2021年湖南省岳阳市太傅路中学工程建设指挥部高二数学理上学期期末试题含解析

2021年湖南省岳阳市太傅路中学工程建设指挥部高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.抛物线上的点到直线4x-3y-8=0的距离的最小值是(A)

(B)

(C)

(D)3参考答案：A2.设a=lge，b=（lge）2，c=lg，其中e为自然对数的底数，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a参考答案：B【考点】对数值大小的比较．【分析】由lge＞0，可得lge=lg，即可比较出a与c的大小关系．作差c﹣b=lge﹣（lge）2=lge＞lge，即可得出大小关系．【解答】解：∵lge＞0，∴lge=lg，∴a＞c．又c﹣b=lge﹣（lge）2=lge=lge＞lge=0，∴c＞b．∴a＞c＞b．故选：B．3.设函数，若不等式恰有两个整数解，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.参考答案：C分析：由不等式分离参数可得恰有两个整数解，然后结合函数的图象求解可得实数的取值范围．详解：由，得恰有两个整数解．令，则，由于在上单调递增，且，∴当时，单调递增，当时，单调递减．画出函数的图象如下图所示．结合图象可得，当恰有两个整数解时，需满足，即，∴实数的取值范围是．故选C．点睛：（1）已知函数的零点个数（方程解的个数或不等式解的情况）求参数的取值范围时，一般可借助函数图象的直观性求解，解题时先分离参数得到具体的函数，然后再画出函数的图象，最后结合题意求解．（2）求参数的范围时，要注意不等式端点处的等号能否取得．4.椭圆的右焦点到直线的距离是A.

B.

C.1

D.参考答案：B5.两个二进制数101（2）与110（2）的和用十进制数表示为（）A．12 B．11 C．10 D．9参考答案：B【考点】进位制．【分析】括号里的数字从左开始，第一位数字是几，再乘以2的0次幂，第二位数字是几，再乘以2的1次幂，以此类推，进行计算即可．【解答】解：∵由题意可得，=1×22+1×21+0×20=6．∴5+6=11．故选：B．6.（理）正四面体的表面积为，其中四个面的中心分别是、、、.设四面体的表面积为，则等于

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B7.执行右方的程序框图，若输出S＝2550，则判断框处为A．k≤50？

B．k≥51？

C．k＜50？

D．k＞51？参考答案：BA，如果输出b的值为792，则a＝792，，不满足题意．B，如果输出的值为495，则a＝495，，满足题意．所以B选项是正确的．C，如果输出的值为594，则a＝594，，不满足题意故选项C错误；如果输出的值为693，则a＝693，，不满足题意故D是错误的．考点：程序框图．8.一个游戏转盘上有四种颜色：红、黄、蓝、黑，并且它们所占面积的比为6：2：1：4，则指针停在红色或蓝色的区域的概率为（）A． B． C． D．参考答案：B【分析】指针停在红色或蓝色的概率就是红色或蓝色区域的面积与总面积的比值，计算面积比即可．【解答】解：根据题意可知：四种颜色：红、黄、蓝、黑，并且它们所占面积的比依次为6：2：1：4，红色或蓝色的区域占总数的，故指针停在红色或蓝色的区域的概率是．故选：B．【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件A；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件A发生的概率．9.设f（x）为奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，f（﹣2）=0，则f（x）＜0的解集为（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣2，0）∪（0，2） C．（﹣2，0） D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）参考答案：D【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，由函数的奇偶性分析可得函数在（﹣∞，0）上为增函数，且f（2）=0，分x＞0与x＜0两种情况讨论，分析f（x）＜0的解集，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，由于函数f（x）为奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，则函数在（﹣∞，0）上为增函数，又由f（﹣2）=0，则f（2）=﹣f（﹣2）=0，当x∈（0，+∞），函数为增函数，且f（2）=0，f（x）＜0的解集为（0，2），当x∈（﹣∞，0），函数为增函数，且f（﹣2）=0，f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣2），综合可得：f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，2）；故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是充分利用函数的奇偶性．10.的展开式中的系数是（

）A．-4

B．-3

C．3 D．4参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.由曲线与，，所围成的平面图形的面积为

参考答案：略12.对于数列，若中最大值，则称数列为数列的“凸值数列”。如数列2,1,3,7,5的“凸值数列”为2,2,3,7,7；由此定义，下列说法正确的有___________________.①递减数列的“凸值数列”是常数列；②不存在数列，它的“凸值数列”还是本身；③任意数列的“凸值数列”是递增数列；④“凸值数列”为1,3,3,9的所有数列的个数为3.参考答案：①④13.已知函数f（x）=（a为常数，e为自然对数的底数）的图象在点A（e，1）处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数a的取值范围是．参考答案：考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：利用导数的几何意义求出切线方程，利用分段函数与切线有三个不同的交点，得到当x＜1时，切线和二次函数有两个不同的交点，利用二次函数根的分布建立不等式关系，即可求得a的取值范围．解答：解：当x≥1，函数f（x）的导数，f'（x）=，则f'（e）=，则在A（e，1）处的切线方程为y﹣1=（x﹣e），即y=．当x≥1时，切线和函数f（x）=lnx有且只有一个交点，∴要使切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则当x＜1时，函数f（x）==，有两个不同的交点，即（x+2）（x﹣a）=x，在x＜1时，有两个不同的根，设g（x）=（x+2）（x﹣a）﹣x=x2+（1﹣a）x﹣2a，则满足，即，∴，解得或，即实数a的取值范围是．故答案为：．点评：不同主要考查导数的几何意义，以及函数交点问题，利用二次函数的根的分布是解决本题的关键．考查学生分析问题的能力，综合性较强．14.有4双不同的手套，从中任取4只，至少有两只是一双的不同取法共有

