2021年广东省江门市开平第七中学高三数学理联考试卷含解析

2021年广东省江门市开平第七中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知设函数，则的最大值为（

）A．1

B．2

C．

D．4参考答案：C2.将6名党员干部分配到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名党员干部，则不同的分配方案共有（）A．2640种 B．4800种 C．1560种 D．7200种参考答案：C解：依题意，6人分成每组至少一人的4组，可以分为3，1，1，1或2，2，1，1两种，分为3，1，1，1四组时，有＝480种，分为2，2，1，1四组时，有＝1080种，故共有480+1080＝1560种，故选：C．3.命题“?x0∈R，7x+sin2x0＞3”的否定是（）A．?x0∈R，7x+sin2x0≤3 B．?x0∈R，7x+sin2x0＜3C．?x∈R，7x3+sin2x≤3 D．?x∈R，7x3+sin2x＜3参考答案：C【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“?x0∈R，7x+sin2x0＞3”的否定为：?x∈R，7x3+sin2x≤3．故选：C．4.某校为了解本校高三学生学习心里状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试，为此将题目随机编号，分组后再第一组采用简单随机抽样的方法抽到号码为18，抽到的40人中，编号落入区间的人做试卷，编号落入区间的人做试卷,其余的人做试卷，则做试卷的人数为A.10 B.12C.18 D.28参考答案：B【知识点】抽样方法.

I1

解析：设抽到的学生的编号构成数列，则，由得，，19到40有12个整数，故选B.【思路点拨】根据系统抽样的定义求解.5.已知，，则a,b,c的大小关系是()A．

B．

C．

D．参考答案：B6.给出平面区域G，如图所示，其中，若使目标函数取得最小值的最优解有无穷多个，则的值为A．

B．

C．2

D．4参考答案：D略7.设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：B【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】先化简复数，再得出点的坐标，即可得出结论．【解答】解：=i（1+i）=﹣1+i，对应复平面上的点为（﹣1，1），在第二象限，故选：B．【点评】本题考查复数的运算，考查复数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础．8.若，则

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：A9.已知集合，则a=

A．1

B．-1

C．±1

D．0参考答案：10.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是

A．若则

B．若，，则C．若，，则

D．若，，则参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在递增等比数列{an}中，，则公比＝

．参考答案：2略12.已知向量，其中.若，则的取值范围为

参考答案：略13.若实数x，y满足，则的最小值是________，y的最大值是________.参考答案：－2

2【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最小值，得到的值．【详解】解：实数x，y满足表示的可行域如图：令，可知目标函数经过可行域的C点时，取得最小值，由，解得，所以的最小值是：－2，在可行域中B点在最高点，故在B时取最大值解得此时．故答案为：－2；2．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．14.某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况，抽查并统计了100名同学的某一周阅读时间，绘制了频率分布直方图（如图所示），那么这100名学生中阅读时间在小时内的人数为_____．参考答案：5415.在极坐标系中，曲线的方程是，过点作曲线的切线，则切线长为

