2021年福建省龙岩市中复中学高三数学文测试题含解析

2021年福建省龙岩市中复中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.将函数f（x）=cos（πx）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把图象上所有的点向右平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调区间是（）A．[4k+1，4k+3]（k∈Z） B．[2k+1，2k+3]（k∈Z） C．[2k+1，2k+2]（k∈Z） D．[2k﹣1，2k+2]（k∈Z）参考答案：A【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据图象的变换规则逐步得出函数解析式，利用正弦函数的单调性即可得解．【解答】解：∵将函数f（x）=cos（πx）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数解析式为：y=cos（πx）；再把图象上所有的点向右平移1个单位长度，得到函数的解析式为：g（x）=cos[π（x﹣1）]；∴可得：，∵由2k≤≤2kπ+，k∈Z，解得：4k+1≤x≤4k+3，k∈Z，可得函数g（x）的单调递减区间是：[4k+1，4k+3]，k∈Z，由2kπ﹣≤≤2k，k∈Z，解得：4k﹣1≤x≤4k+1，k∈Z，可得函数g（x）的单调递增区间是：[4k﹣1，4k+1]，k∈Z，对比各个选项，只有A正确．故选：A．2.已知函数，若是的导函数，则函数在原点附近的图象大致是（

）

A

B

C

D

参考答案：A略3.已知平面向量，满足，，与的夹角为，以为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条长度为（

）A．2

B．

C.1

D．参考答案：B因为与的夹角为，所以此平行四边形的两条对角线中较短的一条长度为，而，故选B.

4.设F是双曲线﹣=1的右焦点，双曲线两渐近线分别为l1，l2，过点F作直线l1的垂线，分别交l1，l2于A，B两点，若A，B两点均在x轴上方且|OA|=3，|OB|=5，则双曲线的离心率e为（）A． B．2 C． D．参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用勾股定理，可得|AB|=4，设出直线l1：y=x，直线l2：y=﹣x，由直线l1到直线l2的角的正切公式，可得tan∠AOB==，求得b=2a，运用离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：在直角三角形AOB中，|OA|=3，|OB|=5，可得|AB|==4，可得tan∠AOB==，由直线l1：y=x，直线l2：y=﹣x，由直线l1到直线l2的角的正切公式，可得tan∠AOB==，化简可得b=2a，即有e===．故选：C．5.下列函数中，是奇函数且在区间（0，+∞）上为减函数的是（）A．y=3﹣x B．y=x3 C．y=x﹣1 D．参考答案：C考点： 奇偶性与单调性的综合．专题： 函数的性质及应用．分析： 根据一次函数的单调性及奇偶性，可判断A的真假；根据幂函数的单调性及奇偶性，可判断B的真假；根据反比例函数的单调性及奇偶性，可判断C的真假；根据指数函数的单调性及奇偶性，可判断D的真假；解答： 解：函数y=3﹣x是非奇非偶函数，但在区间（0，+∞）上为减函数函数y=x3是奇函数，但在区间（0，+∞）上为增函数函数y=x﹣1=奇函数，且在区间（0，+∞）上为减函数函数是非奇非偶函数，但在区间（0，+∞）上为减函数故选C点评： 本题考查的知识点是函数的奇偶性与单调性，其中熟练掌握基本初等函数的单调性和奇偶性是解答的关键．6.在中，内角的对边分别为，若，则的形状一定是(

)(A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)等边三角形

(D)等腰直角三角形参考答案：A7.如图，是一个几何体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）、俯视图，正视图（主视图）、侧视图（左视图）都是矩形，则该几何体的体积是

（

）

A．24

B．12

C．8

D．4参考答案：B略8.已知直线l:ax+by=1，点p(a,b)在圆C：外，则直线l与圆C的位置关系是(

)A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定参考答案：A9.已知则x,y之间的大小关系是（

）A.

B.

C.

D．不能确定参考答案：答案：C10.已知点与点在直线的两侧，且，则的取值范围是

A．

B．

C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，Sn﹣=0（n∈N*），则{an}的通项公式为an=

．参考答案：考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，利用等比数列的通项公式即可得出．解答： 解：当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=an，化为an+1=3an．a1﹣a2=0，解得a2=2．∴当n≥2时，数列{an}为等比数列，∴．∴{an}的通项公式为an=．故答案为：an=．点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式，属于基础题．12.设函数是定义在R上的奇函数，若当时，则满足的值域是 。参考答案：答案：13.设适合等式，则的值域是