种.(用数字作答)参考答案：54略15.设偶函数满足：当时，，则＝________.参考答案：略16.在数列{an}中，已知a2=4，a3=15，且数列{an+n}是等比数列，则an=

．参考答案：2?3n﹣1﹣n；考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由于数列{an+n}是等比数列，可得，解得a1．即可得到公比q==．再利用等比数列的通项公式即可得出．解答： 解：∵数列{an+n}是等比数列，∴，∴（4+2）2=（a1+1）×（15+3），解得a1=1．∴公比q==．∴an+n=2×3n﹣1．∴an=2?3n﹣1﹣n，故答案为：2?3n﹣1﹣n．点评：本题考查了等比数列的定义及其通项公式，属于基础题．17.若复数满足（其中为虚数单位），则的最小值为

参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）如图，四面体中，、分别是、的中点，（I）求证：平面

（II）求证：平面；（III）求异面直线与所成角的余弦值；参考答案：（I）证明：连结，、分别是、的中点，又平面，平面，平面

………………4分（II）证明：连结

………………6分在中，由已知可得而…………8分平面

………………9分（III）取的中点，连结、、，由为的中点知直线与所成的锐角就是异面直线与所成的角………11分在中，

是直角斜边上的中线，

取的中点，则，

异面直线与所成角的余弦值为

…14分19.已知函数。（1）求f(x)的单调区间.（2）求f(x)在区间的最值.参考答案：（1）f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+∞)（2）,【详解】试题分析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性求出的最大值和最小值即可．试题解析：(1)函数的定义域为，由得，由.的单调递增区间为，单调递减区间为(2)由(1)知当，的单调递增区间为，单调递减区间为，

又20.已知函数f（x）=logax（a＞0，a≠1）．（1）当a=2时，求关于实数m的不等式f（3m﹣2）＜f（2m+5）的解集．（2）求使成立的x值．参考答案：【考点】7J：指、对数不等式的解法．【分析】（1）由a=2得函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，把不等式f（3m﹣2）＜f（2m+5）化为，求出解集即可；（2）由得出方程x﹣=，求出方程的解并检验是否满足条件．【解答】解：（1）由a=2得，函数f（x）=log2x在定义域（0，+∞）上单调递增，所以不等式f（3m﹣2）＜f（2m+5）可化为：，解得＜m＜7；（2）由，得loga（x﹣）=loga，即x﹣=，化简得2x2﹣7x﹣4=0，解得x=﹣或x=4；检验得x=﹣，x=4都满足题意，故x=﹣或x=4；．21.设函数（Ⅰ）当时，求的单调区间；（Ⅱ）若当时，求的取值范围。

参考答案：解：（Ⅰ）时，。当时；当时，；当时，。故在，单调增，在单调减。（Ⅱ）（不能使用分离变量法）令，则。若，则当时，，为增函数，则，从而当时.若，则当时，，为减函数，则，从而当时＜0，与题意不符（舍去）.

综上所述，得的取值范围为略22.已知数列{an}满足：（1）a1=3；（2）an+1=2n2﹣n（3an﹣1）+an2+2（n∈N*）．（Ⅰ）求a2、a3、a4；（Ⅱ）猜测数列{an}的通项，并证明你的结论；（Ⅲ）试比较an与2n的大小．参考答案：【考点】8H：数列递推式；RG：数学归纳法．【分析】（Ⅰ）把n=1，2，3分别代入an+1=2n2﹣n（3an﹣1）+an2+2（n∈N*），得a2=5，a3=7，a4=9．（Ⅱ）猜测an=2n+1，然后用数学归纳法进行证明．（Ⅲ）当n=1时，a1=3＞2n；当n=2n=2时，a2=5＞22；当n=3时，a3=7＜23；当n=4时，a4=9＜24．猜想n≥3（n∈N*）时，an＜2n．然后用数学归纳法进行证明．【解答】解：（Ⅰ）a2=5，a3=7，a4=9；（3分）（Ⅱ）猜测an=2n+1，（1分）证明如下：当n=1时，a1=3=2×1+1，结论成立；（1分）若n=k时，结论成立，即ak=2k+1，则n=k+1时，ak+1=2k2﹣k（3ak﹣1）+ak2+2=2k2﹣k（6k+2）+（2k+1）2+2=2k+3，（2分）于是n=k+1时，结论成立．故对所有的正整数n，an=2n+1．（1分）（Ⅲ）当n=1时，a1=3＞2n；当n=2n=2时，a2=5＞22；当n=3时，a3=7＜23；当n=4时，a4=9＜24；（1分）猜想n≥3（n∈N*