;参考答案：16.从直线上一动点出发的两条射线恰与圆都相切，则这两条射线夹角的最大值为

．参考答案：17.现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10cm，最下面的三节长度之和为114cm，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n＝________.参考答案：16略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，CD⊥平面PAD，BC∥AD，PA＝PD，O，E分别为AD，PC的中点，PO＝AD＝2BC＝2CD．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求二面角A-PC-O的余弦值．参考答案：．解法一：（Ⅰ）设，连接,分别是、的中点，则， ……1分已知平面，平面，所以平面平面，又，为的中点，则，而平面，所以平面，所以平面，又平面，所以； ……3分在中，，；又，所以平面，又平面，所以. ……6分（Ⅱ）在平面内过点作交的延长线于，连接，，因为平面，所以平面，平面平面，所以平面，平面，所以；在中，，是中点，故；所以平面，则．所以是二面角的平面角．……10分设，而，，则，所以二面角的余弦值为． ……12分解法二：因为平面，平面，所以平面平面，又，是的中点，则，且平面，所以平面． ……2分如图，以O为原点，以分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. ……4分，，所以．……6分（Ⅱ），，设平面的法向量为，则令，得． ……8分又，，所以平面的法向量， ……10分，所以二面角的余弦值为． …12略19.已知等比数列{an}中，a3=4，a6=32．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令bn=an﹣3n，求数列{bn}的前n项和．参考答案：见解析【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（I）利用等比数列的通项公式即可得出．（II）利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（I）设等比数列{an}的公比为q，∵a3=4，a6=32，∴=4，=32，解得a1=1，q=2．∴an=2n﹣1．（II）bn=an﹣3n=2n﹣1﹣3n，∴数列{bn}的前n项和=﹣3×=2n﹣1﹣．20.在正方形ABCD中，E为AB的中点P是A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点．（1）若向正方形ABCD内撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在扇形ABD内的概率为；（2）设∠PAB=θ，向量=λ+μ（λ，μ∈R），若μ﹣λ=1，则θ=．参考答案：考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：（1）利用几何概型，所求概率为扇形ABD与正方形ABCD比值；（2）不妨设正方形边长为1以A坐标原点，AB，AD线为x轴，y建立直角坐标系，将相关向量用坐标表示，利用向量相等得到用θ表示的λ，μ的方程组解之．解答： 解：（1）所求概率为扇形ABD与正方形ABCD比值，设正方形边长为a，所求概率为P=；（2）不妨设正方形边长为1以A坐标原点，ABAD线为x轴，y建立直角坐标系，则=（，﹣1），=（1，1），=（cosθ，sinθ），=λ+μ，，所以，所以μ﹣λ=1，sinθ=1，θ=；故答案为：，．点评：本题是一道涉及几何概型和向量知识的综合问题．第（1）题是几何概型问题，求解转化为扇形的面积与正方形面积的比来解决；第（2）问是关于平面向量线性运算的考题，解题时可建立适当的坐标系，用向量的坐标运算来实现转化．若假设正方形边长为1，则点P单位圆上，就可以考虑引入三角函数来表示点P坐21.给出函数封闭的定义：若对于定义域内的任意一个自变量，都有函数值，则称函数在上封闭。（1）若定义域，判断下列函数中哪些在上封闭（写出推理过程）：

，，；（2）若定义域，是否存在实数，使得函数在上封闭？若存在，求出的值，并给出证明；若不存在，请说明理由。参考答案：（1）不封闭，封闭（2），对称中心为当时，在上为增函数，只需当时，在上为减函数，只需综上，所求的值等于222.（14分）（2012?茂名一模）已知函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数）为实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[﹣1，1]上的减函数．（1）求a的值；（2）若g（x）≤t2+λt+1在x∈[﹣1，1]及λ所在的取值范围上恒成立，求t的取值范围；（3）讨论关于x的方程的根的个数．参考答案：考点： 根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质；函数恒成立问题．

专题： 计算题．分析： （1）因为定义域是实数集R，直接利用奇函数定义域内有0，则f（﹣0）=﹣f（0）即f（0）=0，即可求a的值；（2）先利用函数g（x）的导函数g'（x）=λ+cosx≤0在[﹣1，1]上恒成立，求出λ的取值范围以及得到g（x）的最大值g（﹣1）=﹣1﹣sin1；然后把g（x）≤t2+λt+1在x∈[﹣1，1]上恒成立转化为﹣λ﹣sin1≤t2+λt+1（λ≤﹣1），整理得（t+1）λ+t2+sin1+1≥0（λ≤﹣1）恒成立，再利用一次函数的思想方法求解即可．（3）先把方程转化为=x2﹣2ex+m，令F（x）=（x＞0），G（x）=x2﹣2ex+m

（x＞0），再利用导函数分别求出两个函数的单调区间，进而得到两个函数的最值，比较其最值即可得出结论．解答： 解：（1）因为函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，所以f（﹣0）=﹣f（0）即f（0）=0，则ln（e0+a）=0解得a=0，a=0时，f（x）=x是实数集R上的奇函数；（2）由（1）得f（x）=x所以g（x）=λx+sinx，g'（x）=λ+cosx，因为g（x）在[﹣1，1]上单调递减，∴g'（x）=λ+cosx≤0

在[﹣1，1]上恒成立，∴λ≤﹣1，g（x）max=g（﹣1）=﹣λ﹣sin1，只需﹣λ﹣sin1≤t2+λt+1（λ≤﹣1），∴（t+1）λ+t2+sin1+1≥0（λ≤﹣1）恒成立，令h（λ）=（t+1）+t2+sin1+1（λ≤﹣1）则，解得t≤﹣1（3）由（1）得f（x）=x∴方程转化为=x2﹣2ex+m，令F（x）=（x＞0），G（x）=x2﹣2ex+m

（x＞0），（8分）∵F'（x）=，令F'（x）=0，即=0，得x=e当x∈（0，e）时，F'（x）＞0，∴F（x）在（0，e）上为增函数；当x∈（e，+∞）时，F'（x）＜0，F（x）在（e，+∞）上为减函数；（9分）当x=e时，F（x）max=F（e）=（10分）而G