2021年湖南省郴州市亚星学校高三数学文上学期期末试卷含解析

2021年湖南省郴州市亚星学校高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相邻对称中心的距离为，若角φ的终边经过点（3，），则f（x）图象的一条对称轴为（）A．x= B．x= C．x= D．x=﹣参考答案：A【考点】HW：三角函数的最值．【分析】由周期求得ω，根据角φ的终边经过点（3，），求得φ的值，可得函数的解析式，即可求出f（x）图象的一条对称轴．【解答】解：由题意可得函数的最小正周期为=2×，∴ω=2．∵角φ的终边经过点（3，），∴tanφ=，∵0＜φ＜π，∴φ=∴f（x）=sin（2x+），∴f（x）图象的对称轴为2x+=+kπ，k∈Z，即x=+，当k=0时，f（x）图象的一条对称轴为x=，故选：A．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，诱导公式的应用，属于基础题．2.已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件 D.充要条件参考答案：D∵S2+S4＜2S3，∴2a1+d+4a1+6d＜2（3a1+3d），故d＜0，故“d＜0”是“S2+S4＜2S3”的充要条件，故答案为：D

3.球O与棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各个面都相切，点M为棱DD1的中点，则平面ACM截球O所得截面的面积为（）A． B．π C． D．参考答案：D【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】求出圆心到截面距离，利用d2+r2=1求出截面半径，即可求出截面的面积．【解答】解：设圆心到截面距离为d，截面半径为r，由VO﹣ACM=VM﹣AOC，即，∴，又d2+r2=1，∴，所以截面的面积为．故选D．4.拋物线的准线方程是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D5.如图1为某省2018年1～4月快递业务量统计图，图2是该省2018年1～4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是A．2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B．2018年1～4月的业务量同比增长率均超过50％，在3月最高C．从两图来看，2018年1～4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D．从1～4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长参考答案：D6.如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1、a2、…、aN，输出A、B，则

（

）

A．A+B为a1,a2,…,aN的和

B．为a1,a2,…,aN的算术平均数

C．A和B分别是a1,a2,…,aN中最大的数和最小的数

D．A和B分别是a1,a2,…,aN中最小的数和最大的数参考答案：C7.从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（）A．5 B．10 C．20 D．参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设处P点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P点横坐标，代入抛物线方程求得P的纵坐标，进而利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：设P（x0，y0）依题意可知抛物线准线x=﹣1，∴x0=5﹣1=4∴|y0|==4，∴△MPF的面积为×5×4=10故选：B【点评】本题主要考查了抛物线的应用．解题的关键是灵活利用了抛物线的定义．8.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》

有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人

等，文各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与

丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列.问五人各得

多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.在这个问题中，丙所得为

A.钱

B.钱

C.钱

D.1钱

参考答案：D9.若集合则集合B不可能是（

）

A、

B、

C、

D、参考答案：C略10.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A．B．C．8﹣2πD．

参考答案：A考点:由三视图求面积、体积．专题:计算题．分析:三视图复原的几何体是正方体，除去一个倒放的圆锥，根据三视图的数据，求出几何体的体积．解：三视图复原的几何体是棱长为：2的正方体，除去一个倒放的圆锥，圆锥的高为：2，底面半径为：1；所以几何体的体积是：8﹣=故选A．点评:本题是基础题，考查三视图复原几何体的判定，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力，常考题型．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知等差数列中，是方程的两根，则

参考答案：312.已知双曲线，圆.若双曲线C的一条渐近线与圆M相切，则当取得最大值时，C的实轴长为__________．参考答案：【分析】首先利用直线与圆相切确定a,b的关系，然后利用导函数研究函数取得最大值时双曲线的实轴长度即可.【详解】双曲线的一条渐近线方程为：，圆与双曲线的渐近线相切，则圆心到直线的距离等于半径，即：，据此可知：，则，故，令，则，由导函数与原函数的单调性的关于可知：函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，当时，取得最大值时，此时的实轴长为.【点睛】本题主要考查双曲线的性质，导函数研究函数的单调性与最值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13.已知函数是偶函数，是奇函数，它们的定义域，且它们在上的图象如图所示，则不等式的解集是________________。参考答案：略14.已知都是定义在R上的函数，，且，且．若数列的前n项和大于62，则n的最小值为

