上海七宝中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题

上海市七宝中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题学校:姓名：班级：一、填空题.已知集合A={羽y)1X2+y2=1},B={X,y)Iy=—』，则AB中元素的个数TOC\o"1-5"\h\z是.n.平面a外的直线a与平面a所成的角是0，则0的取值范围是..已知AM=(0,1,2)，CN=(1,0,2)，则直线AM和CN所成角的余弦值是.在北纬15°圈上有A、B两点，若该纬度圈上A、B两点间的劣弧长为52兀R(R为地球的半径)，则A、B两点间的球面距离是.X+2y-2>05.设X、y满足约束条件{x—y+1>0，则z=2x+y的最大值是.2x—y—4<0.不等式mx2-mx-2<0对任意xeR恒成立的充要条件是m£..某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图，圆柱表面上的点M在正(主)视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在侧(左)视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为..有一多边形ABCD水平放置的斜二测直观图A'BCD'是直角梯形(如图所示)，其中A'BC=45。，BCUCD',A"D'=DC=1，则原四边形ABCD的面积为

.正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB=AD=1,E为BB1中点，若点P满足A^P=XPD，且BP//平面aeD,则九=..在正方体ABCD-A1B1C1q中，给出下面四个命题：TOC\o"1-5"\h\z①(AA+AD+AB)=3(AA)2；②AD与AB夹角为120。；③AC-CD=0；④1111111111正方体的体积是|AB・BC,CCj，则正确的命题是..画图，了径为用勺球O的直径AB垂直于平面a，垂足为B,田69是平面a内边长为R的正三角形，线段AC,AD分别与球面交于点M、N，则三棱锥A-BMN在侧面ACD上，且到直线AB的距离为J2T，则PB的取值范围是二、单选题.已知直线nu平面a，则m//n是m〃a的()A.充要条件B.充分非必要条件件C必要非充分条件D.既非充分又非必要条件.在正方体ABCD—A1B1C1R中，E,F,G分别为棱CD,CJAR的中点，用过点E,F,G的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧视图为()

方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美．如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体：①有12个顶点；②有14个面；③表面积为3;④体积为5,点，点P满足AP=xAA+jAA+zAA且x+y+z=1，记IAQl=IAPI，则441424344min当1<i,j<10且i丰j时，数量积AQ•AA的不同取值的个数是（）4ij

A．3B．5C．9D．21三、解答题117.设函数fG)=lg(x2+2x—3)的定义域为集合A，函数g(x)=a+—x在［-3,|x|-1］上存在零点时的a的取值集合B.(1)求AB；(2)若集合C={xIx+2p>0},若xeC是xeA充分条件，求实数P的取值范围.18.已知正方体ABCD—A1B1C1D1中的棱长为2,0是A1C1中点.(1)求证：AOJ平面DBC；(2)设BB1的中点为M，过A、C1、M作一截面，求出截面面积..设一正方形纸片ABCD边长为4厘米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形,剩余为一正方形纸片和四个全等的等腰三角形,沿虚线折起,恰好能做成一个正四棱锥(粘接损耗不计)，图中AH,PQ,0为正四棱锥底面中心.，

(1)若正四棱锥的棱长都相等，请求出它的棱长并画出它的直观图示意图；(2)设等腰三角形APQ的底角为1,试把正四棱锥的侧面积表示为1的函数，并求S范围．兀.如图，在RtSOA中，/OSA=—，斜边SA=4，半圆H的圆心H在边OS上，6且与SA相切，现将RtSOA绕SO旋转一周得到一个几何体，点B为圆锥底面圆周上一点，且ZAOB=90。.(1)求球H的半径；(2)求点O到平面SAB的距离；(3)设P是圆锥的侧面与球的交线上一点，求PO与平面SAB所成角正弦值的范围..设集合A的元素均为实数，若对任意aeA，存在beB，ceC.使得b+c=a且b-c=1,则称元素最少的B和C为A的“孪生集”；称A的“孪生集”的“孪生集”为A的“2级孪生集”;称A的“2级孪生集”的“孪生集”为A的“3级孪生集”，依次类推⑴设A=｛3,5，｝,直接写出集合A的“孪生集”；(2)设元素个数为n的集合A的“孪生集”分别为B和C,若使集合(BcC)中元素个数最少且所有元素之和为3,证明：A中所有元素之和为3n；(3)若A=3|a=a+2(k—1),1<k<n,keN*｝，请直接写出A的“n级孪生集”k'ki

