2021-2022学年山西省太原市化客头街办中学高三数学文上学期期末试题含解析

2021-2022学年山西省太原市化客头街办中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知a、b∈R，则“ab=1”是“直线“ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行，可得ab=1．反之不成立，例如a=b=1时，两条直线重合．【解答】解：由ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行，可得ab=1．反之不成立，例如a=b=1时，两条直线重合．∴ab=1”是“直线“ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行”的必要不充分条件．故选：C．2.函数y=acosx﹣（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】函数的图象．【分析】讨论a的范围，根据指数函数和三角函数的性质得出y的范围和x=0时的函数值，从而得出函数图形的形状．【解答】解：若a＞1，则当x=0时，y=a﹣＞0，∵﹣1≤cosx≤1，∴y=acosx﹣≥a﹣1﹣=0，故A错误；当0＜a＜1时，当x=0时，y=a﹣＜0，∵﹣1≤cosx≤1，∴y=acosx﹣≤a﹣1﹣=0，故C正确，D错误，综上可得，当x=0时，y≠0，故B错误；故选：C．3.函数y=的定义域是（

）A．（3，+∞）

B．3,+∞)

C．(4,+∞)

D．4,+∞)参考答案：D4.运行如图的程序框图，则输出s的结果是()A. B.C. D.参考答案：B5.复数等于

（

）参考答案：B6.函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围为A．

B．

C．

D．

参考答案：B7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】根据三视图还原几何体，进而得到侧面的面积之和.【详解】由三视图可知，该几何体是一个竖放的四棱锥（侧棱垂直于底面），其直观图如图所示，在直角梯形中，；同理，，，；在中，，∴，∴，，，∴该四棱锥的侧面积.故选A.【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.8.《九章算术》是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的m的值为35，则输入的a的值为（）A．4 B．5 C．7 D．11参考答案：A【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，求出运算结果即可．【解答】解：起始阶段有m=2a﹣3，i=1，第一次循环后m=2（2a﹣3）﹣3=4a﹣9，i=2，第二次循环后m=2（4a﹣9）﹣3=8a﹣21，i=3，第三次循环后m=2（8a﹣21）﹣3=16a﹣45，i=4，第四次循环后m=2（16a﹣45）﹣3=32a﹣93，跳出循环，输出m=32a﹣93=35，解得a=4，故选：A【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的答案，是基础题．9.设F1、F2分别是椭圆的两焦点，点P是该椭圆上一个动点，则的取值范围是A．[一2,1）

B．（—2,1）

C．（一2,1]

D．[—2,1]

参考答案：D【知识点】椭圆的应用；平面向量数量积的运算由椭圆的知F1（﹣，0），设P（x，y），则=（﹣﹣x，﹣y）（﹣x，﹣y）=x2+y2﹣3=（3x2﹣8）∵x∈[﹣2，2]，∴0≤x2≤4，故∈[﹣2，1],故选D.【思路点拨】设出点P的坐标，进而可表示出，进而根据x的范围确定的范围。

10.设，，，则等于（）A.

B.

C.

D.参考答案：C.考点：集合的运算.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f(x)=sinx+5x,x∈(-1,1),如果f(1-a)+f(1-a2)<0,则a的取值范围是_______________.参考答案：1<a<

12.已知数列{an}的各项均为正整数，对于n=1，2，3，…，有，当a1=11时，a100=；若存在m∈N*，当n＞m且an为奇数时，an恒为常数p，则p的值为．参考答案：62,1或5【考点】数列递推式．【专题】压轴题；规律型．【分析】由题设分别求出a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9，仔细观察能够发现{an}从第3项开始是周期为6的周期数列，故a100=a3+（6×16+1）=a4；由若存在m∈N*，当n＞m且an为奇数时，an恒为常数p，知an=p，an+1=3p+5，，再由数列{an}的各项均为正整数，能求出p．【解答】解：由题设知，a1=11，a2=3×11+5=38，，a4=3×19+5=62，，a6=3×31+5=98，，a8=3×49+5=152，，∴{an}从第3项开始是周期为6的周期数列，∴a100=a3+（6×16+1）=a4=62．若存在m∈N*，当n＞m且an为奇数时，an恒为常数p，则an=p，an+1=3p+5，，∴（3﹣2k）p=﹣5，∵数列{an}的各项均为正整数，∴当k=2时，p=5，当k=3时，p=1．故答案为：62，1或5．【点评】本题考查数列的递推公式的性质和应用，解题时分别求出a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9，仔细观察能够发现{an}从第3项开始是周期为6的周期数列，借助数列的周期性13.（不等式选讲）设x、y、z∈R+,x2+y2+z2=1,当x+2y+2z取得最大值时，x+y+z=_______.参考答案：略14.设是定义域为R的奇函数，是定义域为R的偶函数，若函数的值域为，则函数的值域为