.参考答案：略14..如图是一个算法的流程图，若输入的值是10，则输出的值是

▲

.参考答案：

略15.已知数列{an}为1，3，7，15，31，…，2n﹣1，数列{bn}满足b1=1，bn=an﹣an﹣1，则数列的前n﹣1项和Sn﹣1为

．参考答案：2﹣22﹣n（n≥2）【考点】8E：数列的求和．【分析】an=2n﹣1．数列{bn}满足b1=1，n≥2时bn=an﹣an﹣1=2n﹣1﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1，（n=1时也成立）．可得bn=2n﹣1．利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：an=2n﹣1．数列{bn}满足b1=1，n≥2时bn=an﹣an﹣1=2n﹣1﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1，（n=1时也成立）．∴bn=2n﹣1．∴=．∴数列的前n﹣1项和Sn﹣1=1+=2﹣22﹣n（n≥2）．故答案为：2﹣22﹣n（n≥2）．16.把函数f（x）=图象上各点向右平移?（?＞0）个单位，得到函数g（x）=sin2x的图象，则?的最小值为．参考答案：【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的最值．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用三角函数的恒等变换及化简f（x）的解析式，再利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：把函数f（x）==sin2x+cos2x=sin（2x+）图象上各点向右平移?（?＞0）个单位，得到函数g（x）=sin[2（x﹣?）+]=sin（2x﹣2?+）=sin2x的图象，则?的最小值为，故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．17.设公比大于1的正项等比数列{an}满足：a3+a5=20，a2a6=64，则其前6项和为．参考答案：63【考点】等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a3和a5为方程x2﹣20x+64=0的两根，解方程结合题意可得q=2，a1=1，代入求和公式可得．【解答】解：由等比数列的性质可得a3a5=a2a6=64，∴a3和a5为方程x2﹣20x+64=0的两根，解得a3=4，a5=16，或a3=16，a5=4，又数列{an}为公比大于1的正项等比数列，∴a3=4，a5=16，∴q=2，a1=1，∴其前6项和S6==63故答案为：63．【点评】本题考查等比数列的求和公式，涉及等比数列的性质和韦达定理，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=a（a≠3），，设，n∈N*．（1）求证：数列{bn}是等比数列；（2）若an+1≥an，n∈N*，求实数a的最小值；（3）当a=4时，给出一个新数列{en}，其中，设这个新数列的前n项和为Cn，若Cn可以写成tp（t，p∈N*且t＞1，p＞1）的形式，则称Cn为“指数型和”．问{Cn}中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．【专题】：综合题；新定义．【分析】：（1）依题意，可求得Sn+1=2Sn+3n，当a≠3时，=2，利用等比数列的定义即可证得数列{bn}是等比数列；（2）由（1）可得Sn﹣3n=（a﹣3）×2n﹣1，an=Sn﹣Sn﹣1，n≥2，n∈N*，从而可求得an=，由an+1≥an，可求得a≥﹣9，从而可求得实数a的最小值；（3）由（1）当a=4时，bn=2n﹣1，当n≥2时，Cn=3+2+4+…+2n=2n+1+1，C1=3，可证得对正整数n都有Cn=2n+1，依题意由tp=2n+1，tp﹣1=2n，（t，p∈N*且t＞1，p＞1），t只能是不小于3的奇数．分①当p为偶数时与②当p为奇数讨论即可得到答案．解：（1）an+1=Sn+3nSn+1=2Sn+3n，bn=Sn﹣3n，n∈N*，当a≠3时，===2，所以{bn}为等比数列．b1=S1﹣3=a﹣3，bn=（a﹣3）×2n﹣1．（2）由（1）可得Sn﹣3n=（a﹣3）×2n﹣1，an=Sn﹣Sn﹣1，n≥2，n∈N*，∴an=，∵an+1≥an，∴a≥﹣9，又a≠3，所以a的最小值为﹣9；（3）由（1）当a=4时，bn=2n﹣1，当n≥2时，Cn=3+2+4+…+2n=2n+1+1，C1=3，所以对正整数n都有Cn=2n+1．由tp=2n+1，tp﹣1=2n，（t，p∈N*且t＞1，p＞1），t只能是不小于3的奇数．①当p为偶数时，tp﹣1=（+1）（﹣1）=2n，因为tp+1和tp﹣1都是大于1的正整数，所以存在正整数g，h，使得tp+1=2g，﹣1=2h，2g﹣2h=2，2h（2g﹣h﹣1）=2，所以2h=2且2g﹣h﹣1=1h=1，g=2，相应的n=3，即有C3=32，C3为“指数型和”；②当p为奇数时，tp﹣1=（t﹣1）（1+t+t2+…+tp﹣1），由于1+t+t2+…+tp﹣1是p个奇数之和，仍为奇数，又t﹣1为正偶数，所以（t﹣1）（1+t+t2+…+tp﹣1）=2n不成立，此时没有“指数型和”．【点评】：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列求和，突出逻辑思维与创新思维、综合分析、运算能力的考查，属于难题．19.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（﹣2，0），点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线y=kx（k≠0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N．求证：以MN为直径的圆必过椭圆的两焦点．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意可设椭圆标准方程为，结合已知及隐含条件列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a2，b2的值，则椭圆方程可求；（2）设F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），写出AE、AF所在直线方程，求出M、N的坐标，得到以MN为直径的圆的方程，由圆的方程可知以MN为直径的圆经过定点（±2，0）．【解答】（1）解：（1）由题意可设椭圆方程为，则，解得：a2=8，b2=4．∴椭圆C的方程为+=1；（2）证明：如图，设F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），则+=1，即有y02=（8﹣x02），A（﹣2，0），AF所在直线方程y=（x+2），取x=0，得y=，∴N（0，），AE所在直线方程为y=（x+2），取x=0，得y=，∴M（0，），则以MN为直径的圆的圆心坐标为（0，），半径r=，圆的方程为x2+（y﹣）2==，即x2+（y+）2=，取y=0，得x=±2．∴以MN为直径的圆经过定点（±2，0），即为椭圆的焦点．20.已知圆C与两圆，外切，圆C的圆心轨迹方程为L，设L上的点与点的距离的最小值为，点与点的距离为.(Ⅰ)求圆C的圆心轨迹L的方程；（Ⅱ）求满足条件的点的轨迹Q的方程；（Ⅲ）试探究轨迹Q上是否存在点，使得过点B的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于。若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由。

参考答案：(I)(II)(III)或解析：解：（Ⅰ）两圆半径都为1，两圆心分别为、，由题意得，可知圆心C的轨迹是线段的垂直平分线，的中点为，直线的斜率等于零，故圆心C的轨迹是线段的垂直平分线方程为，即圆C的圆心轨迹L的方程为。(4分)（Ⅱ）因为，所以到直线的距离与到点的距离相等，故点的轨迹Q是以为准线，点为焦点，顶点在原点的抛物线，，即，所以，轨迹Q的方程是

(8分)（Ⅲ）由（Ⅱ）得，，所以过