的个数，设A的所有“n级孪生集”的并集为Q,若Q=M1uM2uM3；求有序集合组(M1,M2M3)的个数.参考答案1．2【分析】集合A、B均是点集，AB中元素的个数即为单位圆与直线交点的个数.【详解】n集合A、B均是点集，AB中元素的个数即为单位圆x2+山=1与直线＞=一不交点的个数，而直线经过圆的圆心，故有两个交点，即AB中元素个数是2个.答案是2个.A【点睛】本题考查了集合的运算以及点集合的特点，属于简单题，解题中需要将点集的特点合理应用，结合解析几何知识，确定出两个集合交集中元素个数.八兀2-0，2【分析】根据直线在平面外包含：直线与平面相交、直线与平面平行，即可求解.【详解】直线a在平面a外包含两种情况：直线a与平面以相交、直线a与平面以平行.当直线a与兀I平面a相交时，°e0,不，当直线a与平面a平行时，9=0，所以0的取值范围为V2.〜，八兀故答案为0,2【点睛】本题主要考查直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角的范围，属于基础题.4工5【分析】利用向量夹角余弦函数公式直接求解即可-【详解】设直线AM和CN所成角为0,.AM=(0,1,2),CN=(1,0,2),aIAMCNI44/.cosB==—.IAMIICNI-v5<554•・・直线AM和k所成角.的余弦值为歹4故答案为：5【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查向量夹角余弦函数公式等基础知识，考查运算求解能力,是基础题．【分析】先求出北纬45。圈所在圆的半径，是A、B两地在北纬45。圈上对应的圆心角，得到线段AB的长，设地球的中心为。，解三角形求出/AOB的大小，利用弧长公式求A、B这两地的球面距离．【详解】北纬45。圈所在圆的半径为qR，它们在纬度圈上所对应的劣弧长等于殍兀R（R为地球半径）,242兀R=0X[R（0是A、B两地在北纬45。圈上对应的圆心角），兀，一，故0=-,•线段AB=R,乙•/AOB=-,3，-R,A、B这两地的球面距离是—,兀R故答案为：—.【点睛】本题考查球的有关经纬度知识，球面距离，弧长公式，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．【分析】【分析】【分析】【分析】5．16【分析】作出不等式组表示的平面区域，由Z=2X+y可得y=-2X+z,则z表示直线y=-2x+z在y轴上的截距，截距越大，z越大，结合图象即可求解z的最大值.【详解】x+2y-20作出x、y满足约束条件Jx-y+10表示的平面区域，如图所示：2x-y-420由z=2x+y可得y=-2x+z，则z蔑示直线y=-2x+z在y轴上的截距，截距越大，z越大作直线2x+y=0，然后把该直线向可行域平移，当直线经过A时，z最大fx-y+1=0由J可得A(5,6)，此时z=16.I2x-y-4=0故答案为：16．【点睛】本题主要考查了线性规划知识的应用，求解的关键是明确目标函数中z的几何意义.属于中档题.(-8,0]先根据一元二次不等式恒成立得m£(-8,0],再根据充要条件概念即可得答案.【详解】解：当m=0时，显然满足条件，m2+8m<0当m丰0时，由一元二次不等式恒成立得：彳八，解得：—8<m<0m<0综上，m£(一8,0]，所以不等式mx2—mx—2<0对任意xeR恒成立的充要条件是m£(—8,0]，故答案为：(—8,0]【点睛】本题考查充要条件的求解，一元二次不等式恒成立问题，是基础题.2<5【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可.【详解】由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，直观图以及侧面展开图如图：圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度：<22+42=2<5,故答案为：2x/5.【点睛】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，侧面展开图的应用，考查计算能力，属于中档题.3V',2由四边形ABCD水平放置的直观图得出四边形ABCD的各边关系，再求四边形ABCD的面积．【详解】四边形ABCD水平放置的直观图是直角梯形，且A'BC'=45。，B'C'1C'D',A'D'=D'C'=1，.二BC'=2ArD'=2,A'B'二<2••・四边形ABCD中，AB=2A'B'=2<2,AD=AfD'=1,BC=BC=2，且AB1BC,AD//BC,1所以四边形ABCD的面积为S=-x(1+2)x2<2=3<2,故答案为：3t2【点睛】本题考查了水平放置的直观图性质等应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．1一2【分析】先猜想点P为AD的中点，取AD^的中点F，连接EF、PF,再证明BP//平面AED1.结合正四棱柱和中位线的性质可推出四边形BPFE为平行四边形，从而BP//EF，然后由线面平行的判定定理可证得BP//平面AED1.【详解】如图所示，分别取AD1、AD的中点F、P，连接EF、PF，此点P即为所求.证明如下：F、P分别为ADx、AD的中点，「.FP//DD,FP=-DD,...121E为61中点，・•・BE=-BB,221*又DD//BB,11:.FP//BE,FP=BE,••・四边形BPFE为平行四边形，，BP//EF,BPa平面AED],EFu平面BPFE,・•.BP//平面AED...i由于P为AD的中点，所以入=-.2故答案为：1.【点睛】本题考主要查空间中线与面的平行关系，对于找点问题，一般可采用先猜后证的思想，熟练掌握线面平行的判定定理是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力，属于中档题．10.①②③【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算逐一判断即可.【分析】【分析】【分析】【分析】【详解】建立空间直角坐标系，如图:TOC\o"1-5"\h\zAA=(O,O,1),AD=(1,0,0),AB=(0,1,0),iiiii:.(AA+AD(1,1,1)2=3,3(AA)2=3,故①正确;iiiii1i画。与A5夹丽6,一11AD=(1,0,-1),A5=(0,l,l),'11—'nADAB-11八1n吧;8sA阿莺=正飞=",因为吐［0,18。］所以与48次角为120。，故②正确；11AC=(1,1,1),CD=(0,-l,l),iiACrCT)=0-1+1=0,故③正确；11通*体的体积为,吕卜卜/1ADH|AB^5C-CC|=0,故④错误.故答案为：①②③——————【点睛4^———>本题考查了空间向量数量积的坐标表示、空间向量的模，考查了基本运算求解能力，属于基础题.11.7511.75AB=2R,BC=R,AC=5RR,NBCD是平面a内边长为R的正三角形，ABC^AAMB,AM4AN4VS4—77=-，类似有=，、产MN=一^M=(-)2,由此能求出三棱锥A—BMN的体积.AC5AD5匕_bcdSaabc5【详解】AB=2R，BC=R，AC=<5R，半径为R的球O的直径AB垂直于平面a，垂足为b，ABCD是平面a内边长为R的正三•♦角形，线段AC，AD分别与球面交于点M、N，.../BAM=ZBAC，ZAMB=ZABC=90°,...AABCsAAMB,ABACAMAB.AM=AMAC类似有ANAD516A-ABACAMAB.AM=AMAC类似有ANAD516A-BMNAAMN25A-BCDAABC••・三棱锥A-BMN的体积:16A-BMN25375故答案为：R3A-BMN25375故答案为：R3．75【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法，考查球、三棱锥的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

