可判断直线和圆的位置关系．【解答】解：（1）由点A（，）在直线ρcos（θ﹣）=a上，可得a=cos0=，所以直线的方程可化为ρcosθ+ρsinθ=2，从而直线的直角坐标方程为x+y﹣2=0，（2）由已知得圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，所以圆心为（1，0），半径r=1，∴圆心到直线的距离d==＜1，所以直线与圆相交．20.已知数列{an}的前n项和，令bn=log9an+1．（1）求数列{bn}的通项公式；（2）若数列{bn}的前n项和为Tn，数列的前n项和为Hn，求H2017．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由数列的前n项和求出数列通项公式，代入bn=log9an+1，利用对数的运算性质求得数列{bn}的通项公式；（2）求出数列{bn}的前n项和为Tn，利用裂项相消法求得数列的前n项和为Hn，则H2017可求．【解答】解：（1）当n=1时，；当n≥2时，．a1=1适合上式，∴．则bn=log9an+1=，即数列{bn}的通项公式；（2）由，得．则．于是=，则．21.已知圆O的直径AB=4，定直线l到圆心的距离为6，且直线l⊥直线AB．点P是圆上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交l于M、N点．如图，以AB为x轴，圆心O为原点建立平面直角坐标系xOy．（1）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆的方程；（2）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点．参考答案：【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】证明题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）⊙O的方程为x2+y2=4，直线l的方程为x=6，点P的坐标为（1，），由此能求出以MN为直径的圆的方程．（2）设点P的坐标为（x0，y0），则，求出MN的中点坐标和以MN为直径的圆C截x轴的线段长度，由此能证明以MN为直径的圆必过圆O内的一定点．【解答】解：（1）∵圆O的直径AB=4，定直线l到圆心的距离为6，且直线l⊥直线AB．如图，以AB为x轴，圆心O为原点建立平面直角坐标系xOy，∴⊙O的方程为x2+y2=4，直线l的方程为x=6，∵∠PAB=30°，∴点P的坐标为（1，），∴，，将x=6代入，得M（6，），N（6，﹣4），∴MN的中点坐标为（6，﹣），MN=，∴以MN为直径的圆的方程为（x﹣6）2+（y+）2=．同理，当点P在x轴下方时，所求圆的方程仍是（x﹣6）2+（y+）2=，∴所求圆的方程为（x﹣6）2+（y+）2=．证明：（2）设点P的坐标为（x0，y0），则，（y0≠0）∴，∵，，将x=6代入，得，，∴M（6，），N（6，），MN=||=，MN的中点坐标为（6，﹣），以MN为直径的圆C截x轴的线段长度为：2====8．（为定值）∴以MN为直径的圆必过圆O内的一定点（6﹣4，0）．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查以MN为直径的圆必过圆O内的一定点的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意直线与圆的位置关系的合理运用．22.甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示．（Ⅰ）分别求出两人得分的平均数与方差；（Ⅱ）请对两人的训练成绩作出评价．参考答案：【考点】极差、方差与标准差．【分析】（Ⅰ）由茎叶图列出甲、乙近期的五次测试成绩得分，由此能求出两人得分的平均数与方差．（Ⅱ）甲、乙二人的平均成绩相等，但乙比甲的成绩更稳定．【解答】解