▲

参考答案：6

15.若函数的定义域为[-1，1]，则满足f（2x-1）＜f（1）的实数x的取值范围是______．参考答案：[0，1）【分析】先确定函数单调性，再根据单调性化简不等式，解得结果.【详解】∵在单调递增，∵，∴，解得，故答案为:[0，1）【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及利用单调性解不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.16.等差数列{an}的前n项和记为Sn，已知，，若存在正数k，使得对任意，都有恒成立，则k的值为_________．参考答案：9【分析】先根据条件解出首项与公差，再求取最大值时对应项数.【详解】，，所以当时取最大值，因为对任意，都有恒成立，所以k的值为故答案为9【点睛】本题考查等差数列通项公式与求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.17.定义函数，其中表示不超过的最大整数，如：当时，设函数的值域为A，记集合A中的元素个数为，则式子的最小值为

参考答案：13三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分．已知椭圆的两个焦点为、，是与的等差中项，其中、、都是正数，过点和的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）（文）过点作直线交椭圆于另一点，求长度的最大值；（3）已知定点，直线与椭圆交于、相异两点．证明：对任意的，都存在实数，使得以线段为直径的圆过点．参考答案：解：（1）在椭圆中，由已知得····································1分过点和的直线方程为，即，该直线与原点的距离为，由点到直线的距离公式得：·····························································································3分解得：；所以椭圆方程为····················································4分（2）（文）设，则，，其中

6分当时，取得最大值，所以长度的最大值为····························9分（3）将代入椭圆方程，得，由直线与椭圆有两个交点，所以，解得··············································11分设、，则，，因为以为直径的圆过点，所以，即，···················································································13分而=，所以，解得······························14分如果对任意的都成立，则存在，使得以线段为直径的圆过点．，即．所以，对任意的，都存在，使得以线段为直径的圆过点．

16分19.（本小题满分12分）已知函数.（1）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围；（2）当时，证明(3)当且时，证明：.参考答案：解：（1），函数的定义域为..依题意，在恒成立，在恒成立.，，∴的取值范围为.（2）当时，.证明：当时，欲证，只需证.由（Ⅰ）可知：取，则，而，（当时，等号成立）.用代换，得，即，∴.在上式中分别取，并将同向不等式相加，得.∴当时，.

(3)由（Ⅱ）可知（时，等号成立）.而当时：，∴当时，.设，则，∴在上递减，在上递增，∴，即在时恒成立.故当时，（当且仅当时，等号成立）.

……

①用代换得：（当且仅当时，等号成立）.

……②当时，由①得，.当时，由②得，用代换，得.∴当时，，即.在上式中分别取，并将同向不等式相加，得.故当且时，略20.已知函数⑴若，试确定函数的单调区间；⑵若，且对于任意恒成立，试确定实数的取值范围；⑶设函数，求证：。参考答案：解：⑴由得，所以

由得，故的单调递增区间是

由得，故的单调递减区间是

⑵由可知是偶函数，

于是对任意成立等价于对任意成立

由得

①当时，，此时在上单调递增故，符合题意。

②当时，

当变化时的变化情况如下表：

—0+极小值由此可得，在上

依题意，，又

综合①②得实数R的取值范围是

⑶

……

由此得故

21.已知函数的导函数是,对任意两个不相等的正数,证明:(1)当时,;

(2)当时,.参考答案：略解：（1）

.，而,又,得,又,得,由于,故.所以.所以.（2），故

，下面证明：成立.法1：.

令