[J92—16小汨【分析】根据题意得点P落在以AB轴、底面半径为＜21的圆柱的侧面上，且该侧面与三棱锥侧面ACD的交线为椭圆的一部分.故设其与AC的交点为P，此时PB最大，当点P落在CD的垂直平分线上时，PB最小，再根据几何关系求解即可.【详解】•・•点P到直线AB的距离为定值、21,・••点P落在以AB轴、底面半径为*21的圆柱的侧面上，且该侧面与三棱锥侧面ACD的交线为椭圆的一部分.①设其与AC的交点为P，此时PB最大.由题意可得，点C到AB的距离为,..-ABAC10602-42=2退1,・••点P为AC的中点.又cos/BACAC10在△BAP中，由余弦定理可PB=.J82+52-285-cos/BAC=；57；②当点P落在CD的垂直平分线上时，PB最小.易得AB=AE=BE=8,.・.ZBAE=3,PH_v2T__7从而AP=sinZBAE二K""在^BAP中，由余弦定理可得PB在^BAP中，由余弦定理可得PB=故答案为：J92-16",后.【点睛】本题考查空间问题的轨迹即取值范围问题，考查空间思维能力与数学运算能力，是难题.13．D【分析】已知直线nu平面a，若m//n，则m〃a或在平面内；若m〃a，则m//n或m,n异面；结合选项判断即可．【详解】直线nu平面a，则m//nnm〃a或mua直线nu平面a，由m//a可得m//n或m,n异面则m//n是m//a的既非充分又非必要条件故选：D【点睛】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查线面平行、线面平行的性质等基础知识，考查空间想象能力，是基础题．14．C【解析】取AA1的中点H，连GH，则GH为过点E，F，G的平面与正方体的面A1B1BA的交线.延长GH，交BA的延长线与点P，连EP，交AD于N，则NE为过点E,F,G的平面与正方体的面ABCD的交线.同理，延长EF,交D1C1的延长线于Q,连GQ,交B1C1于点M,则FM为过点E,F,G的平面与正方体的面BCC1B1的交线.所以过点E,F,G的平面截正方体所得的截面为图中的六边形EFMGHN.故可得位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为选项C所示.选C.15．C【分析】该半正多面体的所有顶点恰为正方体各棱的中点,即为正方体截去8个三棱锥所剩部分，结合正方体的性质即可求得.【详解】该半正多面体的所有顶点恰为正方体各棱的中点，其棱长为一，有12个顶点，14个面（6个正方形，8个正三角形），它可由正方体去掉8个三棱锥所剩部分，它的表面积为―3+J3，体积为V=13-8•一.6・•・①②④正确，【点睛】本题以印信为背景，考查了学生空间想象力，属于中档题目，解题时，关键是能将“半正多面体”还原出正方体，再利用正方体的性质再去解决.16．B