．参考答案：

15.已知曲线，则过点，且与曲线相切的直线方程为______.参考答案：或【分析】根据导数的几何意义，可求出切线的斜率，由点斜式写出直线方程.【详解】设切点为，因，所以为切点的切线方程为：，代入点坐标有：，解得：或.当时，切线方程为：；当时，切线方程为：.故答案为或.【点睛】本题主要考查了函数图象的切线，导数的几何意义，点斜式直线方程，属于中档题.16.已知菱形ABCD的边长为2，，点E、F分别在边BC、DC上，，.若，，则

．参考答案：

①即

②，解得

17.在正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若=λ+μ，则λ+μ=______．参考答案：【分析】根据平面向量定理，表示出，然后把转化到，利用，得到用和表示的式子，得到和的值.【详解】在中，为中点，所以，为中点，所以所以即，所以而所以故

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在四棱锥中,,,平面,,为的中点。(Ⅰ)求证:平面；(Ⅱ)平面内是否存在一点,使平面？若存在,确定点的位置；若不存在,请说明理由。参考答案：略19.已知抛物线，过其焦点作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线，它们分别交抛物线于点、和点、，线段、的中点分别为、.（Ⅰ）求线段的中点的轨迹方程；（Ⅱ）求面积的最小值；（Ⅲ）过、的直线是否过定点?若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）4；（Ⅲ）直线恒过定点.

试题解析：（Ⅰ）由题设条件得焦点坐标为，设直线的方程为,.联立，得..设，，则，，∴.（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知直线的斜率为：，所以直线的方程为:,即，（*）当，时方程（*）对任意的均成立，即直线过点.当时，直线的方程为：，也过点.所以直线恒过定点.……12分考点：求轨迹方程，直线与抛物线相交的综合问题．20.已知函数有最小值．(1）求实常数的取值范围；(2）设为定义在上的奇函数，且当时，，求的解析式．参考答案：（1）所以，当时，有最小值，(2）由为奇函数，有，得．设，则，由为奇函数，得．所以，21.如图1所示，在等腰梯形ABCD中，，点E为AB的中点.将沿DE折起，使点A到达P的位置，得到如图2所示的四棱锥，点M为棱PB的中点.（1）求证：；（2）若，求三棱锥的体积.参考答案：（1）见解析；（2）【分析】（1）连接，交于点，连接，易知底面是平行四边形，则为中点，又是中点，可知，则结论可证.（2）先证明是等腰直角三角形，由条件中的面面垂直可得平面，则由（1）可知平面，则为三棱锥的高，底面的面积容易求得，根据公式求三棱锥的体积.【详解】（1）在平面图中，因为且，所以四边形是平行四边形；在立体图中，连接，交于点，连接，所以点是中点，又因为点为棱的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）在平面图中，因为是平行四边形，所以，因为四边形是等腰梯形，所以，所以，因为，所以；在立体图中，，又平面平面，且平面平面，平面所以平面，由（1）知，所以平面，在等腰直角三角形中，因为，所以，所以，又，所以.【点睛】本题考查平面几何与立体几何的关系，线面平行的证明，面面垂直的性质等，有一定的综合性，属中等题.22.（2017?深圳一模）已成椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为．其右顶点与上顶点的距离为，过点P（0，2）的直线l与椭圆C相交于A、B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）设M是AB中点，且Q点的坐标为（，0），当QM⊥AB时，求直线l的方程．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）椭圆的离心率为．其右顶点与上顶点的距离为，列出方程组，求出a=，b=，由此能求出椭圆C的方程．（2）若直线l的斜率不存在，直线方程为x=0；若直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+2，与椭圆方程联立，得（2+3k2）x2+12kx+6=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线垂直，结合已知条件能求出直线l的方程．【解答】解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为．其右顶点与上顶点的距离为，∴由题意知：，解得a=，b=，∴椭圆C的方程为：．（2）①若直线l的斜率不存在，此时M为原点，满足QM⊥AB，∴方程为x=0；②若直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+2，A（x1，y1），B（