2021年江苏省苏州市常熟杨园中学高三数学理测试题含解析

2021年江苏省苏州市常熟杨园中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f(x)＝x2－2ax＋a，在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋∞)上一定(

)．A．有最小值

B．有最大值

C．是减函数

D．是增函数参考答案：D2.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有二个红球参考答案：D【考点】互斥事件与对立事件．【分析】分析出从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球的所有不同的情况，然后利用互斥事件和对立事件的概念逐一核对四个选项即可得到答案．【解答】解：从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：3个球全是红球；2个红球1个白球；1个红球2个白球；3个球全是白球．选项A中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；选项B中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；选项C中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的交事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；选项D中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有二个红球”互斥不对立．故选：D．3.函数

参考答案：A 4.某流程如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是A．

B．C．

D．参考答案：D5.甲乙两名同学次考试的成绩统计如下图，甲乙两组数据的平均数分别为、，标准差分别为、，则、

、、

、参考答案：由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故.故选.6.设ΔABC的三边长分别为，ΔABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知：四面体P－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为R，四面体P－ABC的体积为V，则R＝（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B7.如图，设D是图中边长分别为的矩形区域，E是D内位于函数图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E的面积为（

）

A

B

C

D参考答案：D略8.将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有A.

12种

B.

18种

C.36种

D.

54种参考答案：B9.已知复数为虚数单位，则的共轭复数是A.

B.

C.

D.参考答案：A10.若不等式,对任意正整数恒成立,则实数的取值范围是(

).

A.

B.

C.

D.参考答案：答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数处的切线与直线垂直，则a=

。参考答案：12.某地一天0~24时的气温y（单位：℃）与时间t（单位：h）的关系满足函数，则这一天的最低气温是

℃。

参考答案：14略13.若函数在上存在唯一的满足，那么称函数是上的“单值函数”.已知函数是上的“单值函数”，当实数取最小值时，函数在上恰好有两点零点，则实数的取值范围是_

．参考答案：14.设与是两个不共线的向量，已知，则当三点共线时，

．参考答案：15.已知等差数列满足，公差为，，当且仅当时，取得最小值，则公差的取值范围是________________。参考答案：16.已知是函数图像上的点，是双曲线在第四象限这一分支上的动点，过点作直线，使其与双曲线只有一个公共点，且与轴、轴分别交于点，另一条直线与轴、轴分别交于点。则（1）为坐标原点，三角形的面积为

（2）四边形面积的最小值为

参考答案：（1）12

（2）4817.已知向量，且，则实数t=．参考答案：﹣2【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】可先求出，然后根据便可得出，进而得出关于t的方程，解出t即可．【解答】解：；∵；∴；即t+4+2（2t+3）=0；解得t=﹣2．故答案为：﹣2．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数的图象在点为自然对数的底数）处的切线的斜率为3.（1）求实数a的值；（2）若对任意成立，求实数的取值范围；（3）当时，证明：。参考答案：（1）1；（2）k≥1；（3）见解析【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程．B11解析：（1）∵f（x）=ax+xlnx，∴f'（x）=a+lnx+1，又∵f（x）的图象在点x=e处的切线的斜率为3，∴f'（e）=3，即a+lne+1=3，∴a=1；

（2）由（1）知，f（x）=x+xlnx，∴f（x）≤kx2对任意x＞0成立对任意x＞0成立，令，则问题转化为求g（x）的最大值，，令g'（x）=0，解得x=1，当0＜x＜1时，g'（x）＞0，∴g（x）在（0，1）上是增函数；当x＞1时，g'（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上是减函数．

故g（x）在x=1处取得最大值g（1）=1，∴k≥1即为所求；

（3）令，则，由（2）知，x≥1+lnx（x＞0），∴h'（x）≥0，∴h（x）是（1，+∞）上的增函数，∵n＞m＞1，∴h（n）＞h（m），即，∴mnlnn﹣nlnn＞mnlnm﹣mlnm，即mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn，lnnmn+lnmm＞lnmmn+lnnn，ln（mnn）m＞ln（nmm）n，∴（mnn）m＞（nmm）n，∴．【思路点拨】（1）求出f（x）的导数，由切线的斜率为3，解方程，即可得到a；（2）f（x）≤kx2对任意x＞0成立对任意x＞0成立，令，则问题转化为求g（x）的最大值，运用导数，求得单调区间，得到最大值，令k不小于最大值即可；（3）令，求出导数，判断单调性，即得h（x）是（1，+∞）上的增函数，由n＞m＞1，则h（n）＞h（m），化简整理，即可得证．19.已知A={x|1<|x-2|<2},B={x|x2-(a+1)x+a<0}，且A?B1?,试确定a的取值范围.

参考答案：解不等式1<|x-2|<2得0<x<1或3<x<4

∴A={x|0<x<1或3<x<4},

…………3分又B={x|x2-(a+1)x+a<0}={x|(x-a)(x-1)<0}，

………………6分从数轴上可直观地得到，要使A?B1?则a的范围是（-￥，1）è（3，+￥）

………………10分20.（12分）现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元，1.18万元，1.17万元的概率分别为；已知乙项目的利润与产品价格调整有关，在每次调整中价格下降的概率为P(0<P<1)，记乙项目产品价格在一年内进行2次独立调整，设乙项目产品价格在一年内的下降次数为，对乙项目再投资十万元，以0,1,2时产品价格在一年后的利润是1.3万元，1.25万元，0.2万元。随机变量1,2分别表示甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润。（1）求1,2的概率分布列和数学期望E1,E2；（2）当E1,E2时，求P的范围。参考答案：解析：（1）的概率分布列图（2分）

1.21.181.17P

2分由题设，得，得的分布列（6分）

6分012P的分布列图1.31.250.2P

8分（2）由，得-P2-0.1P+1.3>1.18

（12分）21.（14分）设函数．（1）求函数f（x）的值域；（2）当实数x∈[0，1]，证明：．参考答案：【分析】（1）由已知条件可以推知，结合该函数的单调性求解；（2）把证明不等式成立问题转化为判断函数单调性问题解决，利用（1）的结论即可得出结论．【解答】解：（1）由题意知，函数f（x）的定义域是[﹣1，1]，∵，当f'（x）≥0时，解得x≤0，∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（﹣1，0）上单调递减，∴，f（x）max=f（0）=2，∴函数f（x）的值域为．（2）设，x∈[0，1]，h（0）=0，∵，=，∵=，∴h'（x）≤0．∴h（x）在（0，1）上单调递减，又h（0）=0，∴．【点评】本题主要考查函数单调性的判断及证明不等式恒成立问题，考查利用导数研究函数的性质，逻辑性强，属难题．22.（12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，(1)

证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；(2)

若,求直线AC与平面EAM所成角的正弦值参考答案：解析：（I）证明：因PA⊥底面，有PA⊥AB，又知AB⊥AD，故AB⊥面PAD，推得BA⊥AE，又AM∥CD∥EF，且AM=EF，证得AEFM是矩形，故AM⊥MF.又因AE⊥PD，AE⊥CD，故AE⊥面PCD，而MF∥AE，得MF⊥面PCD，故MF⊥PC，因此MF是AB与PC的公垂线.（II）解：连结BD交AC于O，连结BE，过O作BE的垂线OH，

垂足H在BE上.