【分析】由条件可知点p在平面4上，并且由几何意义可知&。,平面a,利用数量积的几何意义求A©曰的不同取值的个数.【详解】条件“AP^xAA-^yAA+zAA且x+y+z=1"，说明点p在平面AAA上，而TOC\o"1-5"\h\z44142431234Q|taP1.说明Q为平面AAA的中心，此时AQ1平面4AA「由向量数量积的414mm1234123几何意义，AA^AQ的投影有而情况：0、土1|AQI、±IAQI，，数量积AQ•AAj42444ij的不同取值的个数是5,故选：B.,—，—>>【点睛】本题考查空间向量共面定理的应用，数量积的几何意义，重点考查转化思想，数形结合思想，属于中档题型.17.(17.(1)10(2)【分析】(1)先分别求出集合A,B，由此能求出AB；(2)求出集合C={x1x+2p>。}={x1x02p}，由xeC是xgA充分条件，得到C屋A，由此能求出实数P的取值范围.【详解】(1),・.函数于(x)=lg(x2+2x—3)的定义域为集合A,.・.A={xIx2+2x—3>0}={xIx<-3或x>1},・・•函数g(x)=a+」-x在［-3,-1］上存在零点时的a的取值集合B,IxI・・・g(x)=0・・・g(x)=0在xe[-3,-1]二x———二x+—gIxIx10(2)・.•集合C二汽Ix+2p>0}:{xIx2—2p},xgC是xeA充分条件，・・・-2p>1，解得p〈一1,乙・・・实数p的取值范围是【点睛】本题主要考查交集、实数的取值范围的求法，考查函数性质、交集定义、充分条件等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.18.（1）证明见解析；（2）2<6.【分析】（1）连接AC、BD交于点。，连接Oq，证明出四边形AOCOi为平行四边形，可得出AO1/OC1，利用线面平行的判定定理可得出结论；（2）作出截面图形，判断出截面图形的形状，并求出各边边长，由此可求得截面面积.【详解】（1）记AC、BD的交点为O,则O为AC的中点，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1//CC且AA1=CC1，则四边形AA1CC为平行四边形，AC=AC且AC//AC，TOC\o"1-5"\h\z1111O、O1分别为AC、ACI的中点，AO//O1C1且AO-O1C1，所以，四边形AOCO为平行四边形，「.AO//OC，・・1111AO1a平面BC1D，OC1U平面DBC，•二AO1//平面DBC.（2）如下图所示，取DD的中点N，连接AN、CN，取CC的中点P，连接PB、PN，111

在正方体ABCD—ABCD中，BB//CC且BB=CC,TOC\o"1-5"\h\z11111111M、P分别为BB、CC的中点，・•.BM//PC且BM=PC,1111所以，四边形BPCM为平行四边形，，CM//PB且CM=PB,11111同理可证四边形ABPN为平行四边形，则AN//PB且AN=PB,所以，AN11clM且AN=qM，所以，四边形AMCN为平行四边形，则截面图形为平行四边形AMCN，又AN=AM=%AB2+BM2=<5，则四边形AMCN为菱形，则Aq1MN，且AC1=2<3，MN=BD=2<2，则菱形AMCJ的面积为2<2x2<3=2<2x2<3=2V6.S=MN•ACTOC\o"1-5"\h\z21【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了正方体截面面积的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.S=1619.(1)2J6—2<2，画图见解析；(2)/…1.,(0,4).tanx十十2tanx【分析】(1)本题根据题意先求AH=4a,再根据题意建立方程求棱长；最后根据棱长画出它的直观图即可；【详解】【详解】【详解】【详解】（2）先设PH=b，接着建立方程用x表示出a=2"2，再表示出S，最后根据tanxtanx+1的范围求s范围即可解题.【详解】（1）由题意，设正四棱锥的棱长为a，则AH=亘a,22•2•ga+a=AC=4t2na=2；6-2<2,⑵设PH⑵设PH=b2J2，则UAH=btanx，由2♦atanx+2a=4<2，可得a=,tanx+1从而S=4S△从而S=4S△apq1=4•万•PQ-AH=2a2tanx=16tanx(tanx+1)2，其中tanx£(1,+8),——£(0,4)+220.——£(0,4)+220.(1)空；(2)巨；(3)V142-H<42+V211414j16ST"tanx+tanx【点睛】本题考查画几何体的直观图、根据几何体的边角关系建立函数关系并求范围，是中档题.【分析】（1）在直角三角形中，由特殊角及边长即可得出答案；（1）在直角三角形中，由特殊角及边长即可得出答案；（2）利用等体积转化即可；（3）（3）建立空间直角坐标系，求出平面SAB的法向量与向量PO用向量法.【详解】【详解】TOC\o"1-5"\h\z71-由=斜边5A=4,SO=2^3,0A=267171设切点为M,连接曲f=，又/。&4=二,:.ho=hm=Lsh,...ho3o=至,233所以圆锥中球的半径就是半圆H的半径，即为3(2)在三棱锥中S-0A5,设。到平面的距离为d在RtA05中，OA=OB=2,S^-OAOB^lOAB2在等腰三角形S钻中，SA=SB=4,AB=2^2,取A3中点N,连SN,所以△所以SNLA5Ssa8=5,飘,——x25/2x\/14=21/7,由（1）知SO=2y/3,TOC\o"1-5"\h\zsab22好于v=v,所以!・S.d=LsSOO-SABS-OAB3AB3OAB即=-SO△△33aaob26d=4"2。a=.7

如图建立空间直接坐标系，则A(0,2,0),B(2,0,0),S(0,0,2<3)，设PO在面COB上的射影与无的正方向的夹角为0，所以P(os0,sin如图建立空间直接坐标系，则A(0,2,0),B(2,0,0),S(0,0,2<3)，设PO在面COB上的射影与无的正方向的夹角为0，所以P(os0,sin0,-J3)，，SA=(0,2,-2<3)设平面SAB的法向量n=(x,y,z)，SA•n=0n1ISB.n=0，则sina=PO-n|

POp|n|2V，则sina=PO-n|

POp|n|2V7<6-v3v6+<3277,2<7【点睛】一一本题主要考查空间几何体体积的求法、用空间向量解决线面角的问题.21.(1)B={2,3,4上C={1,2,3}；(2)证明见解析；(3)2n,72n+n-1.【分析】(1)根据集合定义直接得到答案;(2)将集合A中元素从小到大排列：a<a<^<a，则“孪生集”12n1—,^—221—,^—22a—1-22a.T

2a构成公差为n2的等差数列，计算得到答案;(3)A的“n级孪生集”的个数为2n，计算元素个数得到答案.

解：(1)B={2,3,4},C={1,2,3}；a+1-n2a—1—□22（2）a+1-n2a—1—□22则其洋生集”B=\设